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回顾与思考
第六章 平行四边形
几 何 语 言
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
一、平行四边形的性质
对角线
互相平分
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
A
B
C
D
O
几 何 语 言
文字叙述
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD = BC，AB = DC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AB = DC，AB∥DC，
二、平行四边形的判定
对角线互相平分
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ OA = OC，OB = OD，
两组对边分别平行（定义）
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∵ AD∥BC，AB∥DC，
平行线之间的距离处处相等
A
B
C
D
O
1.三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
三、三角形的中位线
用符号语言表示
∵ DE 是△ABC 的中位线
∴ DE∥BC，
例1 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（　　）
A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD
C．AB = CD D．AC = BC
D
考点一 平行四边形的性质
主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，对角相等.
方法总结
考点一 平行四边形的性质
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B =∠D，AD = BC，AB = CD，∠BAD =∠BCD，
（平行四边形的对角相等，对边相等）
∵ AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，
∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD，
∴∠EAB =∠FCD.
1. 如图，已知 ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交 BC、AD 于 E、F．求证：AF = EC．
【练一练】
考点一 平行四边形的性质
在△ABE 和△CDF 中，
∠B＝∠D，
AB＝CD，
∠EAB＝∠FCD，
∴△ABE≌△CDF.
∴ BE = DF．
∵ AD = BC，
∴ AF = EC．
考点一 平行四边形的性质
例2 如图，在□ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
AC = 10 cm，BD = 6 cm
∴ OA = OC = AC = 5 cm，
OB = OD = BD = 3 cm.
∵∠ODA = 90°，
∴ AD = = 4 cm．
A
考点一 平行四边形的性质
主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.
方法总结
考点一 平行四边形的性质
【解析】∵ 在 ABCD中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，
∴ AO = CO = 12 cm，BO = 19 cm，AD = BC = 28 cm.
∴△BOC 的周长是 BO + CO + BC = 12 + 19 + 28 = 59(cm).
2. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，
AD = 28 cm，则△BOC 的周长是(　　)
A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm
B
考点一 平行四边形的性质
例3 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（　 ）
A．OA = OC，OB = OD
B．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD = BC
D．AB = CD，AO = CO
D
考点二 平行四边形的判定
平行四边形的判定方法：
① 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
④ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
⑤ 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
方法总结
考点二 平行四边形的判定
3. 如图，点 D、C 在 BF 上，AC∥DE，∠A = ∠E，BD = CF，（1）求证：AB = EF．
证明：∵ AC∥DE，
∴∠ACD = ∠EDF.
∵ BD = CF，
∴ BD + DC = CF + DC，即 BC = DF.
又∵∠A =∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）.
∴ AB = EF.
【练一练】
考点二 平行四边形的判定
(2) 连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并说明
理由．
解：猜想：四边形 ABEF 为平行四边形，
理由如下：由 (1) 知△ABC≌△EFD，
∴∠B =∠F. ∴AB∥EF.
又∵AB = EF，
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
考点二 平行四边形的判定
例4 如图，已知 E，F 分别是 □ ABCD 的边 BC、AD 上的点，且BE = DF．求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，且 AD = BC
(平行四边形的对边平行且相等).
∴ AF∥EC.
∵ BE = DF，∴ AF = EC.
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
考点三 平行四边形性质和判定的综合应用
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
方法总结
考点三 平行四边形性质和判定的综合应用
4. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 分别是 BO、OD 的中点，且四边形 AECF是平行四边形，试判断四边形 ABCD 是不是平行四边形，并说明理由．
【练一练】
考点三 平行四边形性质和判定的综合应用
证明：在平行四边形 AECF 中，
OA = OC，OE = OF (平行四边形的对角线互相平分).
∵ E、F 分别是 BO、OD 的中点，
∴ 2OE = 2OF，即 OB = OC.
∵ OA = OC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形)
考点三 平行四边形性质和判定的综合应用
证明：取 CF 的中点 H，连接 DH.
∵ AD 是△ABC 的中线，∴ D 是 BC 的中点.
∴ DH∥BF，即 EF∥DH.
取 AH 的中点 F′，连接 EF′，
同理可得 EF′∥DH，∴ 点 F 和 F′ 重合.
∴ AF＝FH＝ FC.
例5 已知：AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点. 求证：
A
B
C
D
E
F
H
考点四 三角形的中位线
5. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ，三角形的周长为 60 cm，则该三角形中最长边的边长为＿＿＿.
解析：设三角形的三条中位线之长分别为 6x，5x，4x，
则三角形的三条边长分别为 12x，10x，8x，
依题意有 12x＋10x＋8x＝60，
解得 x＝2.
所以，最长边为 12x＝24 (cm).
24 cm
【练一练】
考点四 三角形的中位线
平 行 四 边 形
性质
①对边平行且相等
②对角相等，邻角互补
③对角线互相平分
判定
①两组对边分别平行的
②两组对边分别相等的
③一组对边平行且相等的
④对角线互相平分的
四 边 形
平行四边形
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
见教材章末练习

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