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1.1 平行四边形的性质
第六章 平行四边形
第 1 课时 平行四边形边和角的性质
1.了解平行四边形有关概念和表示方法。
2.探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用.（重、难点）
观察下图，平行四边形在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
问题1：观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
问题2：你们还记得我们以前对平行四边形的定义吗？
探究点1：平行四边形的相关概念
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
几何语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线.
A
B
D
C
2.记作：□ABCD. 读作：平行四边形 ABCD.
探究点1：平行四边形的相关概念
思考：根据三角形的学习经验，你认为对平行四边形应研究哪些内容
边：
角：
AD 、 AB 、 BC 、 CD
∠A 、 ∠B 、 ∠C 、 ∠D
对边
对边
对角
对角
A
B
D
C
对角线：
AC、 BD
探究点1：平行四边形的相关概念
【思考与交流】
(1) 平行四边形是中心对称图形吗 如果是，你能找出它的对称中心并验证你的结论吗
(2) 你还发现平行四边形有哪些性质 与同伴进行交流。
探究点1：平行四边形的相关概念
活动1 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的对角线交点处钉一个图钉 O，将其中一个平行四边形绕 O 旋转 180°，你发现了什么
A
C
D
B
O
探究点1：平行四边形的相关概念
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
你有什么猜想？
探究点1：平行四边形的相关概念
□ ABCD 绕它的对角线交点 O 旋转 180° 后与自身重合，故□ ABCD 是中心对称图形，
两条对角线的交点 O 是它的对称中心.
【归纳总结】
探究点1：平行四边形的相关概念
活动2 将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.
说一说 通过拼图你可以得到什么启示？
平行四边形的对边相等，对角相等.
这个结论正确吗？
探究点2：平行四边形边和角的性质
方法1：度量法
A
B
C
D
这个方法准确吗？
探究点2：平行四边形边和角的性质
证明：平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形.
A
B
C
D
四边形问题
转化
三角形问题
方法2：推理证明
探究点2：平行四边形边和角的性质
证明：如图，连接 AC.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，BC∥DA.
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
∵ AC = CA，
∴△ABC≌△CDA(ASA).
∴ AB = CD，BC = DA.
已知：四边形 ABCD 是平行四边形.
求证：AB = CD，BC = DA.
由△ABC≌△CDA得，
∠B =∠D.
又∵∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴∠1 +∠4 =∠2 +∠3，
即∠BAD =∠DCB.
请你证明：平行四边形的对角相等.
A
B
C
D
1
4
2
3
探究点2：平行四边形边和角的性质
思考：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的
定义，证明其对角相等？
A
B
C
D
证明：∵ AB∥DC，
∴∠B +∠C = 180°，
∵ AD∥BC，
∴∠A +∠B = 180°.
∴∠C =∠A.
同理，∠B =∠D.
探究点2：平行四边形边和角的性质
定理 平行四边形的对边相等。
定理 平行四边形的对角相等。
【知识要点】
对边相等
对角相等
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
几何语言：
探究点2：平行四边形边和角的性质
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC.
∴ AD = BC，AB = DC.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠A =∠C，∠B =∠D.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
平行四边形的性质
探究点2：平行四边形边和角的性质
【练一练】1. 如图，在□ ABCD 中，
(1) 若∠A = 130°，则∠B =_____° ，∠C =_____° ， ∠D =_____°.
(2) 若∠A +∠C = 200°，
则∠A =_____° ，∠B =_____°.
(3) 若∠A∶∠B = 5∶4，则∠C =____°，∠D =____°.
(4) 若 AB = 3，BC = 5，则它的周长为_____.
C
D
A
B
50
130
50
100
80
100
80
16
探究点2：平行四边形边和角的性质
例1 已知：□ ABCD，E，F 是对角线 AC 上的两点，并且 AE = CF，求证：BE = DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE =∠DCF.
∴△ABE≌△CDF (SAS).
∴ AB = CD，AB∥CD.
又∵ AE = CF，
∴ BE = DF.
A
D
B
C
E
F
探究点2：平行四边形边和角的性质
证明： ∵ 四边形 BEFM 是平行四边形，
∴ BM = EF，AB//EF.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠BAD =∠CAD.
∵ AB // EF，
∴ ∠BAD =∠AEF，∠CAD =∠AEF，
∴ AF=EF，AF = BM.
【练一练】2. 如图，在△ABC 中， AD 平分∠BAC，点 M，E，F 分别是 AB，AD， AC 上的点，四边形 BEFM 是平行四边形.求证：AF = BM.
探究点2：平行四边形边和角的性质
【生活实践】 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？
解：∵AE∥BC，AB∥CF，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴∠D = ∠B = 60°，
AD = BC = 80 cm.
∴ ED = AD - AE = 20 cm.
答：DE 的长度是 20 cm，∠D 的度数是 60°.
探究点2：平行四边形边和角的性质
平行四边形
中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对称性
定义
性质
对边平行，
对边相等，
对角相等
1. 已知在 ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则
ABCD的周长等于(　A　)
A. 10 cm B. 6 cm
C. 5 cm D. 4 cm
A
2. 如图，在 ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足.
若∠D＝75°，
则∠BCE的度数为 .
第2题图　　　
15°　
3. 在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶2，则∠D的度数为 .
108°　
4. 已知一个等腰梯形的底角为∠B和∠C，∠B为
65°，则∠A＋∠D＝ °.
草图通关
∠A ∠D. 　
230　
＝　
5. 如图，在 ABCD中，AD＝8，AB＝6，DE平
分∠ADC交BC于E，则BE＝ .
第5题图
2　
6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P，Q是对
角线BD上的两个点，且BP＝DQ. 求证：
AP∥QC，AP＝QC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC.
∴∠ABP＝∠CDQ.
∴△ABP≌△CDQ(SAS).
∴∠APB＝∠CQD，AP＝QC.
∴180°－∠APB＝∠APQ＝180°－∠DQC＝∠CQP.
∴AP∥QC.
∵BP＝DQ.

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