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1.2 平行四边形的判定
第六章 平行四边形
第 3 课时 平行线间的距离及平行四边形
判定与性质的综合
1. 掌握平行线间的距离的概念及性质.（重点）
2. 探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”.
3. 能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行计算和证明.（难点）
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
枕木
铁轨
a
b
A
B
C
D
实际问题
几何问题
例1 已知：如图，直线 a∥b，A，B 是直线 a 上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为 C，D.
求证：AC = BD.
证明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1 =∠2 = 90°.
∴ AC∥BD.
∵ AB∥CD，
∴ 四边形 ACDB 是平行四边形(平行四边形的定义).
∴ AC = BD(平行四边形对边相等).
a
b
A
B
C
D
1
2
探究点1：平行线之间的距离
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离相等 (如图，AC = BD).
这个距离称为平行线之间的距离.
(简记为：两条平行线间的距离处处相等).
a
b
A
B
C
D
1
2
【知识要点】
探究点1：平行线之间的距离
思考：两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
C
a
b
D
A
B
F
E
总结：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段长度.
点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间的距离的基础，它们本质都是点与点之间的距离.
探究点1：平行线之间的距离
【练一练】
1. 如图，已知l1∥l2，AB∥CD，HE⊥l2，FG⊥l2，垂足分别为 E，G，则下列说法错误的是(　　)
A．AB 的长就是 l1 与 l2 之间的距离
B．AB＝CD
C．HE 的长就是 l1 与 l2 之间的距离
D．HE＝FG
A
探究点1：平行线之间的距离
例2 如图，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上，若 AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE 的面积为 .
A
B
C
D
E
分析：根据平行线之间的距离处处相等.
解析：设高为 h，则 S△ABD = BD·h = 16，h = 4，所以 S△ACE = AE·h = ×5×4 = 10.
10
探究点1：平行线之间的距离
【练一练】
2. 如图，设点 P 是 □ ABCD 的边 AB 上任意一点，设△APD 的面积为 S1 ，△BPC 的面积为 S2 ，△CDP 的面积为 S3 ，则 (　　)
A．S3＝S1＋S2
B．S3＞S1＋S2
C．S3＜S1＋S2
D．S3＝ (S1＋S2)
A
探究点1：平行线之间的距离
问题：如图 a∥b，c∥d ，我们能得出 AD = BC ？
a
b
c
d
D
A
B
C
总结
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
由平行四边形的概念和性质可知，四边形 ABDC 是平行四边形
AB＝CD
探究点1：平行线之间的距离
提示：根据平行四边形的定义和平行四边形的判定定理作图.
【交流·尝试】
每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并与同伴讨论各自画图的正确性。
探究点1：平行线之间的距离
例图展示：
方法是多样的，利用平行四边形各个判定方法都可以得到符合条件的图形.
如图，是几个符合条件的平行四边形.
探究点1：平行线之间的距离
例3 已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M，N 分别在 AD 和 BC 上，点 E，F 在 BD 上，且 DM = BN，DF = BE . 求证：四边形 MENF 是平行四边形.
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠MDF =∠NBE.
∵ DM = BN，DF = BE，
∴△MDF≌△NBE .
∴ 四边形 MENF 是平行四边形.
∴ MF = NE，∠MFD =∠NEB.
∴∠MFE =∠NEF. ∴ FM∥EN.
M
N
A
B
C
D
E
F
还有其他证法吗
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
例4 如图，将 □ ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠，使
点 D 落到 AB 边上的点 D′ 处，折痕 l 交 CD 边于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′ 是平行四边形.
证明：由题意得∠DAE = ∠D′AE，
∠DEA = ∠D′EA，∠D = ∠AD′E，
∵ DE∥AD′，
∴ ∠DEA =∠EAD′，
∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′EA，
∴ ∠DAD′ = ∠DED′. ∴ 四边形 DAD′E 是平行四边形.
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
∴ DE = AD′.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB = DC，
∴ CE∥D′B，CE = D′B，
∴ 四边形 BCED′ 是平行四边形.
归纳 此题利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE =∠EAD′ =∠DEA =∠D′EA，再结合平行四边形的判定及性质进行解题.
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
【练一练】3.如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等吗？为什么？
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
解：BF＝CE．理由如下：
∵ DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形 FECD 是平行四边形，
∠FDB = ∠DBE. ∴ FD = CE.
∵ BD 平分∠ABC，∴∠FBD = ∠EBD.
∴ ∠FBD = ∠FDB.
∴ BF = FD. ∴ BF＝CE.
4.如图，点 E ，F 分别在□ ABCD 的边AB ，CD 的延长线上，且 BE = DF ，连接 AC ，EF ，AF，CE，AC 与 EF 交于点 O .求证：AC，EF 互相平分.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = DC，AB∥DC. 又 ∵BE = DF，
∴ AB+BE=DC+DF，即 AE = CF.
∵ AE = CF，AE∥CF，
∴四边形 AECF 是平行四边形. ∴ AC，EF 互相平分.
探究点2：平行四边形性质与判定的综合运用
平行四边形
五种判定方法
对边平行，对边相等，对角相等
判定
性质
夹在两条平行线间的线段处处相等
1. 在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，则
下列结论不一定成立的是(　A　)
A. AB＝CB B. ∠B＝∠D
C. AD∥BC D. ∠A＋∠B＝180°
A
2. 如图，在 ABCD中，点E，F分别为边BC，
AD的中点，则图中共有平行四边形(　B　)
A. 3个 B. 4个
C. 5个 D. 6个
B
3. 如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，
BO＝DO. 若AD＝6，
则BC＝ .
6　
4. 如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝5 cm，
S△ABC＝10 cm2，
则△ABD中AB边上的高为 .
4cm
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边
上，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点
F，那么四边形AFDE的周长是 .
第5题图
30　
6. 如图，已知E，F分别为 ABCD的边AD，BC
上的点，且DE＝BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC
于N，EF交AC于点O，求证：
(1)EM＝FN；
证明：(1)∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EAM＝∠FCN.
∴∠AME＝∠CNF＝90°.
在△AEM和△CFN中，
∴△AEM≌△CFN(AAS).
∴EM＝FN.
∵EM⊥AC于M，
FN⊥AC于N，
∵DE＝BF，
∴AE＝CF.
(2)EF与MN互相平分.
证明：(2)如图，连接EN，FM.
∵EM⊥AC，FN⊥AC，
∴∠EMN＝∠FNM＝90°.
∴EM∥FN.
又∵由(1)得EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形.
∴EF与MN互相平分.
∴四边形EMFN是平行四边形.
∴EF与MN互相平分.

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