资源简介

(共24张PPT)
1.1 平行四边形的性质
第六章 平行四边形
第 2 课时 平行四边形对角线的性质
1. 掌握平行四边形对角线的性质。(重点)
2. 综合运用平行四边形的性质，并能够利用性质进行简单的推理计算。(难点)
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
老二
老大
老三
老四
上节课我们研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
边：
角：
平行四边形的性质
对边相等且平行.
对角相等，邻角互补.
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
猜一猜
OA = OC，OB = OD
这个结论正确吗？证明看看！
探究点：平行四边形的对角线的性质
度量法
A
B
C
D
O
5.5 cm
5.5 cm
7.5 cm
7.5 cm
剪拼法
A
B
C
D
( C )
( A )
( D )
OA = OC，
OB = OD
OA = OC，
OB = OD
【动手操作】
O
探究点：平行四边形的对角线的性质
已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD.
证一证
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
探究点：平行四边形的对角线的性质
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
几何语言：
∵□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ OA = OC，OB = OD.
探究点：平行四边形的对角线的性质
1. 在 □ ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，OA = 12 cm，OB = 19 cm，则 AC = cm，BD = cm.
B
C
D
A
O
24
38
【练一练】
探究点：平行四边形的对角线的性质
【练一练】2.如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠ADB＝90°，OA = 6，OB = 3，求 AD 和 AC 的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD = 3，
AC = OA = 12．
∵ ∠ADB＝90°，
∴ 在 Rt△ADO 中，
例1 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F.
求证：OE = OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODE = ∠OBF，
∠DOE = ∠BOF.
∴△DOE≌△BOF(AAS).
∴ DO = OB，AD∥BC.
∴ OE = OF.
思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗
探究点：平行四边形的对角线的性质
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
1. 请判断下列图中，OE = OF 还成立么？
同例1 易证明 OE = OF 还成立.
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.
总结
探究点：平行四边形的对角线的性质
总结
你能利用平行四边形的性质判定老人这样分地合理吗
老二
老大
老三
老四
△AOD≌△COB
S1
S2
S3
S4
S1 = S3
△AOB≌△DOC
S2 = S4
△AOB与△AOD
等底同高
S1 = S2
∴ S1 = S2 = S3= S4
E
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形.
探究点：平行四边形的对角线的性质
∴S四边形ANMB = S△NAO+S△AOB+S△MOB = S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB + S△COB = .
∴ S四边形ANMB = S四边形CMND.
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分
的两个四边形面积相等.
M
N
A
B
C
D
O
F
E
2. 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线 EF 交 AD，BC 于点 N，M.
∵AD∥BC，∴∠NAO =∠MCO，∠ANO =∠CMO.
又∵ AO = CO，
∴△NAO≌△MCO.
探究点：平行四边形的对角线的性质
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
总结
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
O
E
F
思考 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
探究点：平行四边形的对角线的性质
【尝试·思考】
还记得小学学过的梯形的 “样子” 吗 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义。
两组对边
分别平行
一组对边平行
一组对边不平行
探究点：平行四边形的对角线的性质
一组对边平行、另一组对边
不平行的四边形叫作梯形。
如图，平行的两边称为梯形
的底，较短的底通常称为上底，
较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
上底
下底
腰
腰
高
探究点：平行四边形的对角线的性质
【尝试·交流】
等腰梯形是轴对称图形吗 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现 与同伴进行交流。
归纳：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
探究点：平行四边形的对角线的性质
平行四边形
性质
对角线互相平分
对边相等且平行
边
___________________
角
____________________
对角线
_____________________
对角相等，相邻两角互补
1. 如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
则图中与△OBC面积相等的三角形(不包括自身)
有(　C　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
第1题图　　
C
2. 如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交
点，则下列结论中不正确的是(　D　)
A. ∠ABC＝∠ADC B. OA＝OC
C. AB＝CD D. AC＝BD
第2题图
D
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
若AC＋BD＝10，BC＝4，
则△BOC的周长为(　B)
A. 8 B. 9
第3题图　　
B
4. 在 ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，对角线
AC，BD相交于点O，则：
(1)△BCO与△ABO的周长之差为 ；
(2)对角线BD的取值范围是 .
2 cm　
2 cm＜BD＜14 cm　
C. 10 D. 14
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，过O作直线交AD于点E，交BC于点F. 若
ABCD的面积为30，则阴影部分的面积是 .
第5题图
15　
6. 如图，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，
过点O的直线交AD的延长线于点E，交CB的延长
线于点F，求证：DE＝BF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴AE＝CF.
∴AE－AD＝CF－BC，即DE＝BF.
∴OA＝OC.

展开更多......

收起↑