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2 三角形的中位线
第六章 平行四边形
1. 理解中位线的概念和性质. (重点)
2. 能够利用中位线解决相关问题. (重、难点)
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的大小和形状都相同，怎么设计合理的解决方案呢？
思考1 你能将任意的一个三角形分成四个全等的三角形吗
A
B
C
思考2 连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形
D
E
F
猜想：四个全等的三角形
探究点：三角形的中位线及其性质
D
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
A
B
C
E
两层含义：
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 .
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ；
中位线
中点
【知识要点】
探究点：三角形的中位线及其性质
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
A
B
C
D
E
有三条.
如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
·
·
·
F
探究点：三角形的中位线及其性质
问题2：三角形的中位线与中线一样吗？
A
B
C
D
E
·
·
A
B
C
D
·
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
中位线
中线
都是与中点有关的线段.
相同点：
不同点：
探究点：三角形的中位线及其性质
问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？
小明的做法：如图，将△ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转180° 到△CFE 的位置，这样就得到了一个与 △ABC 面积相等的□ DBCF.
A
D
E
F
C
B
探究点：三角形的中位线及其性质
猜一猜 从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？
A
D
E
F
C
B
DE 和边 BC 的关系
数量关系：
位置关系：
平行
DE 是 BC 的一半
能证明你的猜想吗
探究点：三角形的中位线及其性质
D
E
问题4：如何证明你的猜想？
平行
角相等
平行四边形
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
全等
探究点：三角形的中位线及其性质
已知：如图，在△ABC 中，DE 是△ABC 的中位线. 求证：
DE∥BC，
DE = BC.
E
A
B
C
D
证明：如图，延长 DE 至 F，使 EF = DE，连接 CF.
∵ AE = CE，∠1 =∠2，DE = FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴ ∠A =∠ECF，AD = CF.
∴ CF∥AB.
∵ AD = BD，
∴ BD = CF.
在 △ADE 和 △CFE 中，
F
1
2
探究点：三角形的中位线及其性质
∴ DE∥BC，DE = BC.
E
A
B
C
D
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∴ DF∥BC(平行四边形的定义)，
DF = BC (平行四边形的对边相等).
F
1
2
探究点：三角形的中位线及其性质
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
D
A
B
C
E
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
【知识要点】
探究点：三角形的中位线及其性质
A
B
C
D
E
F
□ DEFB，□ DECF
□ AEFD，□ DEFB
□ AEFD，□ DECF
△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED
S△ADE = S△DBF = S△EFC = S△FED = S△ABC
问题5：根据三角形的三条中位线能得到什么结论？
探究点：三角形的中位线及其性质
思考 如图，如何做辅助线，将 △ABC 分成 4 块面积相等的部分？
A
B
C
·
·
·
方法二：中线法
方法一：中位线法
A
B
C
D
E
F
探究点：三角形的中位线及其性质
【练一练】
1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 中点．
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °．
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ．
10
65
8
探究点：三角形的中位线及其性质
例1 如图，□ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 AB 的中点，∠ADB = 90°，AC = 6，OE =1. 求AD 和 BD 的长度.
解：∵ □ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
∴ AO = OC，DO = OB
(平行四边形的对角线互相平分).
∵ E 为 AB 的中点，
∴ OE 是 △ADB 的中位线
(三角形的中位线的定义).
探究点：三角形的中位线及其性质
∴ AD = 2OE = 2 (三角形中位线定理).
∵ AC = 6，AO = OC，
∴ BD = 2DO = .
在 Rt△ ADO 中，由勾股定理可得
DO = = =2 .
∴ AO = AC = = 3.
探究点：三角形的中位线及其性质
例2 已知：如图，在四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.
A
B
C
D
E
F
G
H
探究点：三角形的中位线及其性质
证明：连接 AC.
∵E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG，EF = HG.
∴EF∥AC，
HG∥AC，
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
探究点：三角形的中位线及其性质
三角形中位线
定 义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
1. 如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得A，B分别是CD，CE的中点.若DE＝16 m，则线段AB的长度是(　C　)
C
A. 16 m
B. 10 m
C. 8 m
D. 6 m
2. 在等边三角形ABC中，点D，E分别为边AB，
AC的中点，则∠DEC的度数为(　C　)
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
C
3. 如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，E是
BC边的中点，AB＝4，则OE的长为(　B　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
第3题图　　
B
4. 如图，在△MBN中，BM＝8，BN＝6，点A，
C，D分别是MB，NB，MN的中点，则四边形
ABCD的周长是(　C　)
A. 16 B. 18
C. 14 D. 32
第4题图
C
5. 顺次连接任意四边形各边的中点得到的四边形
是 .
平行四边形　
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，P是对角
线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点，
连接PM，MN，PN.
(1)若AB＝6，求PM的长度；
解：(1)∵AB＝DC，AB＝6，
∴DC＝6.
∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，
∴PM＝ DC＝ ×6＝3.
(2)若∠PMN＝20°，则∠MPN的度数为 .6，
140°　

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