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2025—2026学年度下学期2024级
3月月考数学试卷
命题人： 审题人：
考试时间：2026年3月19日
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列则该数列的一个通项公式为( )
A． B．
C． D．
2．若则( )
A． B． C． D．4
3．已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且，则双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
4．若函数有两个不同的极值点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，已知数列满足：，则 ( )
A． B． C． D．
6．现有函数，设数列满足，若存在使不等式：成立，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．若，则的大小关系为( )
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一个动点，记的内切圆圆心为，则点与点的横坐标之比为( )
A． B． C． D．2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知数列为等差数列，为其前项和，，则( )
A． B．为单调递增数列
C．使的的最小值为 D．当且仅当时，最小
10．已知函数，则下列四个结论正确的是( )
A．的极大值点为2 B．若关于的方程恰有两实根，则
C．有4个实根 D．关于的不等式的整数解至少有两个
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图，曲线就是其中之一，下列结论中正确的是( )
A．曲线所围成的“心形”区域的面积大于
B．曲线关于轴对称
C．曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
D．曲线上任意一点到原点的距离都不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．函数的最大值为 .
13．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 .
14．已知，若与的图像有两个交点，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．本小题分
数列满足
（1）求数列的通项公式；求数列的前项和.
16．本小题分
已知函数
（1）讨论的单调性.
（2）若有两个零点，试求的取值范围.
17．本小题分
已知半径为球的截面所在圆面面积为，为截面圆
的直径，为球的直径，（1）求证：面面.
（2）若球的半径为，劣弧和劣弧长度之比为1:2试求、所成的角的余弦值.
（3）若和长度之比为，求二面角的平面角的正弦值.
18．本小题分
过抛物线：焦点的直线交抛物线于点、两点点在轴上方.
（1）若，求点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）对于轴上给定的点，若过点和两点的直线交抛物线的准线于点，问直线是否经过一定点，如果存在，求出此定点.
19．(本小题分)
若函数
（1）当时，求函数的单调区间.
（2）当时，，求的取值范围.
（3）证明：.
高二下学期3月月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A B B C D A B BC ACD ABD
6．【答案】 【解析】解：因为，所以的图像关于点成中心对称．因为，，由，得，所．又，所以，所以，即的取值范围是
7．【答案】,利用两个不等式放缩
8．【答案】 解：由题知，，设，，与圆分别切于点，，，，，则，又，因为，则，所以，由切线性质可知，，，所以
，所以，又点与点的横坐标相同，所以点与点的横坐标之比为
10．【答案】 【解析】对原函数求导，找极值点，画函数图像分析。
11．【答案】 【解析】解：根据曲线：，可得曲线与轴，轴的交点，，，，对于选项A，曲线所围成的“心形”区域的面积大于图中两个小正方形与一个三角形的面积之和，
两个正方形的面积均为，的面积为，所以曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故选项A正确；对于选项B：将方程中的换成方程不变，所以图形关于轴对称，故B正确；对于选项C：与轴，轴的交点，，，，结合曲线的图象可知，，，故曲线一共经过个整点，故选项C错误；具体证明如下：由图可知，轴下方只有一个整点，即点，当时，根据曲线的图象的对称性，可先设图象上第一象限的任意一点，则，由，得，即，把方程看作关于的一元二次方程，则有，解得，所以只能取，同理，把上述方程看作关于的一元二次方程，则有，可得，所以只能取，因此，点只有一种情况，即第一象限只有一个整点，同理第二象限也只有一个整点，因此共有个整点；对于选项D：设图象上任意一点，，则，因为，由，得，当且仅当时，等号成立．所以，即，当且仅当时，取得最大值，即当时，图象上的点到原点的距离都不超过，根据曲线的图象的对称性可得，当时，图象上的点到原点的距离都不超过；当时，所以选项D正确．
12．54,13．
14．【答案】 解：设在底面上的射影为，如图， 因为，由全等，得为的中心，由题可知，，由，解得，在正中，可得．
从而直角三角形中解得．同理，又是边长为的正三角形，所以，则，同理，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心．记外接球半径为，则，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足，由得，所以，所以截面面积的最小值为．故答案为：
15．【答案】解：由题意得，可变形为：，设，则，即是公比为的等比数列，数列的通项公式为：，
数列的前项和，则，所以，因此：，故．
16．放缩令直接求导证明
17．（2）（三种方法，向量坐标法，向量基底法，三余弦定理（最快））
（3）（体积法，体高：斜高）
18．【答案】解：抛物线：的焦点，准线方程为，
则，，结合和点在轴上方，得；
由，设直线为，设，，
由，得，则，
显然，，，故
．
设，，由题意知直线与轴不垂直，所以，所以．
设，代入，得，所以，
又抛物线的准线方程为，，所以，
所以，所以，令，所以，所以直线与轴交于一定点．
19．（1）（i）时，在上单减
（ii）时，在上单减，在上单增
（2）函数有两个零点，由（1）知
（i）若，，函数只有一个零点
（ii）若，，函数无零点
（iii）当时，，，而函数在上单减，故必有一个零点，又，故在必有一个零点，综之有函数恰有两个零点，
另解：变量分离，令，求导，利用导函数分子的正负性，推出原函数的单调性，再画出原函数的草图，易知

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