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人教版2026年八年级下册第20章《勾股定理》同步检测卷
满分120分 时间120min
一、选择题（30分）
1.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6
C．7，8，9 D．6，8，10
2.下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．1，1， B．2，3，4
C．2，2，3 D．6，8，11
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝2，则AB的长是（ ）
A． B．
C．2 D．
4.如图每个小正方形的边长均为1，其中点D与点P之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B，C，D的面积分别是4，6，2，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
6.在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
7.如图，数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，BA⊥OA，垂足为A，且BA＝1，以O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点C，点C表示的数为(　　)
A.－ B.
C.2+ D.2－
8.九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（ ）
A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺
9.如图是一个长方体木盒，其长，宽，高分别为2cm，2cm，4cm，一只蚂蚁从盒底的点A处，沿木盒的表面爬到盒顶的点B处，则蚂蚁爬行的最短路程是(　　)
A．8cm B.2 cm
C.4 cm D.2 cm
10.图①是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②所示）演化而成的.如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，那么OA8的长为（ ）
图① 图②
A.2 B.3
C. D.
二、填空题
11.如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了 cm.
12.如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若 ，则AC的长为______．
13.在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了如图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”）
14.古代著作《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深为 尺．
15.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶面爬到点B，最短路线长度是______cm．
16.如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若BH＝6，连接HC，则HC+AB的最小值是 ．
三、解答题
17.如图，在 △ 中，∠ =90°， =2 ， =2， 是直线 上一点，连接 ，若 =1，求△ 的周长.
18.设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h．求证： ．
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．
（1）a＝6，b＝8，求c及斜边上的高；
（2）a＝40，c＝41，求b；
（3）b＝15，c＝25，求a；
（4）a∶b＝3∶4，c＝15，求b．
20.一块铁皮(阴影部分)如图所示，测得 .求阴影部分的面积.
21.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
22.如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道 的同侧，售卖机A，B之间的距离 为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米， 于点N，M到 的距离 为240米，假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道 上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中， 是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
23.在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①，图②，图③的证明方法中任选一种来证明该定理．
（2）如图④所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明．
24.根据背景素材，探索解决问题．
设计铺设管道的最短路线
背景素材 如图①，在一条笔直的路边l的同侧有两个城镇A，B，它们到公路的距离分别为AC＝5km，BD＝9km，且CD＝24km．政府打算在路边l上建一个燃气站，向两个城镇分别铺设管道输送燃气． 图①
现有两种方案——方案①：燃气站放置在点C位置，铺设管道的长度为AC＋BC；方案②：燃气站放置在CD的中点E位置（如图②），铺设管道的长度为AE＋BE． 图②
问题解决
任务1 对比方案 通过计算说明方案①，②中哪一种铺设管道的长度更短．
任务2 设计方案 请你设计一种方案（要求：比①，②两种铺设方案的管道长度更短），在图①中画出铺设路线及燃气站的位置，并求出铺设的管道长度．
任务3 优化方案 如图③，在B城镇周边有一个正方形的生态保护区，边长BF＝4km．请你设计一份优化方案：燃气管道不能穿过保护区且铺设长度最短，在图③中画出铺设路线及燃气站的位置，并求出铺设的管道长度． 图③参考答案
一、选择题
1.D
【解析】A．22+32≠42，不是勾股数，故A选项不符合题意；B．42+52≠62，不是勾股数，故B选项不符合题意；C．72+82≠92，不是勾股数，故C选项不符合题意；D．82+62＝102，是勾股数，故D选项符合题意．
2.A
【解析】A．12+12=( )2，故A选项是直角三角形，符合题意；B．22+32≠42，故B选项不是直角三角形，不符合题意；C．22+22≠32，故C选项不是直角三角形，不符合题意；D．62+82≠112，故D选项不是直角三角形，不符合题意．
3.D
【解析】∵∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，又∵AC＝1，BC＝2，∴AB ．
4.D
【解析】由勾股定理得，DP ．
5.C
【解析】如答案图，根据勾股定理得SA＋SB＝SF，SC＋SD＝SG，SF＋SG＝SE，∴SE＝SA＋SB＋SC＋SD＝4＋6＋2＋4＝16，即最大正方形E的面积是16．
答案图
6.C
【解析】∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2＝25，∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50．
7.A
【解析】由题意，得：OA＝2，AB＝1，∠OAB＝90°，OB＝OC，所以OC=OB= = ，因为点C在原点的左侧，所以点C表示的数为－ .
8.C
【解析】一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，如答案图，设折断处离地面的高度AB为x尺，则AC＝(10－x)尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋42＝(10－x)2，解得x＝4.2，即折断处离地面的高度为4.2尺．
答案图
9.C　
【解析】由两点之间线段最短可知，蚂蚁的爬行路线有两种：①如答案图①，此时蚂蚁爬行的路程为 ＝2 (cm)；②如答案图②，此时蚂蚁爬行的路程为 ＝4 (cm).∵4 ＜2 ，∴蚂蚁爬行的最短路程是4 cm.
答案图
10.A
【解析】因为OA1＝1，所以由勾股定理可得OA2 ，OA3 ，…，所以OAn ，所以OA8 2 .
二、填空题
11.4
【解析】由题意得 ADB为等腰三角形，CD⊥AB，AB=6cm，因为C为AB中点，所以 cm，所以 cm，所以橡皮筋被拉长了AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4(cm).
12.
【解析】由勾股定理得， ，∵ ，∴ ．
13.乙
【解析】甲得出的结果为（a＋b）2＝a2＋b2＋4 ab＝a2＋b2＋2ab，不符合题意；乙得出的结果为（a＋b）2 ab＝c2，即a2＋b2＝c2，符合题意.
14.12
【解析】由题意得，CB′＝5尺，设AC＝x尺，则AB′＝(x+1)尺，因为AC2+CB′2＝AB′2，所以x2+52＝(x+1)2，解得x＝12(尺)．
15.13
【解析】如答案图，将台阶展开，∵AC＝3×3+1×3＝12，BC＝5，∴在RT△ACB中，AB2＝AC2+BC2＝169，∴AB＝13(cm)，所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答案图
16.6
【解析】如答案图，设这4个全等的直角三角形的短边为x，则AH＝x，HG＝6－x，由勾股定理得 ， ，作MN＝GH＝6，NH＝6，∠MNH＝∠GHN＝90°，在NH上取一点P，设NP＝y，则PH＝6－y，可得 ， ，∴HC+AB＝MP+PG，故求HC+AB的最小值相当于求MP+PG的最小值，∴当M、P、G三点共线时，MP+PG最小，即此时HC+AB最小，过点M作MQ⊥GH交GH延长线于Q，则MN∥QH，MQ∥HN，∴QM＝HN＝6，QH＝MN＝6，∴QG＝12，由勾股定理 ，∴HC+AB的最小值为 ．
答案图
三、解答题
17.解：由题意，得 = =4，
∵ 是直线 上一点，且 =1，
∴如答案图，分两种情况：①当点 在线段 上时，在 △ 中， =2， =1，
根据勾股定理，得 = = ，
∵ =4， =1，
∴ = － =3，
∴△ 的周长= ＋ ＋ =3 ＋3；
②当点 在 的延长线上时，即位于点 ′处时，同理，可得 ′= ， ′= ＋ ′=5，
∴△ ′的周长= ′＋ ＋ ′=3 ＋5.
综上所述，△ 的周长为3 ＋3或3 ＋5.
答案图
18.证明：设直角三角形斜边长为c，
∵直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，
∴ ，
∴c ，
∵a2+b2＝c2，
∴ ，
∴
∴
∴ ．
19.解：（1）根据勾股定理，得c 10，
斜边上的高＝ 4.8；
（2）根据勾股定理，得b 9；
（3）根据勾股定理，得a 20；
（4）由a∶b＝3∶4，根据勾股定理，得a∶b∶c＝3∶4∶5，
又c＝15，则a＝9，b＝12．
20.解：如答案图，连接 .
因为 ，
由勾股定理可知 ，
所以AC=5m；
因为 ，
所以△ADC是直角三角形，
（m2）．
答案图
21.解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
22.解：（1）∵ ，
∴ ．
在 中， ， ，
由勾股定理得BN2 1802，
∴BN=180m，
即B，N之间的距离为180米；
（2）∵ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理得AM2 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是垂线段，
∴ 是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
23.解：（1）解法一：在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即 ，化简得a2＋b2＝c2；
解法二：在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即 ，化简得a2＋b2＝c2；
解法三：在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即 ，化简得a2＋b2＝c2；
（2）S1，S2，S3满足的关系是S1＋S2＝S3，
因为 ， ，
因为a2＋b2＝c2，
所以S1＋S2＝S3．
24.解：任务一：方案①，燃气站放置在点C位置，
∵BD⊥CD，BD＝9，CD＝24，
∴ ，
∴ ；
方案②，燃气站放置在CD的中点E位置，
则CE＝DE＝12，
∴ ， ，
∴AE＋BE＝13＋15＝28，
∵ ，
∴ ，
∴方案②的管道长度更短．
任务二：如答案图①，作A关于CD的对称点I，连接BI交CD于P，过B作BH⊥IA于H，
则AP＝IP，AC＝IC＝5，HC＝BD＝9，
此时AP＋BP＝PI＋BP＝IB，
∴铺设的管道最短，
∴ ；
答案图①
任务三：如答案图②，设点K，作A关于CD的对称点I，连接FI交CD于P1，连接KI交CD于P2，过B作BH⊥IA于H，连接AF，
∵BF＝BK＝4，
∴FD＝AC＝5，HK＝24－4＝20，
∴FA⊥AC，
同理可得 ；
，
而 ，
∴燃气站的位置在P2时，铺设管道最短，为（ ＋4） ．
答案图②

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