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浙江省绍兴市元培教育集团2025-2026学年八年级上学期期中学情评估数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025八上·绍兴期中）下列四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·绍兴期中）下列句子中，属于命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
3．（2025八上·绍兴期中）下列在数轴上表示不等式-2＜x≤4的图中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·绍兴期中）作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（　　）
A．AD B．AE C．AF D．都有可能
5．（2025八上·绍兴期中）将一副三角尺如图摆放，其中∠DFB的度数为（　　）
A．15° B．75° C．105° D．135°
6．（2025八上·绍兴期中）如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（　　）
A．9m B．10m C．12m D．14m
7．（2025八上·绍兴期中）△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD交AB于点D，中线CD分△ABC两部分的周长差为2，若AB＝10，则BC的长为（　　）
A．5 B．8或10 C．12 D．8或12
8．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
9．（2025八上·绍兴期中）如图，钓鱼竿AB的长为，露在水面上的鱼线BC长为。钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为3m，则CC'的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．（2025八上·绍兴期中）如图，AB与CD相交于点P，AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，且∠B：∠C：∠F＝4：6：a则a值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．10
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八上·绍兴期中）定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是　 　。
12．（2025八上·绍兴期中）已知a＜b，则1-2a　 　1-2b。（填“＞”或“＜”）
13．（2025八上·绍兴期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断△CDO≌△C'D'O'的依据是　 　。
14．（2025八上·绍兴期中）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，BE是△ABC的一条角平分线，若∠BCD＝40°，则∠AEB的度数是　 　。
15．（2025八上·绍兴期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值“。在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”
为　 　。
16．（2025八上·绍兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的点，且CD＝2。连结AD，并将△ACD沿直线AD翻折点C恰好落在AB边上的点E处，此时∠CAD＝15°。 F是直线AD上的一动点，连结BF，EF，则△BEF周长的最小值是　 　。
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，线段AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线， ∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的大小。
18．（2025八上·绍兴期中）如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝135°。求∠ADC的度数
19．（2025八上·绍兴期中）在学习不等式的内容时，小王认为：
∵3＜4，
∴对于实数a，
则有3a＜4a。
请判断小王的想法是否正确？并说明理由。
20．（2025八上·绍兴期中）为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示。为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P。要求点P到村庄A，B， C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）。
21．（2025八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，AB=AC，其中AC、AB边上的高BD、CE相交于点O.
（1）求证：AD=AE；
（2）请判断△BOC是等腰三角形吗？并说明理由.
22．（2025八上·绍兴期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。
（1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。
（2）若EG＝CG求证：DG⊥CE。
23．（2025八上·绍兴期中）著名的“赵爽弦图”如图① 所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为e2，也可以表示为ab+（b-a）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2。
（1）图② 为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图② 推导勾股定理。
（2）如图③ ，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB.
测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米。
（3）在第（2）问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4千米，BC＝5千米，AB＝6千米，求AH的长。
24．（2025八上·绍兴期中）已知：Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝2。
（1）求∠CAB的度数和边AC的长。
（2）如图1，Rt△DEF的直角顶点D为AB的中点，两直角边DE、DF分别与Rt△ABC的两直角边AC、BC交于P、Q两点，PM⊥AB于M，QN⊥AB于N，若DP＝DO3，求证：。
（3）如图2，在Rt△DEF中，∠DFE＝30°，将Rt△DEF绕AB的中点D旋转，使顶点F落在BC的延长线上，若DF＝AB，求此时CF的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断即可.
2．【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A.数轴的解集为-2B.数轴的解集为x<-2或x≥4，不符合题意；
C.数轴的解集为x≤-2或x<4，不符合题意；
D.数轴的解集为-2≤x<4，符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别写出四个选项中每个数轴上的解集，再判断即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：三角形的中线，角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的的高有两条在三角形的外部.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的特征画图，即可判断.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠AFB=∠EAD+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠DFB=180°-∠AFB=105°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠AFB的度数，再根据邻补角点的定义即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：AC===10.
故答案为B：.
【分析】根据勾股定理直接求解即可.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵CD为AB边上的中线，AB=AC=10，
∴AD=DB=AB=5，
设BC=x，
∵ CD分△ABC两部分的周长差为2，
∴（AC+AD）-(BD+BC)=±2，
∴10-x=2或10-x=-2，
∴x=8或x=12.
故答案为：D.
【分析】设设BC=x，根据“CD分△ABC两部分的周长差为2”建立方程式，进而得出答案.
8．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵AC==，
AC'=，
∴ CC' =AC-AC'=4-3=1m.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AC与AC'的长度，再根据线段的和差即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接AD，
设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，
∵ AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，
∴∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，
∴∠APD=∠C+∠CAB=∠B+∠CDB，
∴6x+2∠FAB=4x+2∠CDF，
∴∠CDF-∠FAB=x，
∵∠FAD+∠ADF+∠F=∠APD+∠PAD+∠PDA=180°，
∴∠PAD+∠PDA=180°-∠APD=180-6x-2∠FAB，
ax=180°-∠FAD-∠FDA=180°-∠FAB-∠PAD-∠ADP-∠CDF=6x+∠FAB-∠CDF，
∴ax=6x-x=5x，
∴a=5.
故答案为：B.
【分析】连接AD，连接AD，设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，由角平分线的定义可得∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，所以∠CDF-∠FAB=x，最后根据三角形内角和即可求出答案.
11．【答案】两直线平行，同旁内角互补
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补.
故答案为：两直线平行，同旁内角互补.
【分析】根据逆命题的定义即可得出答案.
12．【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＜b，
∴-2a>-2b，
∴1-2a>1-2b.
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质即可得出答案.
13．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：在△CDO和△C'D'O' 中，
∵，
∴ △CDO≌△C'D'O' （SSS）
故答案为：SSS.
【分析】根据尺规作图可得两个三角形的三条边对应相等，再利用SSS证明△CDO≌△C'D'O'.
14．【答案】60°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD， ∠BCD＝40°，
∴∠ABC=∠BCD＝40°，
∵ BC平分∠ACD，BE是△ABC的一条角平分线，
∴∠ACB=∠BCD＝40°，∠BEC＝=20°，
∴ ∠AEB =∠ACB+∠BEC=40°+20°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠ACB和∠BEC的度数，再根据三角形外角的性质即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=，
∴BE=2.5，
∴，
即5×CD=3×4，
∴CD=，
∴BD=，
∴ED=BE-BD=2.5-=，
△ABC中AB边的“中偏度值”为.
故答案为：.
【分析】作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长度，再根据中线求出BE的长度，再次利用勾股定理求出BD的长度，从而求出ED的长度，进而得出答案.
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CE、CF、DE，
由翻折可知，AC=AE，∠CAD=∠EAD=15°，∠DCA=∠DEA=90°，
∴∠CAB=30°，∠CBA=180°-90°-30°=60°，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=180°-90°=90°，
∴∠EDB=180°-90°-60=30°，
∴BE=BD，
由题意知AD垂直平分CE，
∵F是直线AD上的一动点，
∴FE=FC，
∴△BEF周长 =BE+FE+BF=BE+CF+BF=BD+CF+BF，
∴当B、F、C三点共线时，BF+CF有最小值为BC
∴ △BEF周长的最小值是BD+BC=BD+(BD+CD)=BD+CD；
∵CD=2，
∴DE=2，
∴BD2=BE2+DE2=（BD）2+22，
∴BD=，
∴△BEF周长的最小值BD+CD=+2=.
故答案为：.
【分析】连接CE、CF、DE，由翻折可知，AC=AE，∠CAD=∠EAD=15°，∠DCA=∠DEA=90°，则∠CAB=30°，∠CBA=60°，BE=BD，将△BEF周长转化为BD+CF+BF，BD为定值，则当B、C、F三点共线时，其周长最小.
17．【答案】解：∵ 线段是边上的高 ，
∴∠AEC=90°，
∵∠C＝60°，
∴∠EAC＝180°－∠AEC－∠C＝180°－90°－60°＝30° ，
∵，，
，
又为∠BAC的平分线，
，
∴
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和为180°求出∠EAC及∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，进而得出答案.
18．【答案】解：在△ABC与△ADC中
∵
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ ABC＝135°，
∴ ∠ADC＝135°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据SAS证明△ABC≌△ADC，所以得出∠ABC＝∠ADC，进而得出答案.
19．【答案】解：小王的说法是错误的。
∵a是实数，
∴a可以为正数也可以为负数，
当a＜0时，
∵3＜4，
∴3a＞4a（不等式的性质），
∴小王的说法不正确
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】对a是正数和负数进行分类讨论，再根据不等式的性质进行计算即可.
20．【答案】解：点P即为所求.
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知作线段BC与线段AB的垂直平分线，交点即为所求点.
21．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高，
∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴AD=AE．
（2）解：△BOC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由 得△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE，
∴∠DBC=∠ECB，即∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据高线的定义得到∠ADB=∠AEC=90°，根据“AAS”证明△ADB ≌△AEC，即可得到结论；.
(2)根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，利用全等三角形的对应角相等得得∠ABD=∠ACE，即可得到∠DBC=∠ECB，根据等角对等边证明即可.
22．【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°
（2）证明：连结DE，
∵AD⊥BC ，
CE是AB边上的中线，
∴DE＝AE＝BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
又∵EG＝CG，
∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证.
23．【答案】（1）解：梯形ABCD的面积为（a＋b）（a＋b）a2＋abb2，
也可以表示为ababc2，
∴ababc2a2＋abb2，
即a2＋b2＝c2
（2）解：设CA＝x km，
∴AH＝(x－1.8)km，
在Rt△ACH中，
CA2＝CH2＋AH2，
即x2＝2.42＋(x－1.8)2，
解得x＝2.5，
即CA＝2.5（km），
∴CA－CH＝2.5－2.4＝0.1（km），
答：新路CH比原路CA短0.1千米
（3）解：设AH＝y km，则BH＝(6－y)km，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2，
∴CA2－AH2＝CB2－BH2，
即42－y2＝52－(6－y)2，
解得：y，
即AH km
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；多边形的面积
【解析】【分析】（1）先利用梯形的面积公式求出图形的面积，再利用三个直角三角形的面积和求出面积，两式相等，即可得出答案；
（2）设CA＝x km，则AH＝(x－1.8)km，根据勾股定理可得建立方程式，解得x的值，再作差即可得出答案；
（3）设AH＝y km，则BH＝(6－y)km，根据勾股定理可得建立方程式，解得y的值即可.
24．【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵ AB＝2 ，
∴ AC＝
（2）解：∵∠A＝45°，∠B＝45°，PM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠APM＝∠NQB＝45°，
∴PM＝AM，NQ＝BN，
∵∠EDF＝90°，
∴∠PDM＋∠QDN＝90°，
∴∠PDM＝∠DQN，
∵DP＝DQ，
∴△PDM≌△DQN（AAS），
∴QN＝DM，PM＝DN，
∴PM＋QN＝DM＋DN＝AM＋BN，
∴PM＋QN＝AB
（3）解：连结CD，作DK⊥BC于K，
在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，AB＝2，
∴AC＝BC＝，
∴CD＝AB＝1，DK＝CK＝BC＝，
∵DF＝AB＝2，
∴在Rt△DKF中，由勾股定理得，KF＝，
∴CF＝KF－CK＝
（说明：结果为也可以）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先求出∠CAB＝45°，进而得出答案；
（2）先求出∠APM＝∠NQB＝45°，则PM＝AM，NQ＝BN，再根据AAS证明△PDM≌△DQN，从而得出QN＝DM，PM＝DN，再根据等量代换即可得证；
（3）连结CD，作DK⊥BC于K，先求出AC＝BC＝，由直角三角形斜边中线的性质可得CD＝AB＝1，DK＝CK＝BC＝，再根据勾股定理得KF＝，进而得出答案.
1 / 1浙江省绍兴市元培教育集团2025-2026学年八年级上学期期中学情评估数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2025八上·绍兴期中）下列四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断即可.
2．（2025八上·绍兴期中）下列句子中，属于命题的是（　　）
A．垂线段最短 B．作一个角等于已知角
C．将16开平方 D．负数小于正数吗？
【答案】A
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：A、是命题，故本选项符合题意；
B、不是命题，故本选项不符合题意；
C、不是命题，故本选项不符合题意；
D、不是命题，故本选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义逐一判断即可.
3．（2025八上·绍兴期中）下列在数轴上表示不等式-2＜x≤4的图中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A.数轴的解集为-2B.数轴的解集为x<-2或x≥4，不符合题意；
C.数轴的解集为x≤-2或x<4，不符合题意；
D.数轴的解集为-2≤x<4，符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别写出四个选项中每个数轴上的解集，再判断即可.
4．（2025八上·绍兴期中）作△ABC的高AD，中线AE，角平分线AF，三者中有可能画在△ABC外的是（　　）
A．AD B．AE C．AF D．都有可能
【答案】A
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：三角形的中线，角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的的高有两条在三角形的外部.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的中线，角平分线，高线的特征画图，即可判断.
5．（2025八上·绍兴期中）将一副三角尺如图摆放，其中∠DFB的度数为（　　）
A．15° B．75° C．105° D．135°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠AFB=∠EAD+∠ACB=30°+45°=75°，
∴∠DFB=180°-∠AFB=105°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠AFB的度数，再根据邻补角点的定义即可得出答案.
6．（2025八上·绍兴期中）如图，电工师傅为长方形房间布埋电线管时，若电线管要从天花板A墙角走到C墙角，电线管的长度至少要（　　）
A．9m B．10m C．12m D．14m
【答案】B
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：AC===10.
故答案为B：.
【分析】根据勾股定理直接求解即可.
7．（2025八上·绍兴期中）△ABC中，AB＝AC，AB边上的中线CD交AB于点D，中线CD分△ABC两部分的周长差为2，若AB＝10，则BC的长为（　　）
A．5 B．8或10 C．12 D．8或12
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵CD为AB边上的中线，AB=AC=10，
∴AD=DB=AB=5，
设BC=x，
∵ CD分△ABC两部分的周长差为2，
∴（AC+AD）-(BD+BC)=±2，
∴10-x=2或10-x=-2，
∴x=8或x=12.
故答案为：D.
【分析】设设BC=x，根据“CD分△ABC两部分的周长差为2”建立方程式，进而得出答案.
8．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
9．（2025八上·绍兴期中）如图，钓鱼竿AB的长为，露在水面上的鱼线BC长为。钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB转到AB'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长为3m，则CC'的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：∵AC==，
AC'=，
∴ CC' =AC-AC'=4-3=1m.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出AC与AC'的长度，再根据线段的和差即可得出答案.
10．（2025八上·绍兴期中）如图，AB与CD相交于点P，AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，且∠B：∠C：∠F＝4：6：a则a值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：连接AD，
设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，
∵ AF平分∠CAB，DF平分∠CDB，
∴∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，
∴∠APD=∠C+∠CAB=∠B+∠CDB，
∴6x+2∠FAB=4x+2∠CDF，
∴∠CDF-∠FAB=x，
∵∠FAD+∠ADF+∠F=∠APD+∠PAD+∠PDA=180°，
∴∠PAD+∠PDA=180°-∠APD=180-6x-2∠FAB，
ax=180°-∠FAD-∠FDA=180°-∠FAB-∠PAD-∠ADP-∠CDF=6x+∠FAB-∠CDF，
∴ax=6x-x=5x，
∴a=5.
故答案为：B.
【分析】连接AD，连接AD，设∠B=4x，∠C=6x，∠F=ax，由角平分线的定义可得∠CAB=2∠FAB，∠CDB=2∠CDF，所以∠CDF-∠FAB=x，最后根据三角形内角和即可求出答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八上·绍兴期中）定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是　 　。
【答案】两直线平行，同旁内角互补
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补.
故答案为：两直线平行，同旁内角互补.
【分析】根据逆命题的定义即可得出答案.
12．（2025八上·绍兴期中）已知a＜b，则1-2a　 　1-2b。（填“＞”或“＜”）
【答案】＞
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵ a＜b，
∴-2a>-2b，
∴1-2a>1-2b.
故答案为：>.
【分析】根据不等式的性质即可得出答案.
13．（2025八上·绍兴期中）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断△CDO≌△C'D'O'的依据是　 　。
【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：在△CDO和△C'D'O' 中，
∵，
∴ △CDO≌△C'D'O' （SSS）
故答案为：SSS.
【分析】根据尺规作图可得两个三角形的三条边对应相等，再利用SSS证明△CDO≌△C'D'O'.
14．（2025八上·绍兴期中）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，BE是△ABC的一条角平分线，若∠BCD＝40°，则∠AEB的度数是　 　。
【答案】60°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵ AB∥CD， ∠BCD＝40°，
∴∠ABC=∠BCD＝40°，
∵ BC平分∠ACD，BE是△ABC的一条角平分线，
∴∠ACB=∠BCD＝40°，∠BEC＝=20°，
∴ ∠AEB =∠ACB+∠BEC=40°+20°=60°.
故答案为：60°.
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠ACB和∠BEC的度数，再根据三角形外角的性质即可得出答案.
15．（2025八上·绍兴期中）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值“。在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC中AB边的“中偏度值”
为　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=，
∴BE=2.5，
∴，
即5×CD=3×4，
∴CD=，
∴BD=，
∴ED=BE-BD=2.5-=，
△ABC中AB边的“中偏度值”为.
故答案为：.
【分析】作CE是△ACB的中线，CD⊥AB于点D，根据勾股定理求出AB的长度，再根据中线求出BE的长度，再次利用勾股定理求出BD的长度，从而求出ED的长度，进而得出答案.
16．（2025八上·绍兴期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的点，且CD＝2。连结AD，并将△ACD沿直线AD翻折点C恰好落在AB边上的点E处，此时∠CAD＝15°。 F是直线AD上的一动点，连结BF，EF，则△BEF周长的最小值是　 　。
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CE、CF、DE，
由翻折可知，AC=AE，∠CAD=∠EAD=15°，∠DCA=∠DEA=90°，
∴∠CAB=30°，∠CBA=180°-90°-30°=60°，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=180°-90°=90°，
∴∠EDB=180°-90°-60=30°，
∴BE=BD，
由题意知AD垂直平分CE，
∵F是直线AD上的一动点，
∴FE=FC，
∴△BEF周长 =BE+FE+BF=BE+CF+BF=BD+CF+BF，
∴当B、F、C三点共线时，BF+CF有最小值为BC
∴ △BEF周长的最小值是BD+BC=BD+(BD+CD)=BD+CD；
∵CD=2，
∴DE=2，
∴BD2=BE2+DE2=（BD）2+22，
∴BD=，
∴△BEF周长的最小值BD+CD=+2=.
故答案为：.
【分析】连接CE、CF、DE，由翻折可知，AC=AE，∠CAD=∠EAD=15°，∠DCA=∠DEA=90°，则∠CAB=30°，∠CBA=60°，BE=BD，将△BEF周长转化为BD+CF+BF，BD为定值，则当B、C、F三点共线时，其周长最小.
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，线段AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线， ∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的大小。
【答案】解：∵ 线段是边上的高 ，
∴∠AEC=90°，
∵∠C＝60°，
∴∠EAC＝180°－∠AEC－∠C＝180°－90°－60°＝30° ，
∵，，
，
又为∠BAC的平分线，
，
∴
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和为180°求出∠EAC及∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠DAC的度数，进而得出答案.
18．（2025八上·绍兴期中）如图，已知AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠ABC＝135°。求∠ADC的度数
【答案】解：在△ABC与△ADC中
∵
∴△ABC≌△ADC（SAS）
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ ABC＝135°，
∴ ∠ADC＝135°
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据SAS证明△ABC≌△ADC，所以得出∠ABC＝∠ADC，进而得出答案.
19．（2025八上·绍兴期中）在学习不等式的内容时，小王认为：
∵3＜4，
∴对于实数a，
则有3a＜4a。
请判断小王的想法是否正确？并说明理由。
【答案】解：小王的说法是错误的。
∵a是实数，
∴a可以为正数也可以为负数，
当a＜0时，
∵3＜4，
∴3a＞4a（不等式的性质），
∴小王的说法不正确
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】对a是正数和负数进行分类讨论，再根据不等式的性质进行计算即可.
20．（2025八上·绍兴期中）为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示。为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P。要求点P到村庄A，B， C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）。
【答案】解：点P即为所求.
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可知作线段BC与线段AB的垂直平分线，交点即为所求点.
21．（2025八上·绍兴期中）如图，在△ABC中，AB=AC，其中AC、AB边上的高BD、CE相交于点O.
（1）求证：AD=AE；
（2）请判断△BOC是等腰三角形吗？并说明理由.
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的高，
∴BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴AD=AE．
（2）解：△BOC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由 得△ADB≌△AEC，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE，
∴∠DBC=∠ECB，即∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰三角形
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)根据高线的定义得到∠ADB=∠AEC=90°，根据“AAS”证明△ADB ≌△AEC，即可得到结论；.
(2)根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，利用全等三角形的对应角相等得得∠ABD=∠ACE，即可得到∠DBC=∠ECB，根据等角对等边证明即可.
22．（2025八上·绍兴期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE。
（1）已知∠B＝40°，求∠BAD的度数。
（2）若EG＝CG求证：DG⊥CE。
【答案】（1）解：∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°
（2）证明：连结DE，
∵AD⊥BC ，
CE是AB边上的中线，
∴DE＝AE＝BE，
∵AE＝CD，
∴DE＝CD，
又∵EG＝CG，
∴DG⊥CE.（等腰三角形三线合一）
【知识点】等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和即可得出答案；
（2）连结DE，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝BE，进而得出DE＝CD，再根据三线合一即可求证.
23．（2025八上·绍兴期中）著名的“赵爽弦图”如图① 所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，斜边长为c，则大正方形的面积可以表示为e2，也可以表示为ab+（b-a）2，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2。
（1）图② 为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图② 推导勾股定理。
（2）如图③ ，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB.
测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CA短多少千米。
（3）在第（2）问中，若AB≠AC，CH⊥AB，AC＝4千米，BC＝5千米，AB＝6千米，求AH的长。
【答案】（1）解：梯形ABCD的面积为（a＋b）（a＋b）a2＋abb2，
也可以表示为ababc2，
∴ababc2a2＋abb2，
即a2＋b2＝c2
（2）解：设CA＝x km，
∴AH＝(x－1.8)km，
在Rt△ACH中，
CA2＝CH2＋AH2，
即x2＝2.42＋(x－1.8)2，
解得x＝2.5，
即CA＝2.5（km），
∴CA－CH＝2.5－2.4＝0.1（km），
答：新路CH比原路CA短0.1千米
（3）解：设AH＝y km，则BH＝(6－y)km，
在Rt△ACH中，CH2＝CA2－AH2，
在Rt△BCH中，CH2＝CB2－BH2，
∴CA2－AH2＝CB2－BH2，
即42－y2＝52－(6－y)2，
解得：y，
即AH km
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；多边形的面积
【解析】【分析】（1）先利用梯形的面积公式求出图形的面积，再利用三个直角三角形的面积和求出面积，两式相等，即可得出答案；
（2）设CA＝x km，则AH＝(x－1.8)km，根据勾股定理可得建立方程式，解得x的值，再作差即可得出答案；
（3）设AH＝y km，则BH＝(6－y)km，根据勾股定理可得建立方程式，解得y的值即可.
24．（2025八上·绍兴期中）已知：Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝2。
（1）求∠CAB的度数和边AC的长。
（2）如图1，Rt△DEF的直角顶点D为AB的中点，两直角边DE、DF分别与Rt△ABC的两直角边AC、BC交于P、Q两点，PM⊥AB于M，QN⊥AB于N，若DP＝DO3，求证：。
（3）如图2，在Rt△DEF中，∠DFE＝30°，将Rt△DEF绕AB的中点D旋转，使顶点F落在BC的延长线上，若DF＝AB，求此时CF的长。
【答案】（1）解：∵AB＝AC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B，
∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵ AB＝2 ，
∴ AC＝
（2）解：∵∠A＝45°，∠B＝45°，PM⊥AB，QN⊥AB，
∴∠APM＝∠NQB＝45°，
∴PM＝AM，NQ＝BN，
∵∠EDF＝90°，
∴∠PDM＋∠QDN＝90°，
∴∠PDM＝∠DQN，
∵DP＝DQ，
∴△PDM≌△DQN（AAS），
∴QN＝DM，PM＝DN，
∴PM＋QN＝DM＋DN＝AM＋BN，
∴PM＋QN＝AB
（3）解：连结CD，作DK⊥BC于K，
在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，AB＝2，
∴AC＝BC＝，
∴CD＝AB＝1，DK＝CK＝BC＝，
∵DF＝AB＝2，
∴在Rt△DKF中，由勾股定理得，KF＝，
∴CF＝KF－CK＝
（说明：结果为也可以）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先求出∠CAB＝45°，进而得出答案；
（2）先求出∠APM＝∠NQB＝45°，则PM＝AM，NQ＝BN，再根据AAS证明△PDM≌△DQN，从而得出QN＝DM，PM＝DN，再根据等量代换即可得证；
（3）连结CD，作DK⊥BC于K，先求出AC＝BC＝，由直角三角形斜边中线的性质可得CD＝AB＝1，DK＝CK＝BC＝，再根据勾股定理得KF＝，进而得出答案.
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