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湖北省武汉市东西湖区2025-2026学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·东西湖期中） 将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．5， B．5，4 C．5， D．5，1
2．（2025九上·东西湖期中）到2035年，我国的现代化建设将基本实现.2035四个数字中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·东西湖期中）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
4．（2025九上·东西湖期中）对于抛物线y=-3（x-1）2-2，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是（1，-2）
B．开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标是（-1，-2）
C．开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标是（1，-2）
D．开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标是（-1，-2）
5．（2025九上·东西湖期中）如图，A，B，C三点在圆O上，若∠B=20°，∠C=30°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．60° C．100° D．130°
6．（2025九上·东西湖期中）关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的根的情况是（　　）
A．无法确定 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
7．（2025九上·东西湖期中） 将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
8．（2025九上·东西湖期中） 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为 （　　）
A．2m B．3m C．8m D．10m
9．（2025九上·东西湖期中）△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，若A，B，C三个顶点均在圆O上，则圆O的半径为（　　）
A．5 B． C． D．2
10．（2025九上·东西湖期中）已知a，b是方程x2-3x-3=0的两根，则代数式2a3-6a2+b2+3b+1的值是（　　）
A．-20 B．-24 C．22 D．20
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025九上·东西湖期中）一元二次方程的根是　 　．
12．（2025九上·东西湖期中）在平面直角坐标系中，点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标为　 　.
13．（2025九上·东西湖期中）为响应全民阅读活动，东西湖区面向社会开放图书馆.自开放以来，进馆人次不断增加，第一周进馆3000人次，第三周进馆4320人次.若进馆人次的周增长率相同，为求进馆人次的周增长率.设进馆人次的周增长率为x，依题意可列方程为　 　.
14．（2025九上·东西湖期中）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为　 　．
15．（2025九上·东西湖期中）如图，已知P是等边△ABC.内一点，PA=3，PC=4，PB=5.则△ABC的面积为　 　.
16．（2025九上·东西湖期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，且满足a+b+c=0.则下列5个结论：
①该二次函数的图象经过点（1，0）；
②abc＜0；
③若9a+3b+c=0，则此二次函数的对称轴为直线x=2；
④若a＜b＜c，则此二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
⑤若存在-3＜m＜-2满足am2+bm+c=0，则当x＜-1时，y随着x的增大而减小；
其中正确的结论有　 　（只填写正确的序号即可）.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2025九上·东西湖期中）请你选择合适的方法解下列方程：
（1）x2+10x+9=0；
（2）x（x+4）=8x+12.
18．（2025九上·东西湖期中）如图，A，B，C三点不共线，△ABD和△AEC都是等边三角形.CD与BE交于点F.
（1）△ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是　 　点，旋转方向是　 　时针，旋转角（小于平角）的度数是　 　；
（2）请你求出∠CFE的度数.
19．（2025九上·东西湖期中）如图，利用函数y=x2-4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2-4x+3=0的解是　 　．
（2）当x满足　 　时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足　 　时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　 　．
20．（2025九上·东西湖期中）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB=16m，拱顶到水面的距离CD=4m，
（1）求拱桥的半径；
（2）如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由.【温馨提示：就是利用垂径定理加勾股定理思考弓形ABC内能否放下一个两边长为12和3的矩形】
21．（2025九上·东西湖期中）如图，在边长均为1的7×6小正方形网格中，三角形ABC的顶点A，B，C均为格点，E点为边AB上任意一点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成下面的两个问题，每个问题的画线不得超过6条.
（1）在图1中作一个格点平行四边形ABDC，再过点E作直线EF平分四边形ABDC的面积，与边CD交于点F；
（2）在图2中先画线段AC绕着点C顺时针旋转90°得到的线段CG，再画出线段BE绕点B逆时针旋转∠ABC的角度得到的线段BQ.
22．（2025九上·东西湖期中）问题背景为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形 ABCD花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉.AB的长为8m，AE=LI.红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元/m2，100元/m2，60元/m2.
建立模型设 AE的长为x m，购买花卉的总费用为W元.
（1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
（2）求W与x之间的函数表达式；
（3）方案决策
当购买花卉的总费用最少时，求EI的长.
23．（2025九上·东西湖期中）
问题背景
如图1，在△ABC与△ADE中，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形．
尝试运用
如图2，在等边△ABC中，BC=12，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE，F是DE的中点，连接BF，若BD=4，求BF的长．
拓展创新
如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连接BE．设BD=x，BE2=y，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
24．（2025九上·东西湖期中）抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点.
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，连接BC，点P在抛物线上，且∠PAB=∠BCO，求P点坐标；
（3）作直线AC，横坐标为m的点E是抛物线上任意一点，过点E作x轴的垂线，垂足为点G，与直线AC交于点F（其中E，F，G互不重合），当EF-FG=2时，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：化为一般式为，故二次项系数为5，一次项系数为-4
故答案为：C.
【分析】移项化为一般式后直接判断即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是中心对称，不是轴对称图形，故不符合题意；
B.既是中心对称又是轴对称图形，故符合题意；
C.不是中心对称，是轴对称图形，故不符合题意；
D.是中心对称，不是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的开口向上，对称轴为 轴，有最低点；
抛物线 开口向下，对称轴为 轴，有最高点；
故抛物线 与 相同的性质是对称轴都是 轴.
故答案为：B.
【分析】两函数解析式都缺了一次项及常数项，二次项的系数又互为相反数，故两函数图象开口方向相反，开口大小一样，对称轴一样都是y轴，当开口向上的时候，图象有最低点，当开口向下的时候图象有最高点，据此即可一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由解析式可得，开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2）.
故答案为：A .
【分析】根据表达式直接得出答案.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AO，
∵OA=OB=OC，
∴∠B=∠BAO，∠C=∠OAC，
∵ ∠B=20°，∠C=30°，
∴∠BAO=20°，∠OAC=30°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=20°+30°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°.
故答案为：C .
【分析】连接AO，根据等边对等角及∠B=20°，∠C=30°可得∠BAO=20°，∠OAC=30°，再根据角的和差得出∠BAC的度数，最后根据圆周角定理即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：k2-4×1×（-2）=k2+8，
∵k2≥0，
∴k2+8＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D .
【分析】先写出判别式，再判断其正负情况，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 将抛物线 平移后得到抛物线 ，
∴将抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位.
故答案为：B .
【分析】根据平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y=0时，即，
解得：x1=-2（舍），x2=10.
故答案为：D .
【分析】根据题意可知他推出铅球的距离其实就是当y=0时，x对应的值.
9．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ AC=3，BC=4，AB=5，
∴32+42=52，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴ 圆O的半径.
故答案为：B .
【分析】先判定三角形ABC为直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ a，b是方程x2-3x-3=0的两根，
∴a2-3a-3=0，b2-3b-3=0，a+b=3，
∴a2=3a+3，b2=3b+3，
∴ 2a3-6a2+b2+3b+1
=2a(3a+3)-6a2+(3b+3)+3b+1
=6a2+6a-6a2+3b+3+3b+1
=6a+6b+4，
=6(a+b)+4
=6×3+4
=18+4
=22.
故答案为：C .
【分析】由 a，b是方程x2-3x-3=0的两根可得a2-3a-3=0，b2-3b-3=0，a+b=3，再整理可得a2=3a+3，b2=3b+3，接着将其代入原式，进而得出答案.
11．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
所以该方程的解为：，．
故答案为：，．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
12．【答案】（-3，2）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标为 (-3，2).
故答案为：（-3，2） .
【分析】根据“关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数”，即可得出答案.
13．【答案】3000（1+x）2=4320
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：3000（1+x）2=4320.
故答案为：3000（1+x）2=4320 .
【分析】根据题意找出等量关系式，列出方程式即可.
14．【答案】16
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】∵x2-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3或x2=4，
①当AB=3时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=3+3=6，
∴不能构成三角形，AB=3（舍）
②当AB=4时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=4+4=8，
∴C菱形ABCD=4×4=16.
故答案为：16.
【分析】根据边AB的长是方程x2-7x+12=0 的一个根，解方程求出菱形AB的长；再根据菱形ABCD的一条对角线长为6，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边得出菱形的边长，从而求出菱形的周长.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△ACD，由于∠BAC=60°，则点B于点C重合，设点P的对应点为D，连接PD，过点C作CE⊥PA，交PA的延长线于点E，
∵ △ABC是等边三角形，
∴设AB=AC=BC=a，∠BAC=60°，
∵AF⊥BC，
∴BF=CF=BC=a，
∴AF==，
∴△ABC的面积为BC×AF=×a×=，
由旋转可得△ABP≌△ACD，∠DAP=60°，
∴AD=AP，BP=DC，
∴△APD为等边三角形，
∴∠APD=60°，
∵ PA=3，PC=4，PB=5，
∴DP=AD=3，DC=5，
∵32+42=52，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△DPC为直角三角形，
∴∠DPC=90°，
∴∠APC=∠APD+∠DPC=150°，
∴∠CPE=30°，
∴EC=PC=2，
∴PE==2，
∵AC2=AE2+EC2，
∴=25+12，
∴ △ABC的面积为×BC×AF=×a×==×（25+12）=.
故答案为： .
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△ACD，由于∠BAC=60°，则点B于点C重合，设点P的对应点为D，连接PD，过点C作CE⊥PA，交PA的延长线于点E，设AB=AC=BC=a，根据勾股定理求AF=，再说明△DPC为直角三角形，再求出PE的长度，接着根据勾股定理得出a2的值，即可求出△ABC的面积.
16．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=a+b+c，
∵a+b+c=0，
∴当x=1时，y=0，故①正确；
②∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵a+b+c=0，
∴a+b=-c，
∴a+b<0，
∴a、b同负或一正一负，且负数的绝对值比较大，
∴abc<0或abc>0，故②错误；
③∵ 9a+3b+c=0，
∴当x=3时，y=0，
∴对称轴为x==2，故③正确；
④∵ a＜b＜c， a+b+c=0，
∴a<0，b>0，
∴b2-4ac>0，
∴ 二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点 ，故④正确；
⑤∵ am2+bm+c=0， 当x=1时，y=0，
∴对称轴为直线x=，
∵ -3＜m＜-2 ，
∴-1<<-，
∵c>0，m<0，
∴a<0，
∴图象开口向下，
∴ 当x＜-1时，y随着x的增大而增大，故⑤错误.
故答案为：①③④ .
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，且满足a+b+c=0可得c>0，图象过（1，0）点，再逐一判断即可.
17．【答案】（1）解：方程左边因式分解可得（x+1）(x+9)=0，
则x+1=0或x+9=0，
所以x1=-1，x2=-9.
（2）解：方程化成一般形式为x2-4x-12=0，
则x-6=0或x+2=0，
所以x1=-2，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解求解即可；
（2）先整理成一般形式，利用因式分解求解即可.
18．【答案】（1）A；顺；60°
（2）解：∵ △ABD和△AEC都是等边三角形 ，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS）
∴∠AEB=∠ACD，
∵ ∠CFE+∠ACD+∠FMC=∠EAM+∠AEB+∠AME，
∴∠CFE=∠EAM=60°.
【知识点】图形的旋转；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解： △ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是A点， 旋转方向是顺时针，旋转角为60°.
故答案为：A；顺；60°.
【分析】（1）根据图即可得出答案；
（2）根据SAS证明△ACD≌△ABE，进而得出答案.
19．【答案】（1）x1=1，x2=3
（2）＞2
（3）x＜1或x＞3
（4）-1≤y＜8
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）∵ 函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点为（1，0）、（3，0），
∴ 方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.
故答案为：x1=1，x2=3.
（2）对称轴为直线x==2，
结合图象可得，当x>2时，y随x的增大而增大．
故答案为：＞2.
（3）结合图象可得， 当x＜1或x＞3 时，函数值大于0．
故答案为：x＜1或x＞3.
（4）当x=2时，y=4-8+3=-1，
当x=5时，y=25-20+3=8，
结合图象可得，当0＜x＜5时，y的取值范围是-1≤y＜8.
故答案为：-1≤y＜8.
【分析】（1）方程x2-4x+3=0的解就是函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点的横坐标；
（2）先求出坐标轴，再结合图象即可得出答案；
（3）结合图象即可得出答案；
（4）结合图象和对称轴即可得出答案.
20．【答案】（1）解：连接OB，设半径为r，
∵ AB=16m ，OC⊥AB，
∴BD=8cm，
∵OB2=BD2+OD2，
∴r2=82+(r-4)2，
∴r=10m
（2）解：不能顺利通过这座拱桥，理由如下：
如图2，过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，
∵OD=10-4=6（m），
∴OG=9m，
在中，由勾股定理得：（m），
，
∵，
∴不能顺利通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）连接OB，设半径为r，根据勾股定理建立关于r的方程式，进而得出答案；
（2）过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，根据勾股定理求出GF的值，再求出EF的值，最后比较即可.
21．【答案】（1）解：如图1，直线EF即为所求.
（2）解：如图2中，线段CG、BQ即为所求.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；作图﹣旋转；等腰三角形的对称性
【解析】【分析】（1）取格点D，连接BD、CD，再连接AD，与BC交于点O，连接EO并延长与边CD交于点F，根据平行四边形是中心对称图形的性质得出直线EF平分四边形ABDC的面积；
（2）先将CA绕点C顺时针旋转90°得到CG，再取格点M、N，依次连接A、M、C、N，则四边形AMCN是矩形，连接MN交AC于点P，则点P为AC中点，再连接CE交AP于点D，连接AD并延长交BC于点Q，根据勾股定理得出AB=5，再根据等腰三角形的轴对称性可得BQ=BE.
22．【答案】（1）解：∵AB=AD=BC=CD=8m，AE=x m，
∴AH=（8-x）m，
∵阴影部分的四个三角形全等，
红色花卉的种植面积为：，
∵IL=x m，四边形IJKL为正方形，
∴蓝色花卉的种植面积为：x2 m2，
黄色花卉的种植面积为：82-（-2x2+16x）-x2=x2-16x+64（m2）.
（2）解：根据题意得：W=40（-2x2+16x）+100x2+60（x2-16x+64）
=-80x2+640x+100x2+60x2-960x+3840
=80x2-320x+3840，
∴W与x之间的函数表达式为W=80x2-320x+3840.
（3）解：W=80x2-320x+3840=80（x-2）2+3520，
∵80＞0，
∴当x=2时，W有最小值，最小值为3520，
∴AE=2m，AH=6m，
∵四个黄色的直角三角形全等，
∴EI=HL，
设EI=a m，
则IH=IL+LH=2+a（m），
在Rt△EIH中，
a2+（a+2）2=22+62，
整理得：a2+2a-18=0，
解得，
∵a＞0，
∴，
∴EI的长为（）米．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；用代数式表示几何图形的数量关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）先用含x的代数式表示AH，再表示红色花卉的种植面积，接着表示蓝色花卉的种植面积，最后表示出黄色花卉的种植面积；
（2）根据题意列出W与x的表达式，即可得出答案；
（3）根据二次函数的最值得出当x=2时，W有最小值，最小值为3520，即AE=2，设EI=a m，用含a的代数式表示IH，再根据勾股定理列出关于a的方程式，求出a值，进而得出答案.
23．【答案】解：问题背景：△BAD≌△CAE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
尝试运用：如图2，连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE=4，∠ABD=∠ACE=60°，
∴∠BCE=120°，
∵BC=12，BD=4，
∴CD=8，
∵点H是CD中点，
∴DH=CH=4，
又∵点F是DE的中点，
∴FH=CE=2，FH∥EC，
∴∠DHF=∠BCE=120°，
∴∠FHC=60°，
∵FN⊥CD，
∴∠HFN=30°，
∴HN=FH=1，FN=HN=，
∴BN=9，
∴BF===；
拓展创新：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=6，∠BAH=∠ABH=45°，
∴AB=AH，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠DAE=45°，AD=AE，
∴∠DAE=∠BAH，
∴∠BAD=∠HAE，
又∵，
∴△ABD∽△AHE，
∴∠AHE=∠ABD=45°， ，
∴∠EHN=45°，HE=x，
∵EN⊥BC，
∴∠HEN=∠EHN=45°，
∴EN=HN，
∴EH=EN，
∴EN=x=HN，
∵BE2=EN2+BN2，
∴y=x2+（6+x）2=x2+6x+36．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】问题背景：先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得出答案；
尝试运用：连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC，进而得出∠BAD=∠CAE，再根据SAS得出△ABD≌△ACE，再求出CD=8，DH=CH=4，BN=9，最后根据勾股定理即可得出答案；
拓展创新：过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，根据等腰直角三角形额性质可得BH=CH=AH=6，∠BAH=∠ABH=45°，进而求出AB=AH，再根据△ADE是等腰直角三角形可得AE=DE，∠DAE=45°，AD=AE，从而得出∠DAE=∠BAH，∠BAD=∠HAE，再根据，即可得证△ABD∽△AHE，设HE=x，则EN=x，再利用勾股定理即可得出答案.
24．【答案】（1）解：当x=0时，y=3，
则点C的坐标为（0，3），
当y=0时，即 -x2-2x+3 =0，
解得：x1=-3，x2=1，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）.
（2）解：设点P的坐标为（x， -x2-2x+3 ），
∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，OC=3，
∴tan∠BCO=，
过点P作PM垂直x轴，交x轴于点M，
∵ ∠PAB=∠BCO ，
∴tan∠PAB=，
∴，
∵-3∴x+3>0，
若点P在x轴的上方，则，
解得：x=或x=-3（舍），
∴点P的坐标为，
若点P在x轴的下方，则，
解得：x=或x=-3（舍），
∴点P的坐标为，
综上所述：点P的坐标为或.
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵点C（0，3），A（-3，0）在AC上，
则，
解得：，
则直线AC的解析式为y=x+3，
由题意可得点E的坐标为（m，-m2-2m+3），
则点F的坐标为（m，m+3），点G的坐标为（m，0），
∴EF=|-m2-2m+3-m-3|=|-m2-3m|，
FG=|m+3|，
∵ EF-FG=2 ，
∴|-m2-3m|-|m+3|=2，
当m<-3时，即m2+4m+3=2
解得：m=-2-，或m=-2+（舍），
当-3当m>0时，即m2+2m-3=2
解得：m=-1-(舍)，或m=-1+，
综上所述：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将x=0代入解析式可得出点C的坐标，将y=0代入解析式可得出点C的坐标，可求出 A，B两点的坐标；
（2）过点P作PM垂直x轴，交x轴于点M，设点P的坐标为（x， -x2-2x+3 ），由tan∠BCO=，可得tan∠PAB，则，再根据点P在轴的上下方进行分类讨论求解即可；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，先求出直线AC的表达式，由题意可得点E的坐标为（m，-m2-2m+3），则点F的坐标为（m，m+3），点G的坐标为（m，0），则EF=|-m2-2m+3-m-3|=|-m2-3m|，FG=|m+3|，再根据EF-FG=2 可得|-m2-3m|-|m+3|=2，分为三种情况进行计算，进而得出答案.
1 / 1湖北省武汉市东西湖区2025-2026学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025九上·东西湖期中） 将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．5， B．5，4 C．5， D．5，1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：化为一般式为，故二次项系数为5，一次项系数为-4
故答案为：C.
【分析】移项化为一般式后直接判断即可.
2．（2025九上·东西湖期中）到2035年，我国的现代化建设将基本实现.2035四个数字中既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.是中心对称，不是轴对称图形，故不符合题意；
B.既是中心对称又是轴对称图形，故符合题意；
C.不是中心对称，是轴对称图形，故不符合题意；
D.是中心对称，不是轴对称图形，故不符合题意.
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义进行判断即可得出答案.
3．（2025九上·东西湖期中）抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：抛物线 的开口向上，对称轴为 轴，有最低点；
抛物线 开口向下，对称轴为 轴，有最高点；
故抛物线 与 相同的性质是对称轴都是 轴.
故答案为：B.
【分析】两函数解析式都缺了一次项及常数项，二次项的系数又互为相反数，故两函数图象开口方向相反，开口大小一样，对称轴一样都是y轴，当开口向上的时候，图象有最低点，当开口向下的时候图象有最高点，据此即可一一判断得出答案.
4．（2025九上·东西湖期中）对于抛物线y=-3（x-1）2-2，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是（1，-2）
B．开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标是（-1，-2）
C．开口向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标是（1，-2）
D．开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标是（-1，-2）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由解析式可得，开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-2）.
故答案为：A .
【分析】根据表达式直接得出答案.
5．（2025九上·东西湖期中）如图，A，B，C三点在圆O上，若∠B=20°，∠C=30°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．60° C．100° D．130°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AO，
∵OA=OB=OC，
∴∠B=∠BAO，∠C=∠OAC，
∵ ∠B=20°，∠C=30°，
∴∠BAO=20°，∠OAC=30°，
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=20°+30°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°.
故答案为：C .
【分析】连接AO，根据等边对等角及∠B=20°，∠C=30°可得∠BAO=20°，∠OAC=30°，再根据角的和差得出∠BAC的度数，最后根据圆周角定理即可得出答案.
6．（2025九上·东西湖期中）关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的根的情况是（　　）
A．无法确定 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：k2-4×1×（-2）=k2+8，
∵k2≥0，
∴k2+8＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：D .
【分析】先写出判别式，再判断其正负情况，即可得出答案.
7．（2025九上·东西湖期中） 将抛物线 平移后得到抛物线 ，下列平移方法正确的是（　　）
A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵ 将抛物线 平移后得到抛物线 ，
∴将抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移1个单位.
故答案为：B .
【分析】根据平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得出答案.
8．（2025九上·东西湖期中） 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为 （　　）
A．2m B．3m C．8m D．10m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y=0时，即，
解得：x1=-2（舍），x2=10.
故答案为：D .
【分析】根据题意可知他推出铅球的距离其实就是当y=0时，x对应的值.
9．（2025九上·东西湖期中）△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，若A，B，C三个顶点均在圆O上，则圆O的半径为（　　）
A．5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ AC=3，BC=4，AB=5，
∴32+42=52，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴ 圆O的半径.
故答案为：B .
【分析】先判定三角形ABC为直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，即可得出答案.
10．（2025九上·东西湖期中）已知a，b是方程x2-3x-3=0的两根，则代数式2a3-6a2+b2+3b+1的值是（　　）
A．-20 B．-24 C．22 D．20
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ a，b是方程x2-3x-3=0的两根，
∴a2-3a-3=0，b2-3b-3=0，a+b=3，
∴a2=3a+3，b2=3b+3，
∴ 2a3-6a2+b2+3b+1
=2a(3a+3)-6a2+(3b+3)+3b+1
=6a2+6a-6a2+3b+3+3b+1
=6a+6b+4，
=6(a+b)+4
=6×3+4
=18+4
=22.
故答案为：C .
【分析】由 a，b是方程x2-3x-3=0的两根可得a2-3a-3=0，b2-3b-3=0，a+b=3，再整理可得a2=3a+3，b2=3b+3，接着将其代入原式，进而得出答案.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025九上·东西湖期中）一元二次方程的根是　 　．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
所以该方程的解为：，．
故答案为：，．
【分析】根据平方差公式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
12．（2025九上·东西湖期中）在平面直角坐标系中，点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标为　 　.
【答案】（-3，2）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A（3，-2）关于原点对称的点的坐标为 (-3，2).
故答案为：（-3，2） .
【分析】根据“关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数”，即可得出答案.
13．（2025九上·东西湖期中）为响应全民阅读活动，东西湖区面向社会开放图书馆.自开放以来，进馆人次不断增加，第一周进馆3000人次，第三周进馆4320人次.若进馆人次的周增长率相同，为求进馆人次的周增长率.设进馆人次的周增长率为x，依题意可列方程为　 　.
【答案】3000（1+x）2=4320
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：3000（1+x）2=4320.
故答案为：3000（1+x）2=4320 .
【分析】根据题意找出等量关系式，列出方程式即可.
14．（2025九上·东西湖期中）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为　 　．
【答案】16
【知识点】一元二次方程的其他应用；三角形三边关系；菱形的性质
【解析】【解答】∵x2-7x+12=0，
∴（x-3）（x-4）=0，
∴x1=3或x2=4，
①当AB=3时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=3+3=6，
∴不能构成三角形，AB=3（舍）
②当AB=4时，
又∵菱形ABCD的一条对角线长为6，
∴AB+AD=4+4=8，
∴C菱形ABCD=4×4=16.
故答案为：16.
【分析】根据边AB的长是方程x2-7x+12=0 的一个根，解方程求出菱形AB的长；再根据菱形ABCD的一条对角线长为6，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边得出菱形的边长，从而求出菱形的周长.
15．（2025九上·东西湖期中）如图，已知P是等边△ABC.内一点，PA=3，PC=4，PB=5.则△ABC的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△ACD，由于∠BAC=60°，则点B于点C重合，设点P的对应点为D，连接PD，过点C作CE⊥PA，交PA的延长线于点E，
∵ △ABC是等边三角形，
∴设AB=AC=BC=a，∠BAC=60°，
∵AF⊥BC，
∴BF=CF=BC=a，
∴AF==，
∴△ABC的面积为BC×AF=×a×=，
由旋转可得△ABP≌△ACD，∠DAP=60°，
∴AD=AP，BP=DC，
∴△APD为等边三角形，
∴∠APD=60°，
∵ PA=3，PC=4，PB=5，
∴DP=AD=3，DC=5，
∵32+42=52，
∴PC2+PD2=CD2，
∴△DPC为直角三角形，
∴∠DPC=90°，
∴∠APC=∠APD+∠DPC=150°，
∴∠CPE=30°，
∴EC=PC=2，
∴PE==2，
∵AC2=AE2+EC2，
∴=25+12，
∴ △ABC的面积为×BC×AF=×a×==×（25+12）=.
故答案为： .
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得△ACD，由于∠BAC=60°，则点B于点C重合，设点P的对应点为D，连接PD，过点C作CE⊥PA，交PA的延长线于点E，设AB=AC=BC=a，根据勾股定理求AF=，再说明△DPC为直角三角形，再求出PE的长度，接着根据勾股定理得出a2的值，即可求出△ABC的面积.
16．（2025九上·东西湖期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，且满足a+b+c=0.则下列5个结论：
①该二次函数的图象经过点（1，0）；
②abc＜0；
③若9a+3b+c=0，则此二次函数的对称轴为直线x=2；
④若a＜b＜c，则此二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点；
⑤若存在-3＜m＜-2满足am2+bm+c=0，则当x＜-1时，y随着x的增大而减小；
其中正确的结论有　 　（只填写正确的序号即可）.
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=a+b+c，
∵a+b+c=0，
∴当x=1时，y=0，故①正确；
②∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵a+b+c=0，
∴a+b=-c，
∴a+b<0，
∴a、b同负或一正一负，且负数的绝对值比较大，
∴abc<0或abc>0，故②错误；
③∵ 9a+3b+c=0，
∴当x=3时，y=0，
∴对称轴为x==2，故③正确；
④∵ a＜b＜c， a+b+c=0，
∴a<0，b>0，
∴b2-4ac>0，
∴ 二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点 ，故④正确；
⑤∵ am2+bm+c=0， 当x=1时，y=0，
∴对称轴为直线x=，
∵ -3＜m＜-2 ，
∴-1<<-，
∵c>0，m<0，
∴a<0，
∴图象开口向下，
∴ 当x＜-1时，y随着x的增大而增大，故⑤错误.
故答案为：①③④ .
【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，且满足a+b+c=0可得c>0，图象过（1，0）点，再逐一判断即可.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2025九上·东西湖期中）请你选择合适的方法解下列方程：
（1）x2+10x+9=0；
（2）x（x+4）=8x+12.
【答案】（1）解：方程左边因式分解可得（x+1）(x+9)=0，
则x+1=0或x+9=0，
所以x1=-1，x2=-9.
（2）解：方程化成一般形式为x2-4x-12=0，
则x-6=0或x+2=0，
所以x1=-2，x2=6.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解求解即可；
（2）先整理成一般形式，利用因式分解求解即可.
18．（2025九上·东西湖期中）如图，A，B，C三点不共线，△ABD和△AEC都是等边三角形.CD与BE交于点F.
（1）△ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是　 　点，旋转方向是　 　时针，旋转角（小于平角）的度数是　 　；
（2）请你求出∠CFE的度数.
【答案】（1）A；顺；60°
（2）解：∵ △ABD和△AEC都是等边三角形 ，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠DAC=∠EAC+∠DAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS）
∴∠AEB=∠ACD，
∵ ∠CFE+∠ACD+∠FMC=∠EAM+∠AEB+∠AME，
∴∠CFE=∠EAM=60°.
【知识点】图形的旋转；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（1）解： △ACD可以看作是由△AEB旋转得到，其旋转中心是A点， 旋转方向是顺时针，旋转角为60°.
故答案为：A；顺；60°.
【分析】（1）根据图即可得出答案；
（2）根据SAS证明△ACD≌△ABE，进而得出答案.
19．（2025九上·东西湖期中）如图，利用函数y=x2-4x+3的图象，直接回答：
（1）方程x2-4x+3=0的解是　 　．
（2）当x满足　 　时，y随x的增大而增大．
（3）当x满足　 　时，函数值大于0．
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是　 　．
【答案】（1）x1=1，x2=3
（2）＞2
（3）x＜1或x＞3
（4）-1≤y＜8
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：（1）∵ 函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点为（1，0）、（3，0），
∴ 方程x2-4x+3=0的解是x1=1，x2=3.
故答案为：x1=1，x2=3.
（2）对称轴为直线x==2，
结合图象可得，当x>2时，y随x的增大而增大．
故答案为：＞2.
（3）结合图象可得， 当x＜1或x＞3 时，函数值大于0．
故答案为：x＜1或x＞3.
（4）当x=2时，y=4-8+3=-1，
当x=5时，y=25-20+3=8，
结合图象可得，当0＜x＜5时，y的取值范围是-1≤y＜8.
故答案为：-1≤y＜8.
【分析】（1）方程x2-4x+3=0的解就是函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点的横坐标；
（2）先求出坐标轴，再结合图象即可得出答案；
（3）结合图象即可得出答案；
（4）结合图象和对称轴即可得出答案.
20．（2025九上·东西湖期中）一座半圆形拱桥的截面图如图1，测得桥下水面的宽AB=16m，拱顶到水面的距离CD=4m，
（1）求拱桥的半径；
（2）如图2，一艘宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m的货船，能否顺利通过这座拱桥，请说明理由.【温馨提示：就是利用垂径定理加勾股定理思考弓形ABC内能否放下一个两边长为12和3的矩形】
【答案】（1）解：连接OB，设半径为r，
∵ AB=16m ，OC⊥AB，
∴BD=8cm，
∵OB2=BD2+OD2，
∴r2=82+(r-4)2，
∴r=10m
（2）解：不能顺利通过这座拱桥，理由如下：
如图2，过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，
∵OD=10-4=6（m），
∴OG=9m，
在中，由勾股定理得：（m），
，
∵，
∴不能顺利通过这座拱桥.
【知识点】垂径定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）连接OB，设半径为r，根据勾股定理建立关于r的方程式，进而得出答案；
（2）过O作OG⊥EF，交EF于点G，连接OF，根据勾股定理求出GF的值，再求出EF的值，最后比较即可.
21．（2025九上·东西湖期中）如图，在边长均为1的7×6小正方形网格中，三角形ABC的顶点A，B，C均为格点，E点为边AB上任意一点，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成下面的两个问题，每个问题的画线不得超过6条.
（1）在图1中作一个格点平行四边形ABDC，再过点E作直线EF平分四边形ABDC的面积，与边CD交于点F；
（2）在图2中先画线段AC绕着点C顺时针旋转90°得到的线段CG，再画出线段BE绕点B逆时针旋转∠ABC的角度得到的线段BQ.
【答案】（1）解：如图1，直线EF即为所求.
（2）解：如图2中，线段CG、BQ即为所求.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；作图﹣旋转；等腰三角形的对称性
【解析】【分析】（1）取格点D，连接BD、CD，再连接AD，与BC交于点O，连接EO并延长与边CD交于点F，根据平行四边形是中心对称图形的性质得出直线EF平分四边形ABDC的面积；
（2）先将CA绕点C顺时针旋转90°得到CG，再取格点M、N，依次连接A、M、C、N，则四边形AMCN是矩形，连接MN交AC于点P，则点P为AC中点，再连接CE交AP于点D，连接AD并延长交BC于点Q，根据勾股定理得出AB=5，再根据等腰三角形的轴对称性可得BQ=BE.
22．（2025九上·东西湖期中）问题背景为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形 ABCD花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉.AB的长为8m，AE=LI.红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元/m2，100元/m2，60元/m2.
建立模型设 AE的长为x m，购买花卉的总费用为W元.
（1）用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
（2）求W与x之间的函数表达式；
（3）方案决策
当购买花卉的总费用最少时，求EI的长.
【答案】（1）解：∵AB=AD=BC=CD=8m，AE=x m，
∴AH=（8-x）m，
∵阴影部分的四个三角形全等，
红色花卉的种植面积为：，
∵IL=x m，四边形IJKL为正方形，
∴蓝色花卉的种植面积为：x2 m2，
黄色花卉的种植面积为：82-（-2x2+16x）-x2=x2-16x+64（m2）.
（2）解：根据题意得：W=40（-2x2+16x）+100x2+60（x2-16x+64）
=-80x2+640x+100x2+60x2-960x+3840
=80x2-320x+3840，
∴W与x之间的函数表达式为W=80x2-320x+3840.
（3）解：W=80x2-320x+3840=80（x-2）2+3520，
∵80＞0，
∴当x=2时，W有最小值，最小值为3520，
∴AE=2m，AH=6m，
∵四个黄色的直角三角形全等，
∴EI=HL，
设EI=a m，
则IH=IL+LH=2+a（m），
在Rt△EIH中，
a2+（a+2）2=22+62，
整理得：a2+2a-18=0，
解得，
∵a＞0，
∴，
∴EI的长为（）米．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；用代数式表示几何图形的数量关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）先用含x的代数式表示AH，再表示红色花卉的种植面积，接着表示蓝色花卉的种植面积，最后表示出黄色花卉的种植面积；
（2）根据题意列出W与x的表达式，即可得出答案；
（3）根据二次函数的最值得出当x=2时，W有最小值，最小值为3520，即AE=2，设EI=a m，用含a的代数式表示IH，再根据勾股定理列出关于a的方程式，求出a值，进而得出答案.
23．（2025九上·东西湖期中）
问题背景
如图1，在△ABC与△ADE中，若AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形．
尝试运用
如图2，在等边△ABC中，BC=12，点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE，F是DE的中点，连接BF，若BD=4，求BF的长．
拓展创新
如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰Rt△ADE，连接BE．设BD=x，BE2=y，直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
【答案】解：问题背景：△BAD≌△CAE，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
尝试运用：如图2，连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE=4，∠ABD=∠ACE=60°，
∴∠BCE=120°，
∵BC=12，BD=4，
∴CD=8，
∵点H是CD中点，
∴DH=CH=4，
又∵点F是DE的中点，
∴FH=CE=2，FH∥EC，
∴∠DHF=∠BCE=120°，
∴∠FHC=60°，
∵FN⊥CD，
∴∠HFN=30°，
∴HN=FH=1，FN=HN=，
∴BN=9，
∴BF===；
拓展创新：如图3，过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，
在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12，AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=6，∠BAH=∠ABH=45°，
∴AB=AH，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠DAE=45°，AD=AE，
∴∠DAE=∠BAH，
∴∠BAD=∠HAE，
又∵，
∴△ABD∽△AHE，
∴∠AHE=∠ABD=45°， ，
∴∠EHN=45°，HE=x，
∵EN⊥BC，
∴∠HEN=∠EHN=45°，
∴EN=HN，
∴EH=EN，
∴EN=x=HN，
∵BE2=EN2+BN2，
∴y=x2+（6+x）2=x2+6x+36．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】问题背景：先证明∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△BAD≌△CAE，即可得出答案；
尝试运用：连接CE，取DC中点H，连接FH，过点F作FN⊥CD于N，根据等边三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°=∠ABC，进而得出∠BAD=∠CAE，再根据SAS得出△ABD≌△ACE，再求出CD=8，DH=CH=4，BN=9，最后根据勾股定理即可得出答案；
拓展创新：过点A作AH⊥BC于点H，连接HE，过点E作EN⊥BC于点N，根据等腰直角三角形额性质可得BH=CH=AH=6，∠BAH=∠ABH=45°，进而求出AB=AH，再根据△ADE是等腰直角三角形可得AE=DE，∠DAE=45°，AD=AE，从而得出∠DAE=∠BAH，∠BAD=∠HAE，再根据，即可得证△ABD∽△AHE，设HE=x，则EN=x，再利用勾股定理即可得出答案.
24．（2025九上·东西湖期中）抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点.
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图1，连接BC，点P在抛物线上，且∠PAB=∠BCO，求P点坐标；
（3）作直线AC，横坐标为m的点E是抛物线上任意一点，过点E作x轴的垂线，垂足为点G，与直线AC交于点F（其中E，F，G互不重合），当EF-FG=2时，求m的值.
【答案】（1）解：当x=0时，y=3，
则点C的坐标为（0，3），
当y=0时，即 -x2-2x+3 =0，
解得：x1=-3，x2=1，
∴点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）.
（2）解：设点P的坐标为（x， -x2-2x+3 ），
∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，OC=3，
∴tan∠BCO=，
过点P作PM垂直x轴，交x轴于点M，
∵ ∠PAB=∠BCO ，
∴tan∠PAB=，
∴，
∵-3∴x+3>0，
若点P在x轴的上方，则，
解得：x=或x=-3（舍），
∴点P的坐标为，
若点P在x轴的下方，则，
解得：x=或x=-3（舍），
∴点P的坐标为，
综上所述：点P的坐标为或.
（3）解：设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵点C（0，3），A（-3，0）在AC上，
则，
解得：，
则直线AC的解析式为y=x+3，
由题意可得点E的坐标为（m，-m2-2m+3），
则点F的坐标为（m，m+3），点G的坐标为（m，0），
∴EF=|-m2-2m+3-m-3|=|-m2-3m|，
FG=|m+3|，
∵ EF-FG=2 ，
∴|-m2-3m|-|m+3|=2，
当m<-3时，即m2+4m+3=2
解得：m=-2-，或m=-2+（舍），
当-3当m>0时，即m2+2m-3=2
解得：m=-1-(舍)，或m=-1+，
综上所述：或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—边角关系；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将x=0代入解析式可得出点C的坐标，将y=0代入解析式可得出点C的坐标，可求出 A，B两点的坐标；
（2）过点P作PM垂直x轴，交x轴于点M，设点P的坐标为（x， -x2-2x+3 ），由tan∠BCO=，可得tan∠PAB，则，再根据点P在轴的上下方进行分类讨论求解即可；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，先求出直线AC的表达式，由题意可得点E的坐标为（m，-m2-2m+3），则点F的坐标为（m，m+3），点G的坐标为（m，0），则EF=|-m2-2m+3-m-3|=|-m2-3m|，FG=|m+3|，再根据EF-FG=2 可得|-m2-3m|-|m+3|=2，分为三种情况进行计算，进而得出答案.
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