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浙江省杭州市翠苑中学2025-2026学年上学期八年级1月月考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分
1．（2026八上·杭州月考）已知点A的坐标为(1，2)，则点A到x轴的距离为(　　)
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【知识点】点的坐标；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：已知点A的坐标为(1，2)，则点A到r轴的距离为|2|=2.
故选：B.
【分析】根据点到x轴距离的定义，计算点A纵坐标的绝对值即可得到距离.
2．（2026八上·杭州月考）下列选项中，能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：、当时，，，不符合题意；
、当时，，，符合题意；
、当时，，，不符合题意；
、当时，，，不符合题意.
故答案为：．
【分析】说明一个命题是假命题的反例，满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此根据有理数乘方运算法则分别计算出a2的值，再根据有理数大小比较方法比较即可得出结论.
3．（2026八上·杭州月考） 若关于x的不等式(m-1)x1， 则m的值可以取(　　)
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式(m-1)x1，
∴m-1<0
∴m<1
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变，据此求出m的取值范围，进而判断选项.
4．（2026八上·杭州月考） 若一次函数y= kx+b(k≠0) 与y=-x+2的图象关于y轴对称， 则k= (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：直线y=-x+2，x=0时，y=2；y=0时，x=2，
∴直线y=-x+2与x轴交于(2，0)，与y轴交于(0，2)，
∴直线y=kx+b经过点(-2，0)，(0，2)，
∴
解得k=1.
故选：A.
【分析】首先求得直线y=-x+2与x轴，y轴的交点坐标，进而可知直线y=kx+b经过点(-2，0)，(0，2)，然后利用待定系数法求解即可.
5．（2026八上·杭州月考） △ABC中， AD是中线， 点D到AB， AC的距离相等， 则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形相关概念；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵AD是中线
∴S△ABD=S△ACD，
∵D到AB，AC的距离相等
∴AB=AC，
∴△ABC一定是等腰三角形，
故选：B.
【分析】先根据中线性质得出两个三角形面积相等，再利用点到两边距离相等及面积公式推出两边相等，从而判断三角形类型.
6．（2026八上·杭州月考） 如图， 在同一平面直角坐标系中， 一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0)的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是(　　)
A．k1+k2<0 B．k1k2>0 C． D．b1b2>0
【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象过第一、二、三象限，
∴k1>0，b1>0
∵一次函数y=k2x+b2的图象过第一、三、四象限，
∴k2>0，b2<0，且|b1|>|b2|，
∵A. k1+k2<0，
故A不符合题意；
B. k1k2>0，
故B符合题意；
C、b1+b2>0，
故C不符合题意；
D、b1·b2<0，
故D不符合题意；
故选：B.
【分析】根据一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象位置，可得k1>0，b1>0，k2>0，b2<0，然后逐一判断即可解答.
7．（2026八上·杭州月考） 在△ABC中， AB=AC， 点D在AC上， 且BD=BC=AD， 取AB边上的中点E， 连接DE， 则∠ADE= (　　)°.
A．18 B．36 C．54 D．72
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A=36
∵BD=AD，E是AB边的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠A+∠ADE=90°
∴∠ADE=54°，
故选：C.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外形性质求出∠ABC=∠C=2∠A，根据三角形内角和定理求出∠A=36°，根据等腰三角形的性质求出DE⊥AB，再根据直角三角形的性质求解即可.
8．（2026八上·杭州月考）若一次函数y=kx+k的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是(　　)
A．(-2， 1) B．(0， 0) C．(1， 1) D．(2， - 4)
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵y随着x的增大而增大，
∴k>0
A.当点A的坐标为(-2，1)时，-2k+k=1，解得：k=-1<0，不符合题意；
B.当点A的坐标为(0，0)时，0=k，不符合题意；
C.当点A的坐标为(1，1)时，k+k=1，
解得：，符合题意；
D.当点A的坐标为(2，-4)时，2k+k=-4，解得：，不符合题意.
故选：C.
【分析】由y随着x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k>0，再代入各选项中点的坐标，求出k值，取k>0的选项即可.
9．（2026八上·杭州月考）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券.已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是(　　)
A．56≤x<76 B．56≤x<80 C．60≤x<76 D．60≤x<80
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：60≤x<76
故选：C.
【分析】根据"甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券"列不等式组求解.
10．（2026八上·杭州月考） 如图， 在△ABC中， AE⊥BC于点E， BD⊥AC于点D， 点F是AB的中点，连接DF， EF， 设∠ACB=x°， ∠DFE=y°， 则(　　)
A． B．y=x-30 C．y=90-x D．y=180-2x
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BEA=90°
∵点F是AB的中点，
∴AF=DF，BF=EF，
∴∠DAF=∠ADE，∠EBF=∠BEF，
∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，
∴∠DFE=180°-∠AFD-∠BFE=2(∠CAB+∠CBA)-180°=2(180°-∠ACB)-180°=180°-2∠ACB，
∴y=180°-2x，
故选：D.
【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到AF=DF，BF=EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到结论.
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2026八上·杭州月考）已知点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，则a的值是 　 　．
【答案】3
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，
∴a-1=2，
∴，
故答案为：3．
【分析】点的坐标平移规律“左减右加（影响x），上加下减（影响y）”得出关于字母a的方程，求解即可.
12．（2026八上·杭州月考）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 　 　．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是2.5，
∴斜边为，
∵一条直角边是4，
∴另一直角边长为．
故答案为：3．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，再根据勾股定理计算即可.
13．（2026八上·杭州月考）如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S(m)与时间t(min)的函数关系，其中，OA 所在直线的表达式为y=k1x(k1≠0)，BC所在直线的表达式为 则 =　 　．
【答案】50
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把(12，600)代入y=k1x得：；把(20，600)，(28，1400)代入y=k2x+b得：
解得
∴k2-k1=100-50=50.
故答案为：50.
【分析】用待定系数法求出k1，k2即可.
14．（2026八上·杭州月考）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE=　 　m．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴AE：CE=AD：BD，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
在Rt△ABC中，BC= AB=4，
∴DE=2．
故答案是2．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB=BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE=AD：BD，从而有AE=CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE= BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
15．（2026八上·杭州月考）在“探索一次函数y=kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0， 0)， B(1， 2)， C(3， 3).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式 请分别计算： 的值，其中最小的值为　 　．
【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：不妨设直线AB的函数表达式为y1=k1x+b1，直线AC的函数表达式为y2=k2x+b2，直线BC的函数表达式y3=k3x+b3，
∵点A的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，2)，点C的坐标为(3，3)
∴，，
∴2k1+b1=2×2+0=4， 2k2+b2=2×1+0=2，
又∵，
∴其中最小的值为2.
故答案为：2.
【分析】不妨设直线AB的函数表达式为y1=k1x+b1，直线AC的函数表达式为y2=k2x+b2，直线BC的函数表达式y3=k3x+b3，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再求出2k1+b1，2k2+b2，2k3+b3的值，比较后即可得出结论.
16．（2026八上·杭州月考） 如图， 在矩形ABCD中， 点E在边AD上， △CDE沿CE折叠得到△CFE， 且点B， F， E三点共线，连接DF，若 则AE=　 　，DF=　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：设CE交DF于H，如图：
设AD=BC=x，AB=CD=y，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE
∴CF=CD=y， ∠EDC=∠EFC=90°=∠BFC， EF=DE=3，
∵
∴
在Rt△BFC中， BF2+CF2=BC2
∴①
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴②
①②联立解得，或(舍去)
∴， CD=y=4，
∴
，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴DF⊥CE， DH=FH，
∴2S△DCE=DE·CD=CE·DH，
∴
∴
故答案为：， .
【分析】设CE交DF于H，AD=BC=x，AB=CD=y，根据勾股定理得到BF2+CF2=BC2，AB2+AE2=BE2，解得，CD=y=4，然后根据三角形的面积求出DH解题即可.
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2026八上·杭州月考）如图， 在△ABC和△DEF中， 点B， E， C， F在同一条直线上， 已知 ．下面给出四个条件： ①AC=DF； ②AB=DE； ③AC∥DF； ④∠A=∠D. 请你从中任选一个条件， 使得△ABC≌△DEF， 并写出证明过程.
【答案】解：选一个条件；②AB=DE(答案不唯一)，
理由如下：
∵BE=CF
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题已经有条件∠B=∠DEF，BE=CF，证明BC=EF，再补充条件证明即可.
18．（2026八上·杭州月考） 已知直线y= mx(m≠0) 与直线y= kx+4(k≠0) 的交点坐标为P (1， 3)，
（1）试确定方程组 的解.
（2）直接写出方程组 的解.
【答案】（1）∵直线y=mx(m≠0)与直线y=kx+4(k≠0)的交点坐标为P(1，3).
∴方程组的解为
（2）解：
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：(1)如图，直线y=kx-4与直线y=mx的交点P'与点P(1，3)关于原点对称，
∴方程组的解为
故答案为：.
【分析】(1)根据方程组的解就是交点坐标写出即可；
(2)根据中心对称的性质即可得出答案.
19．（2026八上·杭州月考） 如图， CE是 的角平分线，交AC于点F.已知
（1）求∠FEC的度数.
（2）若点F是AC的中点，请判断△AEF的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：(1)∵EF//BC，
∴∠AFE=∠ACB=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECB=30°，
∴∠FEC的度数为30°.
（2）解：△AEF是等边三角形，
理由：由(1)得：∠FEC=∠ACE=30°，
∴FE=FC，
∵点F是AC的中点，
∴AF=FC，
∴AF=EF，
∵∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可得∠AFE=∠ACB=60°，再利用角平分线的定义可得∠ACE=∠ECB=30°，然后利用平行线的性质可得∠FEC=∠ECB=30°，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得：∠FEC=∠ACE=30°，从而可得FE=FC，再根据线段的中点定义可得AF=FC，从而可得AF=EF，然后根据等边三角形的判定即可解答.
20．（2026八上·杭州月考） 已知y是x的一次函数， 当x=1时， y=-5； 当x=3时， y=1.
（1）求一次函数的表达式.
（2） 若点A(m， n) 在该一次函数图象上， 求代数式(n-3)(m+1)-mn的值.
【答案】（1）解：设一次函数解析式求为y=kx+b，
∵x=1，y=-5；x=3时，y=1，
∴
∴解得
∴一次函数解析式求为y=3x-8.
（2）解：把A(m，n)代入y=3x-8得n=3m-8，
∴n-3m=-8，
∴(n-3) (m+1)-mn=mn+n-3m-3-mn=n-3m-3=-8-3=-11.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)利用一次函数解析式得到n-3m=-8，再把(n-3)(m+1)-mn运算得到n-3m-3，然后利用整体代入的方法计算.
21．（2026八上·杭州月考）对于任意实数a， b， 定义关于@的一种运算如下： a@b=a-2b， 例如5@3=5-6=-1，5@(-3) =5-(-6)=11.
（1） 比较8@2与2@(-1) 的大小， 并说明理由.
（2）若x@2<1，求x的取值范围.
（3）若不等式组 的解集为x<2，求m的取值范围.
【答案】（1）解：8@2=2@(-1)，
理由如下：
∵a@b=1-2b，
∴8@2=8-2×2=4，2@(-1)=2-2×(-1)=4，
∴8@2=2@(-1)
（2）解：∵x@2=x-2×2=x-4
∴不等式x@2<1可转化为：x-4<1，
∴x<5
（3）解：∵3@(m-x)=3-2(m-x)=3-2m+2x，
∴不等式3@(m-x)<5可转化为：3-2m+2x<5，
∴x∵不等式组的解集为x<2
∴m+1≥2
∴m≥1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】(1)先根据关于@的一种运算的法则计算8@2=8-2×2=4，2@(-1)=2-2×(-1)=4，由此可比较8@2与2@(-1)的大小；
(2)先计算x@2=x-4，然后将不等式x@2<1可转化为x-4<1，解此不等式可得x的取值范围；
(3)先计算3@(m-x)=3-2m+2x，因此可将不等式3@(m-x)<5可转化为3-2m+2x<5，由此可解得x22．（2026八上·杭州月考） 如图， 在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点， CD=AE.
（1）求证：DG⊥CE.
（2）若AF=EF，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴DE是AB边上的中线，
∴，
∵AE=CD
∴DE=CD
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE
（2）解：连接DE，
由(1)可知：DE=AE=CD=BE，DG⊥CE，
∵BE=DE，EF=AF，
∴∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，
设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，∠AEF=y，
∴∠DEF=2x-y，
∵DE=DC，
∴
∴
∴，
∵∠B+∠EAF=90°， ∠AEF=∠EAF，
∴，
∴x=36°，
∴∠B=36°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】(1)连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE=CD，根据等腰三角形的性质得到结论；
(2)根据(1)易得∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，∠B+∠EAF =90°，设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，AF=y，根据三角形外角的性质可得∠DEF=2x-y，，列出等式可求得y的值，再根据∠B+∠EAF=90°即可求解.
23．（2026八上·杭州月考） 综合与实践
【情境描述】圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里(如图1).她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞(如图2)，但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里.
【观察发现】圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量x(只) 1 2 3 4 5 6 …
总高度h(cm) 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 　
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式.
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度.
（3）【解决问题】请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里
【答案】（1）解：描点，连线，
根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数，
设h关于x的函数关系式为h=kx+b，
解得
∴h关于x的函数关系式为h=1.4x+8.6
（2）解：当x=12时， y=1.4×12+8.6=25.4，
∴这摞杯子的总高度25.4cm.
（3）解：当y=40时， 1.4x+8.6=40，
解得，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)先描点，再得出结论，然后用待定系数法求函数解析式；
(2)把x=12代入解析式求出y的值即可；
(3)把y=40代入解析式求出x即可.
24．（2026八上·杭州月考）在△ABC中， AB=AC， 点P为线段BC上任意一点(P与B， C不重合)， 连接AP.
（1） 若BC=16， AB=10， ①求AP的最小值. ②当AP=7时， 求BP的长.
（2） 若AB=m， AP=n， 请用含m， n的代数式表示BP·PC， 并说明理由.
【答案】（1）解：①过点A作AD⊥BC于点D，
又∵AB= AC，BC=16，
∴BD=CD=8.
∵AB=10，
∴
=6，
当点P与点D重合时，AP最小，
∴AP的最小值为6.
②∵PA=7，AD=6，
∴
，
∴BP=BD-PD
（2）解：BP·PC=m2-n2，
理由如下：
过点A作AE⊥BC于点E，由(1)可知BE=CE，
在Rt△ABE中，AB2=m2=AE2+BE2，
在Rt△APE中，AP2=n2=AE2+PE2，
∴m2-n2=BE2-PE2
=(BE+PE)(BE-PE)
=(CE+PE)BP
=CP·BP，
即BP·PC=m2-n2.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)①过点A作AD⊥BC于点D，当点P与点D重合时，AP最小，由勾股定理可得出答案；
②由勾股定理求出，则可得；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理得出AB2=m2=AE2+BE2，AP2=n2=AE2+PE2，两式相减可得出答案.
1 / 1浙江省杭州市翠苑中学2025-2026学年上学期八年级1月月考数学试卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分
1．（2026八上·杭州月考）已知点A的坐标为(1，2)，则点A到x轴的距离为(　　)
A．1 B．2 C． D．3
2．（2026八上·杭州月考）下列选项中，能说明命题“对于任何实数，都有”是假命题的的值可以是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·杭州月考） 若关于x的不等式(m-1)x1， 则m的值可以取(　　)
A．0 B．2 C．4 D．6
4．（2026八上·杭州月考） 若一次函数y= kx+b(k≠0) 与y=-x+2的图象关于y轴对称， 则k= (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2026八上·杭州月考） △ABC中， AD是中线， 点D到AB， AC的距离相等， 则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．（2026八上·杭州月考） 如图， 在同一平面直角坐标系中， 一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2(其中k1k2≠0)的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论中一定正确的是(　　)
A．k1+k2<0 B．k1k2>0 C． D．b1b2>0
7．（2026八上·杭州月考） 在△ABC中， AB=AC， 点D在AC上， 且BD=BC=AD， 取AB边上的中点E， 连接DE， 则∠ADE= (　　)°.
A．18 B．36 C．54 D．72
8．（2026八上·杭州月考）若一次函数y=kx+k的图象经过点A，且y随着x的增大而增大，则点A的坐标可以是(　　)
A．(-2， 1) B．(0， 0) C．(1， 1) D．(2， - 4)
9．（2026八上·杭州月考）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券.已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是(　　)
A．56≤x<76 B．56≤x<80 C．60≤x<76 D．60≤x<80
10．（2026八上·杭州月考） 如图， 在△ABC中， AE⊥BC于点E， BD⊥AC于点D， 点F是AB的中点，连接DF， EF， 设∠ACB=x°， ∠DFE=y°， 则(　　)
A． B．y=x-30 C．y=90-x D．y=180-2x
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2026八上·杭州月考）已知点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，则a的值是 　 　．
12．（2026八上·杭州月考）直角三角形斜边上的中线长是2.5，一条直角边是4，则另一直角边长为 　 　．
13．（2026八上·杭州月考）如图，图中的折线OABC反映了圆圆从家到学校所走的路程S(m)与时间t(min)的函数关系，其中，OA 所在直线的表达式为y=k1x(k1≠0)，BC所在直线的表达式为 则 =　 　．
14．（2026八上·杭州月考）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE=　 　m．
15．（2026八上·杭州月考）在“探索一次函数y=kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A(0， 0)， B(1， 2)， C(3， 3).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式 请分别计算： 的值，其中最小的值为　 　．
16．（2026八上·杭州月考） 如图， 在矩形ABCD中， 点E在边AD上， △CDE沿CE折叠得到△CFE， 且点B， F， E三点共线，连接DF，若 则AE=　 　，DF=　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2026八上·杭州月考）如图， 在△ABC和△DEF中， 点B， E， C， F在同一条直线上， 已知 ．下面给出四个条件： ①AC=DF； ②AB=DE； ③AC∥DF； ④∠A=∠D. 请你从中任选一个条件， 使得△ABC≌△DEF， 并写出证明过程.
18．（2026八上·杭州月考） 已知直线y= mx(m≠0) 与直线y= kx+4(k≠0) 的交点坐标为P (1， 3)，
（1）试确定方程组 的解.
（2）直接写出方程组 的解.
19．（2026八上·杭州月考） 如图， CE是 的角平分线，交AC于点F.已知
（1）求∠FEC的度数.
（2）若点F是AC的中点，请判断△AEF的形状，并说明理由.
20．（2026八上·杭州月考） 已知y是x的一次函数， 当x=1时， y=-5； 当x=3时， y=1.
（1）求一次函数的表达式.
（2） 若点A(m， n) 在该一次函数图象上， 求代数式(n-3)(m+1)-mn的值.
21．（2026八上·杭州月考）对于任意实数a， b， 定义关于@的一种运算如下： a@b=a-2b， 例如5@3=5-6=-1，5@(-3) =5-(-6)=11.
（1） 比较8@2与2@(-1) 的大小， 并说明理由.
（2）若x@2<1，求x的取值范围.
（3）若不等式组 的解集为x<2，求m的取值范围.
22．（2026八上·杭州月考） 如图， 在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G为CE的中点， CD=AE.
（1）求证：DG⊥CE.
（2）若AF=EF，求∠B的度数.
23．（2026八上·杭州月考） 综合与实践
【情境描述】圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里(如图1).她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞(如图2)，但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里.
【观察发现】圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量x(只) 1 2 3 4 5 6 …
总高度h(cm) 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 　
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求h关于x的函数表达式.
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度.
（3）【解决问题】请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里
24．（2026八上·杭州月考）在△ABC中， AB=AC， 点P为线段BC上任意一点(P与B， C不重合)， 连接AP.
（1） 若BC=16， AB=10， ①求AP的最小值. ②当AP=7时， 求BP的长.
（2） 若AB=m， AP=n， 请用含m， n的代数式表示BP·PC， 并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：已知点A的坐标为(1，2)，则点A到r轴的距离为|2|=2.
故选：B.
【分析】根据点到x轴距离的定义，计算点A纵坐标的绝对值即可得到距离.
2．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：、当时，，，不符合题意；
、当时，，，符合题意；
、当时，，，不符合题意；
、当时，，，不符合题意.
故答案为：．
【分析】说明一个命题是假命题的反例，满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此根据有理数乘方运算法则分别计算出a2的值，再根据有理数大小比较方法比较即可得出结论.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的不等式(m-1)x1，
∴m-1<0
∴m<1
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向改变，据此求出m的取值范围，进而判断选项.
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的性质
【解析】【解答】解：直线y=-x+2，x=0时，y=2；y=0时，x=2，
∴直线y=-x+2与x轴交于(2，0)，与y轴交于(0，2)，
∴直线y=kx+b经过点(-2，0)，(0，2)，
∴
解得k=1.
故选：A.
【分析】首先求得直线y=-x+2与x轴，y轴的交点坐标，进而可知直线y=kx+b经过点(-2，0)，(0，2)，然后利用待定系数法求解即可.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形相关概念；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵AD是中线
∴S△ABD=S△ACD，
∵D到AB，AC的距离相等
∴AB=AC，
∴△ABC一定是等腰三角形，
故选：B.
【分析】先根据中线性质得出两个三角形面积相等，再利用点到两边距离相等及面积公式推出两边相等，从而判断三角形类型.
6．【答案】B
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象过第一、二、三象限，
∴k1>0，b1>0
∵一次函数y=k2x+b2的图象过第一、三、四象限，
∴k2>0，b2<0，且|b1|>|b2|，
∵A. k1+k2<0，
故A不符合题意；
B. k1k2>0，
故B符合题意；
C、b1+b2>0，
故C不符合题意；
D、b1·b2<0，
故D不符合题意；
故选：B.
【分析】根据一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象位置，可得k1>0，b1>0，k2>0，b2<0，然后逐一判断即可解答.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠BDC=2∠A，
∴∠ABC=∠C=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A=36
∵BD=AD，E是AB边的中点，
∴DE⊥AB，
∴∠A+∠ADE=90°
∴∠ADE=54°，
故选：C.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外形性质求出∠ABC=∠C=2∠A，根据三角形内角和定理求出∠A=36°，根据等腰三角形的性质求出DE⊥AB，再根据直角三角形的性质求解即可.
8．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵y随着x的增大而增大，
∴k>0
A.当点A的坐标为(-2，1)时，-2k+k=1，解得：k=-1<0，不符合题意；
B.当点A的坐标为(0，0)时，0=k，不符合题意；
C.当点A的坐标为(1，1)时，k+k=1，
解得：，符合题意；
D.当点A的坐标为(2，-4)时，2k+k=-4，解得：，不符合题意.
故选：C.
【分析】由y随着x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k>0，再代入各选项中点的坐标，求出k值，取k>0的选项即可.
9．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得：
解得：60≤x<76
故选：C.
【分析】根据"甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券"列不等式组求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥BC于点E，BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BEA=90°
∵点F是AB的中点，
∴AF=DF，BF=EF，
∴∠DAF=∠ADE，∠EBF=∠BEF，
∴∠AFD=180°-2∠CAB，∠BFE=180°-2∠ABC，
∴∠DFE=180°-∠AFD-∠BFE=2(∠CAB+∠CBA)-180°=2(180°-∠ACB)-180°=180°-2∠ACB，
∴y=180°-2x，
故选：D.
【分析】由垂直的定义得到∠ADB=∠BEA=90°，根据直角三角形的性质得到AF=DF，BF=EF，根据等腰三角形的性质得到∠DAF=∠ADF，∠EFB=∠BEF，于是得到结论.
11．【答案】3
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，
∴a-1=2，
∴，
故答案为：3．
【分析】点的坐标平移规律“左减右加（影响x），上加下减（影响y）”得出关于字母a的方程，求解即可.
12．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线长是2.5，
∴斜边为，
∵一条直角边是4，
∴另一直角边长为．
故答案为：3．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边，再根据勾股定理计算即可.
13．【答案】50
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：把(12，600)代入y=k1x得：；把(20，600)，(28，1400)代入y=k2x+b得：
解得
∴k2-k1=100-50=50.
故答案为：50.
【分析】用待定系数法求出k1，k2即可.
14．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如右图所示，
∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，
∴BC∥DE，
∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∴AE：CE=AD：BD，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC，
在Rt△ABC中，BC= AB=4，
∴DE=2．
故答案是2．
【分析】由于BC、DE垂直于横梁AC，可得BC∥DE，而D是AB中点，可知AB=BD，利用平行线分线段成比例定理可得AE：CE=AD：BD，从而有AE=CE，即可证DE是△ABC的中位线，可得DE= BC，在Rt△ABC中易求BC，进而可求DE．
15．【答案】2
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：不妨设直线AB的函数表达式为y1=k1x+b1，直线AC的函数表达式为y2=k2x+b2，直线BC的函数表达式y3=k3x+b3，
∵点A的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，2)，点C的坐标为(3，3)
∴，，
∴2k1+b1=2×2+0=4， 2k2+b2=2×1+0=2，
又∵，
∴其中最小的值为2.
故答案为：2.
【分析】不妨设直线AB的函数表达式为y1=k1x+b1，直线AC的函数表达式为y2=k2x+b2，直线BC的函数表达式y3=k3x+b3，根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再求出2k1+b1，2k2+b2，2k3+b3的值，比较后即可得出结论.
16．【答案】；
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：设CE交DF于H，如图：
设AD=BC=x，AB=CD=y，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE
∴CF=CD=y， ∠EDC=∠EFC=90°=∠BFC， EF=DE=3，
∵
∴
在Rt△BFC中， BF2+CF2=BC2
∴①
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
∴②
①②联立解得，或(舍去)
∴， CD=y=4，
∴
，
∵△CDE沿CE折叠得到△CFE，
∴DF⊥CE， DH=FH，
∴2S△DCE=DE·CD=CE·DH，
∴
∴
故答案为：， .
【分析】设CE交DF于H，AD=BC=x，AB=CD=y，根据勾股定理得到BF2+CF2=BC2，AB2+AE2=BE2，解得，CD=y=4，然后根据三角形的面积求出DH解题即可.
17．【答案】解：选一个条件；②AB=DE(答案不唯一)，
理由如下：
∵BE=CF
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题已经有条件∠B=∠DEF，BE=CF，证明BC=EF，再补充条件证明即可.
18．【答案】（1）∵直线y=mx(m≠0)与直线y=kx+4(k≠0)的交点坐标为P(1，3).
∴方程组的解为
（2）解：
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：(1)如图，直线y=kx-4与直线y=mx的交点P'与点P(1，3)关于原点对称，
∴方程组的解为
故答案为：.
【分析】(1)根据方程组的解就是交点坐标写出即可；
(2)根据中心对称的性质即可得出答案.
19．【答案】（1）解：(1)∵EF//BC，
∴∠AFE=∠ACB=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∵EF//BC，
∴∠FEC=∠ECB=30°，
∴∠FEC的度数为30°.
（2）解：△AEF是等边三角形，
理由：由(1)得：∠FEC=∠ACE=30°，
∴FE=FC，
∵点F是AC的中点，
∴AF=FC，
∴AF=EF，
∵∠AFE=60°，
∴△AEF是等边三角形.
【知识点】等边三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质可得∠AFE=∠ACB=60°，再利用角平分线的定义可得∠ACE=∠ECB=30°，然后利用平行线的性质可得∠FEC=∠ECB=30°，即可解答；
(2)利用(1)的结论可得：∠FEC=∠ACE=30°，从而可得FE=FC，再根据线段的中点定义可得AF=FC，从而可得AF=EF，然后根据等边三角形的判定即可解答.
20．【答案】（1）解：设一次函数解析式求为y=kx+b，
∵x=1，y=-5；x=3时，y=1，
∴
∴解得
∴一次函数解析式求为y=3x-8.
（2）解：把A(m，n)代入y=3x-8得n=3m-8，
∴n-3m=-8，
∴(n-3) (m+1)-mn=mn+n-3m-3-mn=n-3m-3=-8-3=-11.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)利用一次函数解析式得到n-3m=-8，再把(n-3)(m+1)-mn运算得到n-3m-3，然后利用整体代入的方法计算.
21．【答案】（1）解：8@2=2@(-1)，
理由如下：
∵a@b=1-2b，
∴8@2=8-2×2=4，2@(-1)=2-2×(-1)=4，
∴8@2=2@(-1)
（2）解：∵x@2=x-2×2=x-4
∴不等式x@2<1可转化为：x-4<1，
∴x<5
（3）解：∵3@(m-x)=3-2(m-x)=3-2m+2x，
∴不等式3@(m-x)<5可转化为：3-2m+2x<5，
∴x∵不等式组的解集为x<2
∴m+1≥2
∴m≥1
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【分析】(1)先根据关于@的一种运算的法则计算8@2=8-2×2=4，2@(-1)=2-2×(-1)=4，由此可比较8@2与2@(-1)的大小；
(2)先计算x@2=x-4，然后将不等式x@2<1可转化为x-4<1，解此不等式可得x的取值范围；
(3)先计算3@(m-x)=3-2m+2x，因此可将不等式3@(m-x)<5可转化为3-2m+2x<5，由此可解得x22．【答案】（1）证明：连接DE，
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，
∴DE是AB边上的中线，
∴，
∵AE=CD
∴DE=CD
∵点G为CE的中点，
∴DG⊥CE
（2）解：连接DE，
由(1)可知：DE=AE=CD=BE，DG⊥CE，
∵BE=DE，EF=AF，
∴∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，
设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，∠AEF=y，
∴∠DEF=2x-y，
∵DE=DC，
∴
∴
∴，
∵∠B+∠EAF=90°， ∠AEF=∠EAF，
∴，
∴x=36°，
∴∠B=36°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】(1)连接DE，根据垂直的定义得到∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到DE=CD，根据等腰三角形的性质得到结论；
(2)根据(1)易得∠B=∠BDE，∠AEF=∠EAF，∠B+∠EAF =90°，设∠B=∠BDE=x，则∠AED=2x，AF=y，根据三角形外角的性质可得∠DEF=2x-y，，列出等式可求得y的值，再根据∠B+∠EAF=90°即可求解.
23．【答案】（1）解：描点，连线，
根据点的分布规律可知，h关于x的函数关系式满足一次函数，
设h关于x的函数关系式为h=kx+b，
解得
∴h关于x的函数关系式为h=1.4x+8.6
（2）解：当x=12时， y=1.4×12+8.6=25.4，
∴这摞杯子的总高度25.4cm.
（3）解：当y=40时， 1.4x+8.6=40，
解得，
∴一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)先描点，再得出结论，然后用待定系数法求函数解析式；
(2)把x=12代入解析式求出y的值即可；
(3)把y=40代入解析式求出x即可.
24．【答案】（1）解：①过点A作AD⊥BC于点D，
又∵AB= AC，BC=16，
∴BD=CD=8.
∵AB=10，
∴
=6，
当点P与点D重合时，AP最小，
∴AP的最小值为6.
②∵PA=7，AD=6，
∴
，
∴BP=BD-PD
（2）解：BP·PC=m2-n2，
理由如下：
过点A作AE⊥BC于点E，由(1)可知BE=CE，
在Rt△ABE中，AB2=m2=AE2+BE2，
在Rt△APE中，AP2=n2=AE2+PE2，
∴m2-n2=BE2-PE2
=(BE+PE)(BE-PE)
=(CE+PE)BP
=CP·BP，
即BP·PC=m2-n2.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)①过点A作AD⊥BC于点D，当点P与点D重合时，AP最小，由勾股定理可得出答案；
②由勾股定理求出，则可得；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理得出AB2=m2=AE2+BE2，AP2=n2=AE2+PE2，两式相减可得出答案.
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