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BY YUSHEN
第五章　三角函数
第一讲　角的概念推广、弧度制与任意角的三角函数
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在5～6道，其中正弦型函数、正余弦定理的应用等难度较高.需要掌握象限角、界限角的特征及表示方法；掌握弧度与角度的换算关系；掌握弧长公式和扇形的面积公式；能根据已知三角函数值求其他三角函数值；能判断三角函数各象限的符号；掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的诱导公式、两角和与差的正弦公式、余弦公式和正切公式、二倍角公式；正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式；会画正弦函数的图像简图；掌握正弦函数的性质、正弦型函数的图像和性
质；会求正弦型函数的值域、最小正周期等.本章难点是正弦型函数、正余弦定理的应用等. 2023年 2024年 2025年
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基
本保持在5～6道，其中正弦型函数、正余弦定理的应用
等难度较高.需要掌握象限角、界限角的特征及表示方
法；掌握弧度与角度的换算关系；掌握弧长公式和扇形
的面积公式；能根据已知三角函数值求其他三角函数
值；能判断三角函数各象限的符号；掌握同角三角函数
的基本关系式、三角函数的诱导公式、两角和与差的正
弦公式、余弦公式和正切公式、二倍角公式；正弦定
理、余弦定理和三角形的面积公式；会画正弦函数的图
像简图；掌握正弦函数的性质、正弦型函数的图像和性
质；会求正弦型函数的值域、最小正周期等.本章难点
是正弦型函数、正余弦定理的应用等. 第3题 第8题 第12题 第15题 第19题 第23题 第7题 第17题 第20题 第22题 第25题 第27题 第10题
第12题
第29题
第24题
第26题
第28题
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在5～6道，其中正弦型函数、正余弦定理的应用等难度较高.需要掌握象限角、界限角的特征及表示方法；掌握弧度与角度的换算关系；掌握弧长公式和扇形的面积公式；能根据已知三角函数值求其他三角函数值；能判断三角函数各象限的符号；掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的诱导公式、两角和与差的正弦公式、余弦公式和正切公式、二倍角公式；正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式；会画正弦函数的图像简图；掌握正弦函数的性质、正弦型函数的图像和性质；会求正弦型函数的值域、最小正周期等.本章难点是正弦型函数、正余弦定理的应用等. 分值 24分 24分 24分
3
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.任意角的定义：平面内一条射线OA绕其端点O旋转到OB位置所形成的图
形叫做角，射线OA称为角的始边，射线OB称为角的终边.
　　2.任意角的分类：
　　（1）根据旋转方向不同，任意角又分为正角、负角、零角.
　　正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角.
　　负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角.
　　零角：一条射线没有做任何旋转，也认为形成了一个角，这个角称为零角.
　　（2）将角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，根据角的终
边所在位置将任意角分为象限角和界限角.
　　象限角：角的终边落在第几象限，这个角就叫做第几象限角.
　　界限角：如果角的终边在坐标轴上，就称这个角为界限角.
　　3.终边相同的角（这些角的顶点都在原点，始边都与x轴非负半轴重合）：
　　与角α终边相同的所有角（包括角α）组成一个集合，可表示为：
　　S＝
好题解析＞
　　例1　已知角α＝1 370°，则角α的终边落在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
　　【参考答案】因为α＝1 370°＝360°×3＋290°，又290°是第四象限角，故角α的终边落在第四象
限.故选D.
　　例2　与30°角终边相同的角的集合是（　　）
A. {α｜α＝30°＋k 180°，k∈Z}
B. {α｜α＝60°＋k 180°，k∈Z}
C. {α｜α＝30°＋k 360°，k∈Z}
D. {α｜α＝120°＋k 360°，k∈Z}
　　【参考答案】与30°角终边相同的角的集合是{α｜α＝30°＋k 360°，k∈Z}.故选C.
对点检测1＞
　　（1）已知α是第一象限角，则－α是（　D　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】因为角α与－α的终边关于x轴对称，所以－α为第四象限角.
D
　　（2）下列说法正确的是（　D　）
A. 第二象限角是钝角
B. 第二象限角比第一象限角大
C. 终边在x轴上的角的集合为S＝
D. 终边在y轴上的角的集合为S＝
【解析】第二象限角有负角，也有大于360°的角，故A错；由100°角是第二象限角，390°是第一象限角
可知B错；终边在x轴上的角的集合应为S＝ ，所以C错；故选D.
D
　　1.1弧度的角：弧长等于半径的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1
rad.以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制.
　　2. 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
　　3. 在半径为r，弧长为l的扇形中，其圆心角为α，则弧度数的绝对值 ＝
（其中l，r的单位要一致）.
　　4.角度与弧度的互化
　　180°＝π rad，1°＝ rad≈0.017 45 rad，1 rad＝ °≈57.3°.
　　5. 特殊角的角度与弧度之间的转化
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π π π π 2π
　　6.扇形的弧长和面积计算公式
　　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α（rad），面积为S，则：
　　l＝ r，S＝ lr＝ r2.
好题解析＞
　　例3　将 转换为角度是（　　）
A. 225° B. 135° C. 45° D. 315°
　　【参考答案】 ＝ ×180°＝315°.故选D.
　　例4　设圆的半径为r，则圆心角为120°的扇形的弧长为（　　）
A. B. πr
C. D.
　　【参考答案】圆的半径为r，则圆心角为120°的扇形的弧长为2×π×r× ＝ .故选D.
对点检测2＞
　　（1）已知一段圆弧长6π cm，它所对的圆心角为135°，则这个圆弧所在圆的半径为
（　A　）
A. 8 cm B.6 cm
C. 5 cm D. 4 cm
【解析】135°＝ rad，由公式 ＝ 可得r＝ ＝6π÷ ＝8 cm.
　　（2）把 化成角度的结果为（　C　）
A. 85° B. 105° C. 165° D. 215°
【解析】 rad＝ × ＝165°，所以 化成角度的结果为165°.
A
C
　　1.任意角的三角函数定义
　　设P 是角α终边上任意一点（不与原点重合），r＝ ＝
，则角α的正弦值、余弦值和正切值分别定义为： sin α＝ ， cos α＝
，tan α＝ .
　　对于每一个确定的角α，其正弦值、余弦值与正切值（当 ）都分别
对应着一个确定的比值（与点P所在的位置无关），因此 sin α， cos α与tan α都
是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数与正切函数，它们统称
为三角函数.
　　2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
　　3. 各象限角的三角函数值的符号
　　口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
　　4.特殊角的三角函数值
α（角度） 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
α（弧度） 0 π 2π
sin α 0 1 0 －1 0
cos α 1 0 －1 0 1
tan α 0 1 不存在 0 不存在 0
好题解析＞
　　例5　 sin tan ＝（　　 ）
A. B. 1 C. D.
　　【参考答案】 sin tan ＝ ×1＝ .故选C.
　　例6　若 sin αtan α＜0，且 ＜0，则角α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
　　【参考答案】因为 sin αtan α＜0，且 ＜0，所以tan α与 sin α， cos α正负号相反.由三角函数值象限
正负性可知，角α是第三象限角.故选C.
对点检测3＞
　　（1）若M 为角α终边上一点，则 cos α＝（　B　）
A. － B. － C. － D.
【解析】由题知r＝ ＝ ＝13，所以 cos α＝ ＝－ .
　　（2）已知 sin θ＞0且tan θ＜0，则θ可能为（　B　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】因为 sin θ＞0且tan θ＜0，所以θ为第二象限角.
B
B
4
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 若α＝2 025°，则角α的终边在第 　　　象限.（　C　）
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 已知∠A是三角形的一个内角，则 cos A的值是（　D　）
A. 正数 B. 负数
C. 非负数 D. 正数、零、负数都有可能
C
D
3. 已知角α的终边经过点（－1，－ ），则 cos α＝（　B　）
A. B. － C. D. －
4. 已知角α的终边经过点（4，m），且 sin α＝ ，则m＝（　A　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
A
5. 下列说法正确的是（　B　）
A. 正角一定是第一象限角 B. 锐角一定是第一象限角
C. 终边相同的象限角一定相等 D. 小于90°的角一定是锐角
6.3 rad角所在的象限是（　B　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
B
B
7. 角200°用弧度制表示为（　C　）
A. B. C. D.
8. 已知 sin α＜0，tan α＜0，则α是（　D　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
C
D
二、填空题
9. 与－660°角终边相同的最小正角是 .（用弧度制表示）
10. 若某弦长等于所在圆的半径的 倍，则该弦所对应的圆心角是 　 　.
11. 若角α是第一象限角，且终边在直线y＝2x上，则 sin α＝ 　 　， cos α＝ 　 　，tan α
＝ .
12. 与－30°角终边相同的角的集合可以表示为 .




2

三、解答题
13. 已知角α的终边经过点（1，－2），求 sin α， cos α，tan α的值.
解：因为角α的终边经过点（1，－2），
所以r＝ ＝ .
所以 sin α＝ ＝ ＝－ ；
cos α＝ ＝ ＝ ；tan α＝ ＝ ＝－2.
14. 求值：tan cos －tan cos ＋ sin tan .
解：原式＝ × －1×0＋ × ＝ ＋ ＝2.
15. 若角α是第二象限角，试确定2α， 的终边所在象限.
解：因为角α是第二象限角，
所以2kπ＋ ＜α＜2kπ＋π（k∈Z），
所以4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，kπ＋ ＜ ＜kπ＋ （k∈Z），
所以角2α的终边落在第三象限、第四象限或y轴的负半轴，角 的终边落在第一象限、第三象限.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 将 转化成角度制为（　C　）
A. 135° B. 120° C. 105° D. 75°
【解析】 ＝ ×180°＝105°.
2. 已知750°＜α＜800°，则 是（　A　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
C
A
3. 已知点P（ cos α， sin α）在第二象限内，则角α的终边在（　B　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】因为点P（ cos α， sin α）在第二象限，所以 sin α＞0， cos α＜0，所以α是第二象限角.
4. 若 sin θ＝ ，且θ在第一象限，则θ＝（　A　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】若 sin θ＝ ，且θ在第一象限，则θ＝2kπ＋ （k∈Z），当k＝0时，θ＝ ＝30°.
B
A
5. 若角α是第二象限角，则π－α是（　A　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】因为α是第二象限角，所以2kπ＋ ＜α＜2kπ＋π（k∈Z），则－2kπ－π＜－α＜－2kπ－
（k∈Z），即2kπ－π＜－α＜2kπ－ （k∈Z），所以2kπ＜π－α＜2kπ＋ （k∈Z）.故π－α是第一象
限角.
A
6. 若扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则其圆心角的弧度数是（　A　）
A. 1或4 B. 1或2 C. 2或4 D. 1或5
【解析】设扇形的半径为R，弧长为l，由题意得 解得 或 故扇形的圆心
角的弧度数α＝ ＝1或4.
A
7. 集合 中的角所表示的范围（阴影部分）是
（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】k分奇偶讨论.当k＝2n，n∈Z时， ，当k＝2n＋1，
n∈Z时， ，所以选项C满足题意.
C
8. 已知角α是第二象限角，其终边过点P（x，4），且 sin α＝ ，则tan α＝（　A　）
A. － B. C. － D. ±
【解析】因为角α的终边过点P（x，4），且 sin α＝ ，所以 ＝ ，解得x＝±3，因为角α是第二
象限角，所以 cos α＜0，x＜0，所以x＝－3，所以tan α＝ ＝－ .
A
二、填空题
9. 已知扇形OAB的面积为2， ＝4，则该扇形所在圆的半径为 .
10. 弦长等于半径的弧所对的圆心角的弧度数是 .
【解析】如图所示，因为半径和弦长相等，所以△AOB为正三角形，即∠AOB＝ .
1

11. 若角α满足 sin 2α cos α＜0，则角α的终边在 象限.
【解析】由题可得 sin α≠0， cos α≠0，又 sin 2α＞0恒成立，所以 cos α＜0，故角α的终边在第
二或第三象限.
12. 已知角α的终边与单位圆的交点为P ，则 cos α＝ 　± 　.
【解析】因为角α的终边与单位圆的交点P的坐标为 ，所以 ＝1，解得x＝± ，所以
cos α＝± .
第二或第三
±
三、解答题
13. 已知角α的终边在直线y＝x上，求 sin α＋ cos α的值.
解：由题意可设角α的终边上任意一点A（x，x），则由三角函数的定义有 sin α＝ ＝ ＝ cos
α.当x＞0时， sin α＋ cos α＝ ＋ ＝ ；当x＜0时， sin α＋ cos α＝－ ＋ ＝－ .故 sin α
＋ cos α＝ 或－ .
14. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵
坐标为 .求 sin 2α＋ sin α cos α的值.
解：由题意知， sin α＝ ，因为 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos α＝± .又α为第二象限角，所以 cos α＝－
，即 sin 2α＋ sin α cos α＝2＋ × ＝ .
15. 如图所示，一个半径为R的扇形，它的周长是4R，求这个扇形所含弓形（图中阴影部分）
的面积.
解：因为l＝4R－2R＝2R，α＝ ＝ ＝2，
所以S扇形＝ lR＝ ×2R×R＝R2，
S三角形＝ R2 sin 2，
所以S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－ R2 sin 2＝ R2（2－ sin 2）.　　

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