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(共37张PPT)
BY YUSHEN
第五章　三角函数
第二讲　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.平方关系
　　对任意角α都有： sin 2α＋ cos 2α＝1.
　　变形： sin 2α＝1－ cos 2α， cos 2α＝1－ sin 2α.
　　2. 商的关系
　　当α≠ ＋kπ，k∈Z时，都有tan α＝ .
　　变形： sin α＝tan α cos α， cos α＝ .
好题解析＞
　　例1　已知 sin θ＝ ，θ为第二象限角，则 cos θ＝（　　 ）
A. B. － C. D. －
　　【参考答案】由 sin 2θ＋ cos 2θ＝1，可得 cos 2θ＝1－ sin 2θ＝ .因为θ为第二象限角，所以 cos θ＜0，
所以 cos θ＝－ .故选D.
　　例2　已知tan α＝3，则 的值是（　　）
A. 2 B. －2 C. D. －
　　【参考答案】tan α＝3，可得 sin α＝3 cos α，则 ＝ ＝－ .故选D.
对点检测1＞
　　（1）已知tan α＝ ，且α为第三象限角，则 sin α＝（　C　）
A. － B. C. － D.
【解析】由题知tan α＝ ＝ ，所以 cos α＝ sin α，代入 sin 2α＋ cos 2α＝1得 sin 2α＝ ，因为α为第
三象限角，所以 sin α＝－ .
C
　　（2）化简： ＝（　C　）
A. sin 43°－ cos 43°
B. sin 43°＋ cos 43°
C. cos 43°－ sin 43°
D. － cos 43°－ sin 43°
【解析】 ＝ ＝
＝ ，因为 sin 43°＜ cos 43°，所以原式＝ cos 43°－ sin 43°.
C
　　（3）已知tan α＝－ ，则 sin α cos α＝（　C　）
A. － B. C. － D.
【解析】 sin α cos α＝ ＝ ＝ ＝－ .
C
　　1.角2kπ＋α 与角α的三角函数值之间的关系：
sin ＝ sin α
cos ＝ cos α
tan ＝tan α
　　利用上述公式可以将任意角的三角函数值转化为 内的角的三角
函数值.
　　2.角－α与α的三角函数值之间的关系：
sin ＝－ sin α
cos ＝ cos α
tan ＝－tan α
　　利用上述公式可将负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.
　　3. 角π＋α与角α的三角函数值之间的关系：
sin ＝－ sin α
cos ＝－ cos α
tan ＝tan α
　　利用上述公式可将 范围内角的三角函数值转化为锐角的三角函
数值.
　　4. 角π－α与角α的三角函数值之间的关系：
sin ＝ sin α
cos ＝－ cos α
tan ＝－tan α
　　利用上述公式可将 范围内角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
　　公式1～4记忆口诀：“函数名称不变，符号看象限”.
　　5. 角 ±α与角α的三角函数值之间的关系：
sin ＝ cos α
cos ＝ sin α
sin ＝ cos α
cos ＝－ sin α
　　利用上述公式可实现正弦、余弦函数值之间的转化，记忆口诀：“函数名称
改变，符号看象限”.
好题解析＞
　　例3　tan π＝（　　 ）
A. B. － C. D. －
　　【参考答案】由公式可得，tan π＝tan ＝tan ＝－tan ＝－ .故选D.
　　例4　 ＝（　　 ）
A. 1 B. －1 C. tan θ D. －tan θ
　　【参考答案】由公式可得： sin （－2π－θ）＝ sin （－θ）＝－ sin θ， cos （6π－θ）＝ cos θ， cos （θ
－π）＝ cos （π－θ）＝－ cos θ， sin （5π＋θ）＝ sin （π＋θ）＝－ sin θ.所以原式可化为：
＝ ＝－1.故选B.
对点检测2＞
　　（1） sin ＝（　A　）
A. － B. － C. D.
【解析】 sin ＝－ sin ＝－ .
　　（2）如果 sin α＝ ，那么 sin （π＋α）＝（　B　）
A. B. － C. － D.
【解析】因为 sin α＝ ，所以 sin （π＋α）＝－ sin α＝－ .
A
B
　　（3）若 sin ＝－ ，则 sin ＝（　B　）
A. B. － C. － D.
【解析】 sin ＝ sin ＝ sin ＝－ .
B
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知tan α＝－ ， sin α＝－ ，则 cos α＝（　A　）
A. B. － C. － D.
2. 已知 sin α＝ ，则 cos 2α＝（　D　）
A. B. C. D.
A
D
3. 若角α为第四象限角，且 cos α＝ ，则tan α＝（　C　）
A. － B. C. －2 D. 2
4. 若角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为－ ，则tan θ的值为（　C　）
A. － B. ±1 C. ± D. ±
5. 化简：（1＋tan2α） cos 2α＝（　C　）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
C
C
C
6. sin ＝（　D　）
A. B. － C. D. －
7. 已知tan α＝2，则 sin α cos α＝（　C　）
A. B. C. D.
8. 已知 cos ＝ ，α∈ ，则 cos α＝（　D　）
A. B. － C. D. －
D
C
D
二、填空题
9. ＝ 　 　.
10. 已知 cos （π＋α）＝ ，则 cos （π－α）＝ 　 　.
11. 已知 sin α－ cos α＝ ，则 sin α cos α＝ 　 　 .
12. 已知 sin α cos α＝ ，则tan α＋ 的值为 .
【解析】原式＝ ＋ ＝ ＝2.



2
三、解答题
13. 化简： .
解：原式＝ ＝1.
14. 已知 sin α＝ ，且α是第二象限角.
（1）求 cos α和tan α；
解：（1）因为 sin α＝ ，且α是第二象限角，所以 cos α＜0.
故 cos α＝－ ＝－ ＝－ ，tan α＝ ＝ ＝－ .
（2）求 sin （π－α）＋tan（－α）的值.
解：（2） sin （π－α）＋tan（－α）＝ sin α－tan α＝ ＋ ＝ .
15. 已知α为第二象限角，且 sin α＝ .
（1）求tan α的值；
解：（1）因为α为第二象限角， sin α＝ ，所以 cos α＝－ ＝－ ＝－ ，tan α＝
＝ ＝－2.
（2）求 的值.
解：（2）原式＝ ，分子分母同时除以 cos 2α，则原式＝ ＝ ＝－ .
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知 cos 2β＝ ，且β是第三象限角，则tan β＝（　B　）
A. －3 B. 3 C. － D.
【解析】因为 cos 2β＝ ，且β是第三象限角，所以 cos β＝－ ， sin β＝－ ＝－ ，则tan
β＝ ＝3.
B
2. 已知tan α＝2，则 的值为（　B　）
A. － B. C. D.
【解析】原式分子分母同时除以 cos α得 ＝ ＝ ＝ .
B
3. 若∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角，则下列等式不成立的是（　D　）
A. sin （A＋B）＝ sin C B. cos （A＋B）＝－ cos C
C. tan（A＋B）＝－tan C D. sin （A＋B）＝－ sin C
【解析】∵∠A＋∠B＋∠C＝π，则∠A＋∠B＝π－∠C，∴ sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C，
故A正确D错误； cos （A＋B）＝ cos （π－C）＝－ cos C，故B正确；tan（A＋B）＝tan（π－C）＝
－tan C，故C正确.
D
4. 已知 sin （π－θ）＝－ ，则 cos θ＝（　A　）
A. 或－ B. C. － D. 或－
【解析】 sin （π－θ）＝ sin θ＝－ ， cos 2θ＝1－ sin 2θ＝1－2＝1－ ＝ ； cos θ＝± ＝± .
A
5. 如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P，且点P的横坐标为 ，若角β的终边与
角α的终边关于y轴对称，则 sin β＝（　C　）
A. B. － C. D. －
【解析】由题意可知 cos α＝ ， sin α＝ ＝ ，β的终边与角α的终边关于y轴对称，故β＝2kπ
＋π－α，k∈Z，所以 sin β＝ sin ＝ sin α＝ .
C
6. sin ＝（　A　）
A. － B. C. － D.
【解析】 sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ .
7. 已知tan α＝ ，且α∈ ，则 sin α＝（　B　）
A. B. － C. D. －
【解析】∵tan α＝ ，且α∈ ，
∴ 解得
A
B
8. 化简： ＝（　D　）
A. B.
C. D.
【解析】原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
D
二、填空题
9. 已知函数f（x）＝ ，则f ＝ 　－ 　.
【解析】因为f（x）＝ ＝ ＝－ cos x，所以f ＝－ cos ＝－ cos
＝－ .
－
10. 已知 sin θ， cos θ是关于x的方程x2－x＋a＝0（a是常数）的两根，其中θ∈ ，则
sin θ－ cos θ＝ .
【解析】∵ sin θ， cos θ是关于x的方程x2－x＋a＝0的两根，∴ sin θ＋ cos θ＝1，两边同时平方得1＋2 sin
θ cos θ＝1，故 sin θ cos θ＝0，∵θ∈ ，∴ sin θ＞0， cos θ＝0，∴θ＝ ，∴ sin θ－ cos θ＝1.
1
11. 若 cos （π＋α）＝ ，α∈ ，则 sin （π－α）＝ 　 　.
【解析】因为 cos （π＋α）＝ ，α∈ ，所以 cos α＝－ ，故 sin α＝ ＝ ，所以 sin （π
－α）＝ sin α＝ .
12. 已知 cos ＝ ，则 cos ＝ 　－ 　.
【解析】因为 cos ＝ ，所以 cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .　

－
三、解答题
13. 已知 sin α＝ ，且α是第二象限角，求 的值.
解：因为 sin α＝ ，α是第二象限角，所以 cos α＝－ ＝－ ，故原式＝ ＝ .
14. 求证：在△ABC中， sin （2B＋2C）＝－ sin 2A.
证明：因为∠A，∠B，∠C为△ABC的三个内角，
所以∠A＋∠B＋∠C＝π，则2∠A＋2∠B＋2∠C＝2π.
于是2∠B＋2∠C＝2π－2∠A.
故 sin （2B＋2C）＝ sin （2π－2A）＝ sin （－2A）＝－ sin 2A. 所以原等式成立.
15. 已知 cos α＝ ，且－ ＜α＜0，求下列各式的值.
（1） ；
解：因为 cos α＝ 且－ ＜α＜0，
所以 sin α＝－ ，则tan α＝－2.
（1） ＝ ＝0.
（2） .
解：因为 cos α＝ 且－ ＜α＜0，
所以 sin α＝－ ，则tan α＝－2.
（2） ＝ ＝－tan α＝2.

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