资源简介

(共43张PPT)
BY YUSHEN
第五章　三角函数
第三讲　三角函数的图像与性质
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.周期函数的定义
　　一般地，对于函数y＝f ，若存在一个非零常数T，使得当x取定义域内
任意一个值时，都有f ＝f ，则称函数y＝f 为周期函数.非零常数
T为y＝f 的一个周期.由诱导公式 sin ＝ sin α可知正弦函数y＝ sin
x，x∈R是以2kπ 为周期的周期函数，其最小正周期为2π.
　　常见的表示函数周期性的公式：f ＝f ，f（x＋a）＝f（x－
a）.
　　2.三角函数的图像和性质
函数 y＝ sin x y＝ cos x y＝tan x
图像
定义域 R R
值域 ［－1，1］ ［－1，1］ R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增 区间
递减 区间 无
对称 中心
对称轴 无
好题解析＞
　　例1　设函数f（x）＝a sin x＋ cos x，则“a＝0”是“函数f（x）是偶函数”的
（　　 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
　　【参考答案】若a＝0，则f（x）＝ cos x是偶函数；若函数f（x）＝a sin x＋ cos x是偶函数，则f
（－x）＝a sin （－x）＋ cos （－x）＝－a sin x＋ cos x＝f（x）＝a sin x＋ cos x，所以2a sin x＝
0，则a＝0.故选C.
　　例2　已知 sin α＝ ，则m的取值范围是（　　 ）
A. ［1，5］ B. ［0，5］
C. ［－2，4］ D. ［3，6］
　　【参考答案】由－1≤ ≤1，得1≤m≤5.故选A.
对点检测1＞
　　（1）已知3 cos x－a＝2，x∈R，则实数a的取值范围是（　C　）
A. ［－1，1］ B. ［－3，3］
C. ［－5，1］ D. ［－3，2］
【解析】由3 cos x－a＝2，x∈R得a＝3 cos x－2，所以a的最小值为3× －2＝－5，a的最大值为
3×1－2＝1，即实数a的取值范围是［－5，1］.
　　（2）函数y＝2－4 sin x的最大值、最小值分别是（　D　）
A. 4，－4 B. 2，－2 C. 4，－2 D. 6，－2
【解析】当 sin x＝－1时，ymax＝2－4× ＝6；当 sin x＝1时，ymin＝2－4×1＝－2.
C
D
　　（3）在下列区间中，函数y＝ sin x与y＝ cos x都是减函数的是（　B　）
【解析】根据正弦函数和余弦函数在 的图像可知，在区间 上正弦函数是增函数，余弦函数
是减函数；在区间 上正弦函数、余弦函数都是减函数；在区间 上正弦函数是减函数，余弦
函数是增函数；在区间 上正弦函数、余弦函数都是增函数.
B
　　1.正弦型函数y＝A sin 的图像
　　用五点法作y＝A sin 在一个周期的简图时，选取的五个点分别是：
， ， ， ， ，其中T为
函数的周期.
　　2.正弦型函数y＝A sin 的性质
　　（1）定义域：R.
　　（2）值域：［－A，A］.
　　当ωx＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值A，
　　当ωx＋φ＝－ ＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值－A.
　　（3）周期：T＝ .
　　（4）单调性：当2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ ，即 ≤x≤ 时，
　　函数y＝A sin （ωx＋φ）为增函数，即增区间为 .
　　当2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋ ，即 ≤x≤ 时，
　　函数y＝A sin （ωx＋φ）为减函数，即减区间为 .
　　（5）在物理学中，正弦型函数可以用来描述简谐振动、正弦交流电等.这时A称为振幅，ωt
＋φ称为相位，φ称为初相，T＝ 称为周期，f＝ ＝ 称为频率.
　　3.图像变换
　　正弦型函数y＝A sin ，x∈R的图像可由正弦函数y＝ sin x，x∈R通
过平移和伸缩变换得到，具体途径有两种：
好题解析＞
　　例3　已知函数f（x）＝ sin （2x＋φ）的图像关于直线x＝ 对称，则φ可能取值为
（　　 ）
　　【参考答案】因为函数f（x）＝ sin （2x＋φ）的图像关于直线x＝ 对称，所以 ＋φ＝kπ＋ ，
k∈Z. 故可取φ＝－ .故选D.
　　例4　函数f（x）＝ sin 的图像，向右平移 个单位长度后得到函数g（x）的解析
式为（　　 ）
　　【参考答案】由题意可得g（x）＝ sin ＝ sin .故选C.
　　例5　函数f（x）＝A sin （ωx＋φ） 的部分图像如图所示，且f
（0）＝1，则f ＝（　　 ）
　　【参考答案】根据函数f（x）＝A sin （ωx＋φ） 的部分图像，可得 ＝
＝ － ，解得ω＝3.再根据五点法作图可得3× ＋φ＝ ，可得φ＝ .故f（x）＝A sin .
由于f（0）＝A sin ＝ A＝1，可得A＝ ，可得f（x）＝ sin ，则f ＝ sin
＝－1.故选A.
对点检测2＞
　　（1）函数y＝ sin x＋5的最大值和最小值、周期分别为（　D　）
A. 5，－5，2π B. 1，－1，2π
C. 5，－4，2π D. 6，4，2π
【解析】因为－1≤ sin x≤1，所以函数y＝ sin x＋5的最大值为6，最小值为4，周期为2π.
D
　　（2）函数y＝2 sin 的单调递增区间为（　D　）
【解析】由－ ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ 可得：－ ＋kπ＜x＜ ＋kπ .
D
　　（3）为了得到函数f ＝ sin 的图像，只需把函数f ＝ sin 的图像（　A　）
【解析】因为f ＝ sin ＝ sin － ，所以把函数f ＝ sin 的图像向左平
移 个单位可得到函数f ＝ sin 的图像.
A
　　（4）已知正弦型函数y＝A sin 的部分图像如图所示，则该函数的解
析式为（　B　）
【解析】由图像可知A＝ ， ＝ － ＝ ，所以T＝π，ω＝2，又函数过点 ，所以2× ＋φ
＝π，因此φ＝ ，故函数的解析式为y＝ sin .
B
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 函数y＝ 的定义域为（　B　）
A. ［0，π］
C. ［π，2π］ D. ［－π＋2kπ，2kπ］（k∈Z）
2. 在下列函数中，最小正周期为 的是（　A　）
B
A
3. 函数y＝ sin 的图像是由y＝ sin 的图像 　　　得到的.（　C　）
4. 若函数f（x）＝ sin （π－2x），则f（x）是（　A　）
A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数
C
A
5. 已知函数y＝ sin x，x∈ ，则y的取值范围是（　B　）
6. 函数y＝ sin （－x），x∈［0，2π］的简图是（　B　）
A. B.
C. D.
B
B
7. 函数y＝－ cos x 的图像中与y轴最近的最高点的坐标是（　B　）
B
8. 若函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ） 的部分图像如图所示，则ω，φ的值分
别是（　D　）
D
二、填空题
9. 函数y＝1＋ cos x在区间 上单调递增，在区间
上单调递减；当x＝ 时，y取最大值 ；当x＝
时，y取最小值 .
10. 函数y＝ sin 的最小正周期是 .
11. 函数f ＝－2tan 的定义域是 　 　.
12. 满足 cos x＞0，x∈［0，2π］的x的区间是 .
［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）
［2kπ，2kπ＋
π］（k∈Z）
2kπ（k∈Z）
2
2kπ－π
（k∈Z）
0
π


三、解答题
13. 求函数f（x）＝ 的定义域.
解：令 cos x＋ ≥0，可得 cos x≥－ ，
由余弦函数y＝ cos x的性质可知，满足 cos x≥－ 的x的取值范围为 ，k∈Z，
即函数f（x）的定义域为 ，k∈Z.
14. 已知函数f ＝2 sin ，求：
（1）f 的最小正周期；
解：（1）T＝ ＝π，所以f 的最小正周期为π.
（2）f 取最大值时自变量x的集合.
解：（2）由2x＋ ＝2kπ＋ ，解得x＝kπ－ .故f 取最大值时自变量x的集合为
.
15. 求函数y＝ sin 的单调增区间.
解：当2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，
即kπ－ π≤x≤kπ＋ （k∈Z），
所以函数y＝ sin 的单调增区间为 （k∈Z）.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 下列满足y＝ cos x是减函数且函数值为负值的区间是（　B　）
【解析】由y＝ cos x的图像可知，同时满足y＝ cos x是减函数且函数值为负值的在第二象限.
B
2. 若 sin x－2a＝3，则实数a的取值范围是（　A　）
A. ［－2，－1］ B. ［－2，1］
C. ［－1，2］ D. ［1，2］
【解析】因为 sin x－2a＝3，即 sin x＝2a＋3，所以－1≤2a＋3≤1，解得－2≤a≤－1.则实数a的取值
范围是［－2，－1］.
3. 函数y＝3 sin 的周期、相位分别是（　D　）
A
D
4. 若函数f（x）＝ sin 2x＋m的最大值为1，则m＝（　C　）
A. 0 B. 1
【解析】因为f（x）＝ sin 2x＋m的最大值为1，所以当 sin 2x＝1时，函数取得最大值，最大值为 ＋
m，所以 ＋m＝1，所以m＝ .
C
5. 已知函数f（x）＝ cos ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，为了得到函数g（x）＝ cos 的图像，只要将y＝f（x）的图像（　A　）
【解析】因为函数f（x）＝ cos ωx（ω＞0）的最小正周期为2π，所以ω＝ ＝1，所以f（x）＝ cos
x，g（x）＝ cos ，所以为了得到函数g（x）＝ cos 的图像，只要将y＝f（x）的图像
向左平移 个单位长度.
A
6. 函数y＝ 的一个单调减区间是（　C　）
【解析】y＝ 的图像如图所示，所以y＝ 的一个单调减区间为 .
C
7. 下列函数以 为周期的是（　B　）
【解析】选项A，T＝ ＝π；选项B，T＝ ；选项C，T＝ ＝π；选项D，T＝ ＝4π.
B
8. 设函数f（x）＝ sin （ωx＋φ） 的部分图像如图所示，已知直线x＝ 是
它的一条对称轴，则函数f（x）的解析式为（　D　）
【解析】因为直线x＝ 是它的一条对称轴，由图可知，x＝ 对应最高点，所以 ＝ π－ ＝ ，即T
＝π＝ ，所以ω＝2.又因为 是五点法作图的第三个点，所以2× ＋φ＝π，即φ＝ ，函数f
（x）的解析式为f（x）＝ sin .
D
二、填空题
9. 设函数f（x）＝2 sin ，则下列结论错误的为 .
①f（x）的最小正周期为π；②f（x）的图像关于直线x＝ 对称；③f（x）的最大值为1.
【解析】由周期公式知T＝ ＝π，①正确；因为f ＝2 sin ＝2 sin ＝ 不是最值，所以
直线x＝ 不是函数f（x）的对称轴，②错误；由正弦函数的值域可知f（x）的最大值为2，③错误.
②③
10. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ） 的部分图像如图所示，则该函数
的解析式为 .
f（x）＝ sin
【解析】由函数的图像知，A＝1， T＝ － ＝ ，即T＝π＝ ，所以ω＝2，又因为当x＝－
时，是五点法作图的第一个点，所以2× ＋φ＝0，解得φ＝ .所以该函数的解析式为f（x）＝ sin
.
11. 要得到函数y＝ sin 2x的图像，只需把函数y＝ sin 的图像向右平移 　 　个
单位长度.
12. 函数y＝2 sin 在区间［0，2π］上的单调递减区间是 　 　.
【解析】方法一：可以借助于五点法作图，画出［0，2π］区间内的图像，观察单调递减区间.
方法二：因为y＝2 sin x的图像向左平移 个单位长度可得到y＝2 sin 的图像，所以在［0，2π］区
间内减区间 也要向左平移 个单位长度，即为 .


三、解答题
13. 试判断函数f（x）＝x sin x的奇偶性.
解：因为函数f（x）＝x sin x，所以定义域为x∈R.
所以f（－x）＝－x sin （－x）＝－x（－ sin x）＝x sin x＝f（x）.
故函数f（x）＝x sin x在R上为偶函数.
14. 已知函数f ＝A sin 的部分图像如图所示，求f ＋f
＋f（3）＋…＋f（2 025）的值.
解：由图像知A＝2，最小正周期T＝ ＝2× ＝8，解得ω＝ .
又f ＝2 sin ＝2，
∴ ＋φ＝ ＋2kπ ，解得φ＝2kπ .
∵ ＜ ，∴φ＝0，∴f ＝2 sin x.
∵f ＝f ＝ ，f ＝2，f ＝f ＝0，f ＝f ＝－ ，f ＝－2，
∴f ＋f ＋…＋f ＋f ＝0，
∴f ＋f ＋f ＋…＋f ＝253×［f ＋f ＋…＋f ＋f ］＋f（1）＝ .
15. 已知函数f ＝ sin ＋ 的最小正周期为π.
（1）求函数f 单调递增区间；
解：（1）因为T＝ ＝π，所以ω＝1，即f（x）＝ sin ＋ .
令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，
解得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，
即函数f 单调递增区间为 .
（2）当x∈ 时，求函数f 的值域.
解：（2）因为0≤x≤ ，所以 ≤2x＋ ≤ ，所以 ≤ sin ≤1，1≤ sin ＋ ≤ ，
即当x∈ 时，函数f 的值域为 .

展开更多......

收起↑