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(共42张PPT)
BY YUSHEN
第五章　三角函数
第四讲　和（差）角公式与二倍角公式
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.两角和与差的正弦公式：
　　 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β.
　　 sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β.
　　2. 两角和与差的余弦公式：
　　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β.
　　 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β.
　　3.两角和与差的正切公式：
　　tan（α＋β）＝ .
　　tan（α－β）＝ .
　　公式变形
　　tan α±tan β＝tan（α±β）（1 tan αtan β）.
好题解析＞
　　例1　 sin 105°＝（　　 ）
A. B. C. D.
　　【参考答案】 sin 105°＝ sin （45°＋60°）＝ sin 45° cos 60°＋ cos 45° sin 60°＝ × ＋
× ＝ ＋ ＝ .故选A.
　　例2　 cos 20° cos 25°－ sin 20° sin 25°＝（　　）
A. B. C. D.
　　【参考答案】原式＝ cos （20°＋25°）＝ cos 45°＝ .故选C.
　　例3　 sin 95° cos 50°－ cos 95° sin 50°＝（　　）
A. － B. C. D.
　　【参考答案】 sin 95° cos 50°－ cos 95° sin 50°＝ sin （95°－50°）＝ sin 45°＝ .故选C.
　　例4　若tan α＝ ，tan（β－α）＝－4，则tan β的值为（　　）
A. B. － C. D. －
　　【参考答案】因为β＝（β－α）＋α，所以tan β＝tan［（β－α）＋α］＝ ＝
＝ ＝－ .故选D.
对点检测1＞
　　（1）计算： cos 73° cos 13°＋ sin 73° cos 77°＝（　A　）
A. B. － C. D. －
【解析】原式＝ cos 73° cos 13°＋ sin 73° sin 13°＝ cos ＝ cos 60°＝ .
A
　　（2）计算：tan 27°＋tan 33°＋ tan 27°tan 33°＝（　C　）
A. B. － C. D. －
【解析】由tan 60°＝tan ＝ ＝ 可得tan 27°＋tan 33°＝ － tan
27°tan 33°，即tan 27°＋tan 33°＋ tan 27°tan 33°＝ .
C
　　（3） sin 15°＝（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】 sin 15°＝ sin （60°－45°）＝ sin 60° cos 45°－ cos 60° sin 45°＝ × － × ＝
.
　　（4）已知tan α＝2，则tan 的值为（　D　）
A. 3 B. 2 C. D.
【解析】∵tan α＝2，tan ＝1，∴tan ＝ ＝ ＝ .
C
D
　　当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差
的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和
或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
　　辅助角公式：a sin x＋b cos x＝ sin （x＋φ），其中φ所在的象限
由a，b的符号确定， sin φ＝ ， cos φ＝ ，tan φ＝ .
好题解析＞
　　例5　已知 sin α＋ cos α＝m－2，则m的取值范围为（　　 ）
A. （2－ ，2＋ ） B. ［2－ ，2＋ ］
C. ［0，4］ D. （0，4）
　　【参考答案】因为 sin α＋ cos α＝2 ＝2 sin ，所以－2≤m－2≤2，解得
0≤m≤4.故选C.
　　例6　函数f（x）＝ sin 2x＋m cos 2x的最小正周期为（　　 ）
A. B. π C. 2π D. 4π
　　【参考答案】由题意可得f（x）＝ sin （2x＋φ），所以其最小正周期为T＝ ＝π.故选B.
对点检测2＞
　　（1）函数y＝2 sin 2x＋2 cos 2x－1的最大值为（　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2
【解析】因为y＝2 sin 2x＋2 cos 2x－1＝4 －1＝4 sin －1，所以最大值为
4×1－1＝3.
B
　　（2）函数f ＝ sin x－ cos x的频率和最大值分别为（　D　）
A. π， B. ， C. 2π， D. ，
【解析】因为f ＝ sin x－ cos x＝ ＝ sin ，所以最大值为 ，周期
T＝2π，频率f＝ ＝ .
D
　　1.二倍角公式
　　 sin 2α＝2 sin α cos α.
　　 cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α.
　　tan 2α＝ .
　　2.公式变形
　　 cos 2α＝ ， sin 2α＝ .
　　1＋ sin 2α＝（ sin α＋ cos α）2.
　　1－ sin 2α＝（ sin α－ cos α）2.
好题解析＞
　　例7　已知 sin α＝ ，则 sin 2α＝（　　 ）
A. ± B.
C. ± D.
　　【参考答案】因为 sin α＝ ，所以 cos α＝± ＝± .由正弦二倍角公式可得 sin 2α＝2 sin
α cos α＝± .故选A.
　　例8　已知tan 2α＝ ，则tan α＝（　　 ）
A. －3＋ B. C. ± D. －3±
　　【参考答案】由tan 2α＝ 可得 ＝ ，即tan2α＋6tan α－1＝0，解得tan α＝－3± .故选D.
对点检测3＞
　　（1）已知tan 2α＝2，则tan 4α＝（　B　）
A. B. － C. D. －
【解析】tan 4α＝ ＝ ＝－ .
　　（2）已知 sin α＝ ，α∈ ，则 sin 2α的值为（　C　）
A. B. C. － D. －
【解析】∵ sin α＝ ，α∈ ，
∴ cos α＝－ ＝－ ，∴ sin 2α＝2 sin α cos α＝－ .
B
C
　　1.化简
　　（1）常用方法：直接运用公式进行化简；异名化同名，异角化同角；逆用
公式等.
　　（2）降幂公式：
　　 sin α cos α＝ sin 2α.
　　 cos 2α＝ ； sin 2α＝ ；tan2α＝ .
　　（ sin α＋ cos α）2＝1＋ sin 2α；（ sin α－ cos α）2＝1－ sin 2α.
　　（3）升幂公式：
　　1－ cos α＝2 sin 2 ；1＋ cos α＝2 cos 2 .
　　tan α＝ .
　　1± sin α＝2.
　　2.求值
　　（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要用三角函数的变换消除
非特殊角；
　　（2）给值求值：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，
解题关键在于角的变换；
　　（3）给值求角：实质上转化为（2）进行解答，要注意角的范围.
好题解析＞
　　例9　化简： ＝（　　）
A. sin 3＋ cos 3 B. sin 3－ cos 3
C. － sin 3－ cos 3 D. － sin 3＋ cos 3
　　【参考答案】 ＝ ＝ .因为 ＜3＜π，所以 cos
3＜0＜ sin 3，即 sin 3－ cos 3＞0，则 ＝ sin 3－ cos 3.故选B.
　　例10　已知 sin α＝ ，则 cos 2α＝（　　）
A. B. － C. D. －
　　【参考答案】 cos 2α＝1－2 sin 2α＝－ .故选D.
对点检测4＞
　　（1） cos 2 － sin 2 ＝（　D　）
A. B. C. D.
【解析】 cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ cos ＝ .
　　（2）已知 cos 2α＝－ ，则 sin 2α＝（　C　）
A. B. C. D.
【解析】由题意，得 sin 2α＝ （1－ cos 2α）＝ × ＝ .
D
C
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 求值： cos 15°＝（　A　）
A. B.
C. D.
A
2. 求值： cos 47° cos 13°－ sin 47° sin 13°＝（　B　）
A. B. C. － D. －
3. 若△ABC的内角A满足若 sin 2A＝ ，则 sin A＋ cos A＝（　A　）
A. B. － C. D. －
B
A
4. 已知tan α＝3，则tan 2α＝（　D　）
A. B. C. － D. －
5. 求值： ＝（　A　）
A. B. － C. － D.
D
A
6. 已知 cos α＝－ ，α∈ ，则tan ＝（　A　）
A. B. 3 C. －3 D. －
7. 在△ABC中，若 sin A cos B＝1－ cos A sin B，则△ABC是（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
8. 若0＜β＜α＜ ，且 cos （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝ ，则 cos 2α＝（　C　）
A. B. － C. D. 或－
A
B
C
二、填空题
9. sin 15° cos 75°＋ cos 15° sin 75°＝ .
10. 已知 cos α＝ ，α是第一象限角， sin 2α＝ 　 　.
11. 已知 sin （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝ ，则 ＝ 　 　.
12. 已知 ＝2，则tan（θ－3π）＝ .
1


2
三、解答题
13. 已知 sin α＝ ，α是第二象限角.求 sin 2α， cos 2α，tan 2α的值.
解：因为 sin α＝ ，且α是第二象限角，
所以 cos α＝－ ＝－ .
所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝－ ；
cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×2＝ ；
tan 2α＝ ＝－ .
14. 化简： .
解： ＝ ＝ ＝tan θ.
15. 已知tan ＝ .
（1）求tan θ的值；
解：（1）因为tan ＝ ，所以 ＝ ，解得tan θ＝－ .
（2）若θ为钝角，求 cos θ的值.
解：（2）因为
解得 或
又因为θ为钝角，所以 cos θ＝－ .
递进考题＞
一、单项选择题
1. 函数y＝ sin x＋ cos x的最大值是（　B　）
A. 2 B. C. 1 D.
【解析】因为y＝ sin x＋ cos x＝ ＝ sin ，所以当 sin ＝1时，该函
数取最大值 .
B
2. 函数y＝2 sin x cos x＋1的最小值是（　D　）
A. 3 B. －1 C. 1 D. 0
【解析】因为函数y＝2 sin x cos x＋1＝ sin 2x＋1，所以当 sin 2x＝－1时，函数取最小值0.
D
3. 已知函数f（x）＝ cos （π－x）－ cos ，则函数f（x）的最小正周期为（　D　）
A. B. C. π D. 2π
【解析】f ＝ cos － cos ＝－ cos x－ sin x＝－ sin ，所以T＝ ＝2π.
D
4. 已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，且α，β为锐角，则 sin β的值是（　A　）
A. B. C. D. －
【解析】∵α，β为锐角， cos α＝ ，∴ sin α＝ ＝ ，又 cos （α＋β）＝ ，∴ sin （α＋β）＝ ，
∴ sin β＝ sin ［（α＋β）－α］＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ .
A
5. 如图所示，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝（　B　）
A. B. C. D.
【解析】由题意及图得tan α＝ ，tan β＝ ，
∴tan（α＋β）＝ ＝ ＝1.
∵α∈ ，β∈ ，∴α＋β＝ .
B
6. 化简： ＝（　B　）
A. tan2α B. tan α C. cos 2α D. cos 2α
【解析】 ＝ ＝ ＝tan α.
7. 已知tan α＝2，则 cos 2α＝（　A　）
A. － B. － C. D.
【解析】因为tan α＝2，所以 cos 2α＝ cos 2α－ sin 2α＝ ＝ ＝ ＝－ .
B
A
8. 若 sin ＝ ，则 sin 2α＝（　C　）
A. － B. － C. D.
【解析】 sin 2α＝ cos ＝ cos ［2× ＝1－2 sin 2 ＝1－2×2＝ .
C
二、填空题
9. 已知tan（α＋β）＝ ，tan ＝ ，则tan ＝ 　 　.
【解析】tan ＝tan ＝ ＝ ＝ .
10. 求值： cos 15°－ sin 15°＝ 　 　.
【解析】 cos 15°－ sin 15°＝ sin 60° cos 15°－ cos 60° sin 15°＝ sin 45°＝ .


11. 函数f（x）＝ sin 2x－2 sin 2x的最小正周期是 .
【解析】因为f（x）＝ sin 2x－2 sin 2x＝ sin 2x＋ cos 2x－1＝2 sin －1，所以T＝ ＝ ＝π.
12. 已知 sin α＝ ， cos β＝ ，且α，β∈ ，则tan（α＋β）＝ .
【解析】∵ sin α＝ ， cos β＝ ，且α，β∈ ，∴ cos α＝ ， sin β＝ ，∴tan α＝ ，tan β＝
，tan（α＋β）＝ ＝1.
π
1
三、解答题
13. 已知α，β均为锐角，且 sin α－ sin β＝ ， cos α－ cos β＝ .求 cos （α－β）的值.
解：因为 sin α－ sin β＝ ， cos α－ cos β＝ ，所以（ sin α－ sin β）2＝ ，（ cos α－ cos β）2＝ ，即
所以两式相加得2－2 cos （α－β）＝ ，
解得 cos （α－β）＝ .
14. 已知 ＝2，求tan θ的值.
解：由题意得， ＝ ＝tan ＝2，
∴tan θ＝ ＝ ＝－ .
15. 已知函数f（x）＝ sin x cos x－ sin 2x，x∈R. 试求：
（1）该函数的最值以及取最值时x的集合；
解：f（x）＝ sin x cos x－ sin 2x＝ sin 2x＋ cos 2x－ ＝ sin － .
（1）当2x＋ ＝2kπ＋ ，即x＝kπ＋ （k∈Z）时，ymax＝ － .
所以函数取最大值时x的集合为 .
当2x＋ ＝2kπ－ ，即x＝kπ－ （k∈Z）时，ymin＝－ － .
所以函数取最小值时x的集合为 .
（2）该函数的单调区间.
解：f（x）＝ sin x cos x－ sin 2x＝ sin 2x＋ cos 2x－ ＝ sin － .
（2）当2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，
即kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）时，该函数为增函数，
单调递增区间为 （k∈Z）.
当2kπ＋ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，
即kπ＋ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）时，该函数为减函数，
单调递减区间为 （k∈Z）.

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