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BY YUSHEN
第五章　三角函数
第五讲　解三角形
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.正弦定理：在一个三角形中，各边与其所对角的正弦之比相等.
　　即在任意△ABC中，都有 ＝ ＝ .
　　2. 正弦定理可以解决下列两类问题：
　　（1）已知三角形的两边和其中一边所对的角，求其他两角和另一条边；
　　（2）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和另一个角.
　　3.正弦定理的变式：设 ＝ ＝ ＝k，则有
　　（1）a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C；
　　（2）a∶b∶c＝ sin A∶ sin B∶ sin C.
　　4. △ABC中有关结论：①∠A＋∠B＋∠C＝180°；② sin （A＋B）＝
sin C； cos （A＋B）＝－ cos C；　
　　③ sin ＝ cos ； cos ＝ sin ；④若a＞b，则∠A＞∠B（即大边
对大角）；
　　⑤三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
好题解析＞
　　例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝60°，∠B＝
45°，a＝3 ，则b＝（　　 ）
A. 4 B. 2 C. D.
　　【参考答案】由正弦定理 ＝ ，可得b＝ ＝ ＝2 .故选B.
　　例2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝120°，b＝ ，a＝
3，则∠B＝（　　 ）
A. 45° B. 135° C. 45°或135° D. 15°或45°
　　【参考答案】由正弦定理 ＝ ，可得 sin B＝ ＝ ＝ .因为b＜a，所以0°＜∠B＜
120°，所以∠B＝45°.故选A.
对点检测1＞
　　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A＝30°，a＝1，b＝ ，
则∠B＝（　D　）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
【解析】由正弦定理 ＝ 可得 sin B＝ ＝ ，因为b＞a，所以30°＜∠B＜180°，因此∠B
＝60°或120°.
D
　　1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它
们夹角的余弦乘积的两倍.即在任意△ABC中，都有a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2
＝a2＋c2－2ac cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C.
　　特别地，当∠C＝90°时，有c2＝a2＋b2，即勾股定理是余弦定理的特例.
　　2.余弦定理的变形：
　　 cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ .
　　3. 利用余弦定理可以解决下列两类问题：
　　（1）已知三角形的两边及其夹角，求第三边和其他两角；
　　（2）已知三角形的三边，求三个角.
好题解析＞
　　例3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A
＝（　　 ）
A. B. C. 或 D.
　　【参考答案】由余弦定理可得 cos A＝ ＝－ ，可得∠A＝ .故选B.
　　例4　在△ABC中，若 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC为（　　 ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
　　【参考答案】由 sin A∶ sin B∶ sin C＝2∶3∶4可得a∶b∶c＝2∶3∶4，可得∠C是△ABC最大内角. cos C＝ ＝－ ＜0，所以∠C为钝角.故选C.
对点检测2＞
　　（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠B＝60°，a＝2，c
＝1，则b＝（　A　）
A. B. 3 C. D. 7
【解析】由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋1－2×2×1× ＝3，所以b＝ .
A
　　（2）在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠C＝60°，b＝
3，c＝ ，则a＝（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2
【解析】由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C得7＝a2＋9－3a，即a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.
D
　　三角形面积公式：
　　（1）三角形的面积等于它的任意一边与这边上的高乘积的一半，即S＝
ah；
　　（2）三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正弦乘积的一半.
　　即在△ABC中，S△ABC＝ bc sin A＝ ac sin B＝ ab sin C.
好题解析＞
　　例5　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝6，∠B＝120°，
∠C＝30°，则△ABC的面积为（　　 ）
A. B. 3 C. 6 D. 9
　　【参考答案】由三角形内角和等于180°可知：∠A＝180°－∠B－∠C＝30°，所以c＝a＝6，所
以S＝ ac sin B＝ ×6×6× ＝9 .故选D.
　　例6　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝3 ， cos C＝ ，
S△ABC＝4 ，则b＝（　　 ）
A. B. 2 C. 3 D. 6
　　【参考答案】由 cos C＝ ，∠C∈（0，π）可知： sin C＝ ＝ ，S△ABC＝ ab sin C＝
×3 × b＝4 ，得b＝2 .故选B.
对点检测3＞
　　在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则
S△ABC＝（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】由余弦定理得 cos C＝ ＝－ ，因为0°＜∠C＜180°，所以 sin C＝ ＝
，因此S△ABC＝ ab sin C＝ ×4×5× ＝4 .
C
　　1.根据三角形中已知边角的关系式判断三角形的形状.
　　2. 利用正、余弦定理解决实际问题中的测量与计算问题.
　　3.实际中的常用角
　　（1）仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角中，目
标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角，如图
所示.
　　（2）方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平
夹角叫做方位角.如B点的方位角为α，如图所示.
　　（3）方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角叫做方向角，如
南偏东30°，北偏西45°等.
　　（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值叫做坡度.
好题解析＞
　　例7　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 cos 2 ＝ ，则△ABC为
（　　 ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
　　【参考答案】因为 cos 2 ＝ ，所以 ＝ ，即 cos B＝ .由余弦定理可知 ＝
，化简整理得c2＝a2＋b2，即△ABC为直角三角形.故选B.
　　例8　如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸 B，C的俯角分别为75°，30°，若
河流的宽度BC为60 m，则此时气球的高度为（　　 ）
A. 15（ ＋1） m
B. 15（ －1） m
C. 30（ －1） m
D. 30（ ＋1） m
　　【参考答案】在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°，BC＝60 m，则∠ABC＝
180°－45°－30°＝105°. sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ .由正弦定理可知 ＝
，所以AC＝ ＝30（ ＋1），所以气球的高度为AC sin ∠ACB＝30（ ＋1）× ＝
15（ ＋1）m.故选A.
对点检测4＞
　　已知A，B两地间的距离为5 km，B，C两地间的距离为10 km，现测得∠ABC＝120°，
则A，C两地间的距离为（　A　）
A. 5 km B. 5 km C. 5 km D. 5 km
【解析】由余弦定理得AC2＝25＋100－2×5×10× cos 120°＝175，所以AC＝5 km.
A
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
一、单项选择题
1. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝ ，∠B＝ ，a＝4，则b
＝（　B　）
A. 1 B. 2 C. 2 D.
2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝5，∠A＝120°，则
a＝（　A　）
A. 7 B. C. 49 D. 19
B
A
基础考题＞
3. 在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC为（　D　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
4. 在△ABC中，已知a＝3，b＝ ，c＝2，则∠B＝（　C　）
A. B. C. D.
D
C
5. 在△ABC中，若2 sin A cos B＝ sin C，则△ABC一定是（　B　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
6. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝2a，π－∠A＝2∠B，则 cos
B＝（　C　）
A. B. C. D.
B
C
7. 某学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米
的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为60°和30°，则该圆柱状建筑
物的高度约为（　B　）
A. 60米 B. 60 米 C. 30米 D. 30 米
8. 在△ABC中，若AB＝ ，AC＝1，tan A＝ ，则△ABC的面积为（　B　）
A. B. C. D.
B
B
二、填空题
9. 在△ABC中，若S△ABC＝4，b＝8，∠A＝30°，则c＝ .
10. 在△ABC中，若b＝2，∠A＝120°，S△ABC＝ ，则三角形外接圆的半径为 .
11. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan A＝1，a＝2，c＝2 ，则
△ABC的形状是 .
12. 在△ABC中，已知 sin 2B＋ sin 2C＝ sin 2A＋ sin B sin C，则∠A＝ .
2
2
等腰直角三角形

三、解答题
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a∶b∶c＝3∶5∶7，求最大角的度数.
解：在△ABC中，因为a∶b∶c＝3∶5∶7，所以设三条边分别为3x，5x，7x，且c最大.所以最大角的余弦值 cos C＝ ＝ ＝－ ，因为0°＜∠C＜180°，所以∠C＝120°.
14. 已知在△ABC中，a＝3，b＝2，∠A＝60°.
（1）求 sin B的值；
解：（1）在△ABC中，由正弦定理 ＝ ，可得 ＝ ，解得 sin B＝ .
（2）求c；
解：（2）由余弦定理 cos A＝ 可得 ＝ ，整理得c2－2c－5＝0，解得c＝1－ （舍
去）或c＝1＋ .
（3）求△ABC的面积.
解：（3）S＝ bc sin A＝ ×2× × ＝ .
15. 已知在△ABC中，若 ＝ ， sin C＝2 sin B，其中内角A，B，C的对边分别为a，
b，c，求tan 2A的值.
解：因为 sin C＝2 sin B，可知c＝2 b，c2＝12b2.
又 ＝ ，即a2＝b2＋ bc＝7b2，由余弦定理可知 cos A＝ ＝ ＝ ，所以
∠A＝30°，故tan 2A＝tan 60°＝ .
递进考题＞
一、单项选择题
1. 在△ABC中，已知b＝12，c＝13， cos A＝ ，则a＝（　D　）
A. 13 B. 12 C. 10 D. 5
【解析】因为b＝12，c＝13， cos A＝ ，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25，即a＝5.
D
2. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝ ，∠A＝60°，则c＝
（　A　）
A. 2 sin C B. 2 sin B C. sin C D. sin B
【解析】由正弦定理 ＝ ，可得 ＝ ，所以c＝2 sin C.
A
3. 在△ABC中，若 ＝ ，则△ABC为（　A　）
A. 等腰三角形或直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
【解析】由 ＝ ，可得a cos A＝b cos B，则由正弦定理可得， sin A cos A＝ sin B cos B，所以 sin 2A
＝ sin 2B，所以有2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝180°，所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝90°，所以
△ABC为等腰三角形或直角三角形.
A
4. 在△ABC中，若a＝3，b＝6，c＝7，则△ABC的形状为（　A　）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 无法确定
【解析】在△ABC中，因为a＝3，b＝6，c＝7，则c最大，所以 cos C＝ ＝ ＝－ ＜
0.则∠C为钝角，故△ABC为钝角三角形.
A
5. 在△ABC中，已知 sin A∶ sin B∶ sin C＝1∶1∶ ，则此三角形的最大角的度数是（　B　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
【解析】在△ABC中，∵ sin A∶ sin B∶ sin C＝1∶1∶ ，∴a∶b∶c＝1∶1∶ ，
∴∠C最大且∠C＝90°.
B
6. 在△ABC中， cos B＝ ，b＝2， sin C＝2 sin A，则△ABC的面积等于（　D　）
A. B. C. D.
【解析】在△ABC中， cos B＝ ，b＝2， sin C＝2 sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2
＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－2a 2a ＝4a2＝4，解得a＝1，则c＝2；所以△ABC的面积S＝ ac sin B
＝ ×1×2× ＝ .
D
7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2 ， cos A＝ ，
且b＜c，则b＝（　A　）
A. 2 B. 2 C. 3 D.
【解析】∵ cos A＝ ，∴ sin A＝ ，即∠A＝30°.又∵ ＝ ，即 ＝ ，解得 sin C＝ .又∵b
＜c，∴∠C＝120°，∴∠B＝30°，∴b＝2.
A
8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2＋c2，则∠A的
取值范围是（　C　）
A. B. C. D.
【解析】因为a2＜b2＋c2，所以 cos A＝ ＞0，又因为a＞b＞c，所以∠A为锐角且为最大角，
所以∠A的取值范围是 .
C
二、填空题
9. 若△ABC的面积为 ，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度为 .
【解析】根据正弦定理有S△ABC＝ BC AC sin C，所以AC＝ ＝2.再由余弦定理可得AB＝
＝2.
2
10. 在△ABC中，若 sin A， sin B， sin C成公比为 的等比数列，则 cos B＝ 　 　.
【解析】因为 sin A， sin B， sin C成公比为 的等比数列，即 sin B＝ sin A， sin C＝2 sin A，由正
弦定理可知b＝ a，c＝2a，所以 cos B＝ ＝ ＝ .

11. 已知△ABC的面积为3，且 ＝6，则∠B＝ .
【解析】S△ABC＝ sin B＝3，即 sin B＝6， ＝ cos ＝6，即
cos B＝－6，两式相除得tan B＝－1，又∵∠B∈ ，故∠B＝ .

12. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2， cos C＝－ ，3 sin A＝2
sin B，则c＝ .　　
【解析】在△ABC中，∵3 sin A＝2 sin B，∴3a＝2b.又∵a＝2，∴b＝3.又∵ cos C＝－ ，∴c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16，故c＝4.
4
三、解答题
13. 在△ABC中，若a cos B＝b cos A，试判断△ABC的形状.
解：在△ABC中，因为a cos B＝b cos A，由正弦定理可得 sin A cos B＝ sin B cos A.
即 sin A cos B－ cos A sin B＝0，所以 sin （A－B）＝0.
所以∠A＝∠B，故△ABC为等腰三角形.
14. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＋c2＝a2＋bc.
（1）求∠A的大小；
解：（1）因为b2＋c2＝a2＋bc，所以 cos A＝ ＝ ＝ ，即∠A＝ .
（2）若2 sin 2 ＋2 sin 2 ＝1，试判断△ABC的形状.
解：（2）因为2 sin 2 ＋2 sin 2 ＝1－ cos B＋1－ cos C＝1，所以 cos B＋ cos C＝1，则 cos B＋ cos
＝1，化简整理得 sin ＝1，故∠B＝ ，
所以△ABC为正三角形.
15. 如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A（ －1）n mile的B处有一艘走私船，
在A处北偏西75°方向，距A处2n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私
船.此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，缉私船沿什么方向能最快
追上走私船？求出所需要的时间.（注： ≈2.449）
解：设览私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获（在D点）走私船，则有CD＝10 t，BD＝10t.
在△ABC中，∵AB＝ －1，AC＝2 ，∠BAC＝45°＋75°＝120°，
根据余弦定理，可得BC＝ ＝ .
根据正弦定理，可得 sin ∠ABC＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，根据正弦定理，可得
sin ∠BCD＝ ＝ ＝ ，
∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ ，
则有10t＝ ，t＝ h＝0.244 9 h
故走私船沿北偏东60°方向，需0.244 9 h才能追上走私船.
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试） cos 2 － sin 2 ＝（　C　）
A. － B. － C. D.
【解析】 cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ cos ＝ .
C
2. （2025 安徽文化素质分类考试）在单位圆中，120°的圆心角所对的弧长为（　B　）
A. B. C. π D.
【解析】单位圆的半径R＝1，弧长公式为l＝θR. 先将120°化为弧度：120°＝ ，代入公式得弧长l＝
×1＝ .
B
3. （2025 安徽文化素质分类考试）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x
轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 cos α＝（　D　）
A. B. － C. D. －
【解析】由 cos α＝ ＝ 得 cos α＝－ .
D
4. （2025 安徽文化素质分类考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a
＝2 ，b＝2，∠A＝ ，则△ABC的面积为（　C　）
A. 4 B. 3 C. 2 D.
【解析】由正弦定理 ＝ 得 ＝ ，解得 sin B＝ ，即∠B＝ ，所以∠C＝π－∠A－∠B＝
π－ － ＝ ，所以S△ABC＝ ab sin C＝ ×2 ×2×1＝2 .
C
5. （2025 安徽文化素质分类考试）已知函数f（x）＝2 sin （ω＞0）的最小正周期为
π，为了得到函数y＝2 sin ωx的图像，只需将y＝f（x）的图像（　C　）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【解析】因为函数的最小正周期T＝π，由T＝ 得ω＝2，所以f（x）＝2 sin ，则y＝2 sin ωx
＝2 sin 2x＝2 sin ，所以要得到函数y＝2 sin 2x的图像，只需将函数y＝f（x）＝2 sin
的图像向右平移 个单位长度.
C
6. （2024 安徽文化素质分类考试）若 cos α＝ ，则 cos 2α＝（　C　）
A. － B. C. － D.
【解析】由二倍角公式可得： cos 2α＝2 cos 2α－1＝－ .
C
7. （2024 安徽文化素质分类考试）已知函数y＝2 sin ，关于此函数下列结论正确的是
（　A　）
A. 最小正周期为 B. 振幅为4
C. 初相为 D. 频率为
【解析】函数y＝2 sin 的最小正周期T＝ ＝ ，频率f＝ ＝ ，所以A选项正确，D选项错
误；该函数的振幅A＝2，所以B选项错误；该函数的初相φ＝ ，所以C选项错误.
A
8. （2024 安徽文化素质分类考试）已知α∈ ， sin α＝－ ，则tan α＝（　A　）
A. － B. － C. D.
【解析】由 sin 2α＋ cos 2α＝1，可得 cos 2α＝1－ sin 2α＝ ；又因为α∈ ，所以 cos α＞0，即 cos
α＝ ，则tan α＝ ＝－ .
A
9. （2024 安徽文化素质分类考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝
，b＝2，∠A＝60°，则c＝（　B　）
A. 2 B. 3
C. 1 D.
【解析】由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1（舍去）.
B
10. （2024 安徽文化素质分类考试）若α是第二象限角，则π＋α是（　D　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】因为α是第二象限角，所以 ＋2kπ＜α＜π＋2kπ（k∈Z），所以 ＋2kπ＜π＋α＜2π＋2kπ
（k∈Z），所以π＋α是第四象限角.
D
11. （2024 安徽文化素质分类考试） sin 20° cos 10°＋ cos 20° sin 170°＝ （　D　）
A. － B. C. － D.
【解析】由诱导公式可知 sin 170°＝ sin （180°－10°）＝ sin 10°，所以原式可化为 sin 20° cos 10°＋
cos 20° sin 10°＝ sin （20°＋10°）＝ sin 30°＝ .
D
12. （2023 安徽文化素质分类考试） cos ＝（　A　）
A. B. － C. D. －
【解析】由诱导公式可知 cos ＝ cos ＝ .
13. （2023 安徽文化素质分类考试） sin θ cos θ＝（　D　）
A. cos 2θ B. sin 2θ C. cos 2θ D. sin 2θ
【解析】由二倍角公式可知： sin θ cos θ＝ ×2 sin θ cos θ＝ sin 2θ.
A
D
14. （2023 安徽文化素质分类考试）角2 023°的终边在（　C　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】2 023°＝5×360°＋223°，180°＜223°＜270°，根据终边相同角可知角2 023°的终边在第三
象限.
C
15. （2023 安徽文化素质分类考试）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若
a2＋c2－b2＝ ac，则∠B＝（　B　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 135°
【解析】由余弦定理可知 cos B＝ ＝ ，所以∠B＝45°.
16. （2023 安徽文化素质分类考试）若tan α＝3，则 ＝（　C　）
A. 3 B. C. －3 D. －
【解析】由诱导公式可知 ＝ ＝－tan α＝－3.
B
C
17. （2023 安徽文化素质分类考试）函数f（x）＝ sin x－ cos x（x∈R）的最小正周期为
（　C　）
A. B. π C. 2π D. 4π
【解析】f（x）＝ sin x－ cos x＝ ＝ sin ，所以原函数的最小正周期
为T＝ ＝2π.
C

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