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BY YUSHEN
　第三章　函数
第一讲　函数的概念、表示法和性质
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题
本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在3～4道，其中1题难度较高.需要了解函数的概念，会求简单函数的定义域；了解分段函数的概念，并能简单应用；掌握函数奇偶性的判断；理解函
数的单调性、最大值和最小值；掌握函数奇偶性和单调性的简单应用.本章难点是奇偶性和单调性的综合应用. 2023年 2024年 2025年
第2题 第22题 第30题 第2题 第15题 第29题 第2题
第6题
第17题
分值
12分 12分 12分
3
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一般地，设D是非空实数集，对于D中的每一个x，按照某个确定的对应
法则f，都有唯一确定的实数y与它对应，那么就称y为x的函数，记作y＝f
（x），x∈D. 其中，x称为自变量.
　　2. 定义域：自变量x的取值范围构成的集合，记为D.
　　3.函数值：当x0∈D时，与x0相对应的值y0称为函数在点x0处的函数值，记
作y0＝f（x0）.
　　4. 值域：函数值的集合 称为函数的值域.
　　5. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则.
好题解析＞
　　例1　下列各组函数中，属于同一个函数的是（　　）
A. f（x）＝lg x2与g（x）＝2lg x
B. f（x）＝ 与g（x）＝
C. f（x）＝x2与g（x）＝
D. f（x）＝1与g（x）＝x0
　　【参考答案】定义域相同，对应法则相同是判断两个函数是同一函数的依据.A，C，D选项中的两个函
数定义域不同；B选项中的两个函数定义域相同，对应法则也相同.故选B.
　　例2　下列平面直角坐标系中图像，可以表示函数图像的是（　　）
A. B.
C. D.
　　【参考答案】因为函数是任意一个自变量x有且只有唯一一个因变量y与之对应，所以只有D符合题
意.故选D.
对点检测1＞
　　下列与函数y＝x表示相同函数的是（　D　）
A. y＝ B. y＝
C. y＝2 D. y＝
【解析】y＝x的定义域和值域为R. 选项A，y＝ ＝ ≥0，定义域为R，值域为［0，＋∞），不合
题意；选项B，定义域为 ，不合题意；选项C，定义域为［0，＋∞），不合题意；选项D，定义
域和值域为R，符合题意.
D
　　判断两个函数是否为同一函数，只有它们的定义域和对应法则都相同，
两个函数才表示同一函数.
好题解析＞
　　例3　函数f（x）＝ 的定义域为（　　）
A. {x｜x≥－2且x≠1}
B. {x｜x≥－2}
C. {x｜x≥－2或x≠1}
D. {x｜x≠1}
　　【参考答案】由 得x≥－2且x≠1，∴函数f（x）＝ 的定义域为{x｜x≥－2且
x≠1}.故选A.
　　例4　已知函数f（x）的定义域为［0，1］，则函数f（2x－1）的定义域为（　　）
A. B. （－1，1）
C. D. ［－1，1］
　　【参考答案】由题意可得0≤2x－1≤1，解得 ≤x≤1.故选C.
对点检测2＞
　　函数y＝ ＋x0的定义域为（　C　）
A. （－1，＋∞）
B. ［－1，＋∞）
C. ［－1，0） （0，＋∞）
D. （－1，0） （0，＋∞）
【解析】由题意得 解得x≥－1且x≠0.
C
　　函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围.求函数定义域时一般应注意以下几点：
　　（1）函数解析式中含有分母，则分母≠0；
　　（2）函数解析式中含有偶次根式，则被开方数≥0；
　　（3）函数解析式中含有对数，则真数＞0；
　　（4）函数解析式中含有0次幂，则底数≠0；
　　（5）实际问题中构造的函数解析式要根据实际情形确定取值范围.
好题解析＞
　　例5　已知函数f（x）＝ 则f ＝（　　 ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
　　【参考答案】由题意可得，f（－1）＝－（－1）＋1＝2，则f［f（－1）］＝f（2）＝5.故选D.
　　例6　当－1≤x≤3时，二次函数y＝x2－3x＋m的最大值为5，则m＝（　　 ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
　　【参考答案】因为二次函数y＝x2－3x＋m＝2＋m－ ，所以该函数开口向上，对称轴为直
线x＝ .因为当－1≤x≤3时，二次函数y＝x2－3x＋m的最大值为5，所以当x＝－1时，该函数取最大
值，此时1＋3＋m＝5，解得m＝1.故选C.
对点检测3＞
　　（1）已知函数f（x）＝ 则f（－1）＋f（1）＝（　D　）
A. 1 B. 4 C. 3 D. 5
【解析】由题意可得f（－1）＝－1＋2＝1，f（1）＝21＋1＝22＝4，∴f（－1）＋f（1）＝1＋4＝5.
D
　　（2）函数y＝ 的值域是（　D　）
A. R B.
C. D.
D
　　（3）已知函数f（x）＝x2－4x，x∈［1，5］，则函数f（x）的值域是（　C　）
A. ［－4，＋∞）
B. ［－3，5］
C. ［－4，5］
D. （－4，5］
【解析】f（x）＝x2－4x的对称轴为直线x＝2，图像开口向上.当x∈［1，5］时，f（x）的最小值为f
（2）＝4－8＝－4，f（x）的最大值为f（5）＝25－20＝5，所以f（x）的值域是［－4，5］.
C
　　求二次函数值域的基本思路：
　　（1）分析二次函数的对称轴和开口方向；
　　（2）分析x在指定范围内函数图像的变化趋势，求出最值，进而得出函数
的值域.
　　1.函数的表示方法：解析法、列表法、图像法.
　　（1）利用解析式表示函数的方法叫做解析法，解析法要注意自变量的取值
范围.
　　（1）通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表示函数的方法叫做
列表法.
　　（2）利用图像来表示函数的方法叫做图像法.函数的图像是由满足函数解析
式的所有点组成的集合.
好题解析＞
　　例7　某校实行凭证入校，凡是不带出入证者一律不准进入校园，某学生早上上学，早上他
骑自行车从家里出发离开家不久，发现出入证忘在家里了，于是回到家取上出入证，然后改为乘
坐出租车以更快的速度赶往学校，令x（单位：分钟）表示离开家的时间，y（单位：千米）表
示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取出入证的时间忽略不计，下列图像中与上述事件吻合
最好的是（　　）
　　【参考答案】中途回家取证件，因此中间会回到起点，排除A，B，第二次离开家速度更快，函数表示
的直线的斜率更大，只有D满足.故选D.
　　例8　一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y
与x的函数关系式为（　　）
A. y＝ B. y＝ C. y＝ D. y＝
　　【参考答案】由梯形面积公式有100＝ ，解得y＝ （x＞0）.故选C.
对点检测4＞
　　函数f（x）＝｜x－1｜＋1的部分图像大致是（　A　）
【解析】函数f（x）＝｜x－1｜＋1的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），且在（－∞，1）单调递
减，在（1，＋∞）单调递增，结合选项可知，选项A符合题意.
A
　　1.函数的单调性：函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质.
增函数 减函数
定义 x1，x2的
关系 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I D，如果
对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时
f（x1）
与f（x2）的关系 都有f（x1）＜f（x2） 都有f（x1）＞f（x2）
结论 函数f（x）在区间I上是增
函数 函数f（x）在区间I上是减
函数
增函数 减函数
图像描述 自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
　　2.几种常见函数的单调性
　　（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）：当k＞0时，函数在（－∞，＋∞）上
为增函数；当k＜0时，函数在（－∞，＋∞）上为减函数.
　　（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）：当a＞0时，函数在
上为减函数，在 上为增函数；当a＜0时，函数在 上
为增函数，在 上为减函数.
　　（3）反比例函数y＝ （k≠0）：当k＞0时，函数在（－∞，0），（0，
＋∞）上为减函数；当k＜0时，函数在（－∞，0），（0，＋∞）上为增函数.
好题解析＞
　　例9　下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A. f（x）＝－x＋1
B. f（x）＝
C. f（x）＝x2
D. f（x）＝－x2
　　【参考答案】由基本初等函数的性质可知，二次函数f（x）＝x2在（0，＋∞）上单调递增.故选C.
　　例10　已知函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（4a）＞f（a2＋4），则a的取值范
围是（　　）
A. （－∞，－2） （2，＋∞）
B. （－∞，2） （2，＋∞）
C. {2}
D.
　　【参考答案】由题意知函数f（x）是定义在R上的减函数，且f（4a）＞f（a2＋4），所以4a＜a2
＋4，即（a－2）2＞0，解得a≠2.故选B.
对点检测5＞
　　（1）下列函数在定义域上为增函数的是（　A　）
A. y＝x－1 B. y＝x2－1 C. y＝－x＋2 D. y＝－
【解析】选项A，C都是一次函数，其中选项C在定义域上为减函数；选项B是二次函数，在定义域上有增
有减；选项D的定义域为 ，在 ， 上分别是增函数.
A
　　（2）函数f（x）＝x2－2x的单调递增区间为（　B　）
A. （－∞，1］
B. ［1，＋∞）
C. （－∞，－1］
D. ［－1，＋∞）
【解析】f（x）＝x2－2x的图像开口向上，对称轴为直线x＝1，所以函数的单调递增区间为［1，＋
∞）.
B
　　（3）若函数y＝f（x）在R上单调递增，且f（2m－3）＞f（－m），则实数m的取值
范围是（　C　）
A. （－∞，－1）
B. （－1，＋∞）
C. （1，＋∞）
D. （－∞，1）
【解析】因为函数y＝f（x）在R上单调递增，且f（2m－3）＞f（－m），所以2m－3＞－m，解得
m＞1.
C
　　（4）若函数f（x）＝2x2＋（k－4）x＋3在区间（－∞，3］上单调递减，则实数k的取
值范围是（　D　）
A. （－∞，－8）
B. ［－8，＋∞）
C. （－8，＋∞）
D. （－∞，－8］
【解析】函数f（x）＝2x2＋（k－4）x＋3的图像开口向上，对称轴为直线x＝ ，即函数的单调递减
区间为 ，根据题意可得，（－∞，3］ ，所以 ≥3 k≤－8.
D
　　函数单调性的等价结论：对任意x1，x2∈D（x1≠x2）
　　（1） ＞0（或（x1－x2）［f（x1）－f（x2）］＞0）
f 在D上单调递增；
　　（2） ＜0（或（x1－x2）［f（x1）－f（x2）］＜0）
f 在D上单调递减.
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果任意x∈D，都有－
x∈D
且f（－x）＝f（x），那么函
数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝－f（x），那么
函数f（x）就叫做奇函数
图像特征 关于y轴对称 关于原点对称
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
　　1. 在奇函数中，若0∈D，则有f（0）＝0.
　　2. 奇偶性的判断：定义法、图像法.
　　3. 几种常见函数的奇偶性
　　（1）一次函数y＝kx＋b（k≠0）：当b＝0时，函数为奇函数；当b≠0
时，函数为非奇非偶函数.
　　（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）：当b＝0时，函数为偶函数；当
b≠0时，函数为非奇非偶函数.
　　（3）反比例函数y＝ （k≠0）：奇函数.
好题解析＞
　　例11　下列函数中为偶函数的是（　　 ）
A. f（x）＝ B. f（x）＝
C. f（x）＝ ＋ D. f（x）＝x＋
　　【参考答案】选项A中，函数定义域是（－∞，1） （1，＋∞），函数没有奇偶性；选项B中，函数
定义域是（－∞，＋∞），f（－x）＝ ＝ ＝f（x），是偶函数；选项C中，函数定义城
是 ，函数没有奇偶性；选项D中，函数定义域是（－∞，0） （0，＋∞），f（－x）＝－x＋ ＝
－ ＝－f（x），函数是奇函数.故选B.
　　例12　若函数f（x）＝ 是定义在R上的奇函数，则a＝（　　 ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
　　【参考答案】由奇函数性质可知，f（0）＝ ＝0，解得a＝0.故选B.
　　例13　已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝x3－3x2，则f（－
1）＝（　　）
A. 2 B. －2 C. 3 D. －3
　　【参考答案】因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝x3－3x2，所以f（1）
＝－2，则f（－1）＝f（1）＝－2.故选B.
对点检测6＞
　　（1）若函数f（x）＝2x＋a－1（x∈R）为奇函数，则f（－1）＝（　D　）
A. 3 B. －3 C. 2 D. －2
【解析】f（x）＝2x＋a－1为奇函数，即f（0）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝2x，f（－1）＝－2.
D
　　（2）已知函数y＝f（x）在［0，＋∞）上单调递增且f（x）为偶函数，则不等式f（x
－1）＜f（5）的解集是（　A　）
A. （－4，6） B. （－∞，6）
C. （1，＋∞） D. （－∞，－4） （6，＋∞）
【解析】根据题意，得f（x－1）＜f（5） f（｜x－1｜）＜f（5），则｜x－1｜＜5，得－5＜x－1
＜5，解得－4＜x＜6，所以不等式的解集为（－4，6）.
A
　　（3）下列函数是奇函数的是（　B　）
A. y＝x2＋1 B. y＝ sin x C. y＝ cos x D. y＝x＋1
【解析】y＝1＋x2，y＝ cos x为偶函数，y＝ sin x为奇函数，y＝x＋1为非奇非偶函数.
B
4
【考题精选集萃】
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基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知函数y＝f 的图像如图所示，则f ＝（　C　）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
C
2. 函数f（x）＝－x3是（　A　）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不确定
3. 下列函数在区间（0，＋∞）内为增函数的是（　C　）
A. ＝－2 B. ＝ C. y＝ D. y＝－x＋1
A
C
4. 下列各组函数，表示同一个函数的是（　B　）
A. y＝ 与y＝x B. y＝ 与y＝
C. y＝｜x｜与y＝x D. y＝（ ）2与y＝x
5. 函数y＝ 的定义域是（　C　）
A. ［1，＋∞） B. ［－1，＋∞）
C. （1，＋∞） D. （－1，0）
B
C
6. 已知函数f 的定义域为 ，则f 的定义域为（　C　）
A. B. C. D.
7. 已知分段函数f（x）＝ 则f［f（1）］＝（　B　）
A. －2 B. 2 C. 0 D. 1
C
B
8. 如果奇函数f（x）在区间［3，7］上是增函数且最小值是5，那么f（x）在区间［－7，－
3］上是（　B　）
A. 增函数且最小值是－5 B. 增函数且最大值是－5
C. 减函数且最小值是－5 D. 减函数且最大值是－5
B
二、填空题
9. 函数f ＝ ＋ 的定义域为 　 　.
10. 若定义在区间［3－a，5］上的函数f（x）为奇函数，则a＝ .
11. 函数f（x）＝x2－2x＋3在区间［0，3］上的值域是 .
【解析】f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2，函数在区间［0，3］上先减后增，故y的取值范围为
［2，6］.

8
［2，6］
12. 若偶函数f（x）在区间［0，4］上是增函数，则f（－π）与f（3）的大小关系是
.
【解析】因为偶函数f（x）在区间［0，4］上是增函数，所以有f（3）＜f（π）＝f（－π）.
f（3）
＜f（－π）
三、解答题
13. 已知函数f（x）＝3x＋5，求f（2），f（－1），f（x＋1）的值.
解：f（2）＝3×2＋5＝11；
f（－1）＝3×（－1）＋5＝2；
f（x＋1）＝3（x＋1）＋5＝3x＋8.
14. 已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x＋1，求当x＜0时，f
（x）的解析式.
解：当x＜0时，－x＞0，∵y＝f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）＝f（－x）＝－x＋1.
15. 已知函数f（x）在R上是增函数，且f（2x＋3）＞f（x－5），求实数x的取值范围.
解：因为函数f（x）在R上是增函数，且f（2x＋3）＞f（x－5），所以2x＋3＞x－5，解得x＞－8.
所以实数x的取值范围是（－8，＋∞）.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）满足f（－1）＝f（3），则（　B　）
A. f（－1）＜f（1）＜f（4） B. f（1）＜f（－1）＜f（4）
C. f（4）＜f（1）＜f（－1） D. f（1）＜f（4）＜f（－1）
【解析】因为二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）满足f（－1）＝f（3），所以二次函数的开口向
上，并且对称轴为直线x＝1，所以离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大，故选B.
B
2. 设函数y＝f（x）在R上是增函数，且f（2a－1）＞f（a＋4），则实数a的取值范围是
（　D　）
A. （－∞，3） B. （－∞，5）
C. （3，＋∞） D. （5，＋∞）
【解析】因为函数y＝f（x）在R上是增函数，且f（2a－1）＞f（a＋4），所以2a－1＞a＋4，解得
a＞5.
3. 下列函数是奇函数的是（　C　）
A. y＝x2 B. y＝ ＋1 C. y＝－3x D. y＝x＋2
【解析】y＝x2为偶函数；y＝ ＋1为非奇非偶函数；y＝－3x为奇函数；y＝x＋2为非奇非偶函数.
D
C
4. 已知集合M＝ ，N＝ ，在下列四个图形中，能表示集合M到N
的函数关系的有（　B　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【解析】由图①可得定义域为 ，所以不能表示集合M到N的函数关系；由图②可得定义域为
，值域为 ，且满足一个x对应一个y的值，所以能表示集合M到N的函数关系；由图③可知任意x∈ ，一个x对应两个y的值，所以不能表示集合M到N的函数关系；由图④可知任意x∈ ，一个x对应两个y的值，所以不能表示集合M到N的函数关系.故选B.
B
5. 设函数f（x）＝ax3＋bx＋6，若f（－3）＝9，则f（3）＝ （　B　）
A. －3 B. 3 C. －9 D. 9
【解析】由f（x）＝ax3＋bx＋6得f（x）－6＝ax3＋bx，设g（x）＝f（x）－6＝ax3＋bx，则g
（－x）＝－g（x），则g（x）是奇函数，则g（3）＝－g（－3），即f（3）－6＝－［f（－3）－
6］＝－（9－6）＝－3，则f（3）＝－3＋6＝3.
B
6. 下列函数f 中，满足“任意x1，x2∈ ，且x1≠x2， ＜
0”的是（　A　）
A. f ＝ －x B. f ＝x3
C. f ＝ln x D. f ＝2x
【解析】“任意x1，x2∈ ，且x1≠x2， ［f ＜0”等价于函数在（0，＋
∞）为减函数，四个选项中，只有A选项符合.
A
7. 函数f（x）＝ ＋ 的定义域是（　C　）
A. （－∞，4） B. （－∞，4］
C. （－∞，－1） （－1，4］ D. （－∞，－1） （－1，4）
【解析】由函数式可得： 因此函数的定义域是（－∞，－1） （－1，4］.
C
8. 已知定义在R上的偶函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减的，且f（2x－5）＜f
（3），则x的取值范围是（　D　）
A. （－∞，4） B. （4，＋∞）
C. （1，4） D. （－∞，1） （4，＋∞）
【解析】因为f（x）在R上是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）在（－∞，0）上单调
递增，因为f（2x－5）＜f（3），所以｜2x－5｜＞3，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1） （4，
＋∞）.
D
二、填空题
9. 已知函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4］上是减函数，则实数a的取值范
围是 .　
【解析】函数的对称轴为直线x＝－ ＝1－a，由已知可知4≤1－a，即a≤－3.

10. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＝2x－3，则f（－2）＝ .
【解析】因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（－2）＝f（2）＝2×2－3＝1.
1
11. 已知函数f ＝x2－2x－1，若f ＝f ，则f（a＋b＋1）＝ .
【解析】二次函数f ＝x2－2x－1的对称轴为直线x＝1，因为f ＝f ，所以a＋b＝2，所以
f ＝f ＝32－2×3－1＝2.
12. 若函数f（x）＝（a－1）x2＋ax是偶函数，则函数f（x）的单调递增区间为 　 .
【解析】由题意得f（－x）＝（a－1）（－x）2＋a（－x）＝（a－1）x2－ax，因为f（x）是偶函
数，所以（a－1）x2＋ax＝（a－1）x2－ax，即2ax＝0，故a＝0，则原函数为f（x）＝－x2，则函
数f（x）的单调递增区间为（－∞，0）.
2

（－∞，0）
三、解答题
13. 已知定义在区间（－2，2）上的奇函数y＝f（x）是减函数，解关于a的不等式：f（1＋
a）＋f（1－a2）＜0.
解：因为函数y＝f（x）是奇函数，且f（1＋a）＋f（1－a2）＜0.
所以f（1＋a）＜－f（1－a2），即f（1＋a）＜f（a2－1）.　
又因为函数y＝f（x）是定义在区间（－2，2）上的减函数，所以 解得－1＜a＜1.
14. 若函数y＝ 的定义域是一切实数，求实数a的取值范围.
解：因为函数y＝ 的定义域是一切实数，所以不等式ax2－ax＋ ≥0的解集是R，故有
0＜a≤2，
故函数y＝ 的定义域是一切实数时，实数a的取值范围为（0，2］.
15. 已知函数g（x）是定义在区间［－2，2］上的偶函数，当x≥0时，g（x）单调递减.若g
（m＋1）＞g（m）成立，求实数m的取值范围.
解：由已知可得
故实数m的取值范围为 .

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