资源简介

(共53张PPT)
BY YUSHEN
　第三章　函数
第二讲　函数的简单应用
目录
考点知识梳理
01.
02.
考题精选集萃
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一次函数y＝kx＋b（k≠0），k＝tan α（α是直线的倾斜角），k叫做
直线的斜率，b是直线的截距.
　　2. 当k＞0时，函数y＝kx＋b在R上为增函数，当k＜0时，函数y＝kx＋b
在R上为减函数.
　　3. 一次函数模型：根据实际问题，建立自变量x和因变量y的函数模型，通
过待定系数法求解函数解析式，并确定自变量的取值范围.
好题解析＞
　　例1　实验表明，树在一定的成长阶段，其胸径（树的主干在地面以上1.3 m处的直径）越
大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y（m）是关于其胸径x（m）
的一次函数.已知当这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m；当这种树的胸径为0.28 m时，树高
为22 m.则y与x之间的函数解析式为（　　）
A. y＝25x＋15 B. y＝15x＋15
C. y＝15x＋25 D. y＝25x＋25
　　【参考答案】设函数为y＝kx＋b，则有 解得 故选A.
　　例2　若一次函数f（x）＝kx－1是R上的减函数，则f（2）的值可能为 （　　 ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
　　【参考答案】因为一次函数f（x）＝kx－1是R上的减函数，所以k＜0，所以f（2）＝2k－1＜－1.
故选D.
对点检测1＞
　　已知长方形的周长为8，长为x，宽为y，则y与x之间的函数解析式为（　B　）
A. y＝8－2x（0＜x＜4）
B. y＝4－x（0＜x＜4）
C. y＝x＋4（0＜x＜4）
D. y＝x－4（0＜x＜4）
【解析】根据题意，x＋y＝4 y＝4－x，x＞0，y＞0，即0＜x＜4.
B
　　1. 自变量在不同的取值范围内有不同的解析式，这样的函数叫做分段函数.
　　2. 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
　　3. 建立分段函数模型，即根据题意在自变量的每一个范围内确定相应的函
数解析式.
好题解析＞
　　例3　已知函数f ＝ 若f［f（－1）］＝4，且a＞－1，则a＝
（　　 ）
A. － B. 0 C. 1 D. 2
　　【参考答案】由题意知，f（－1）＝（－1）2＋a＝1＋a.因为a＞－1，所以1＋a＞0，所以f［f
（－1）］＝f（1＋a）＝21＋a＝4，即1＋a＝2，得a＝1.故选C.
　　例4　有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分
钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间
的关系如图所示，则y与x的函数解析式为（　　 ）
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
　　【参考答案】当0≤x＜10时，直线段过点O（0，0），A（10，20），设函数y＝k1x＋b1，则有
解得 所以y＝2x；当10≤x≤40时，直线段过点A（10，20），B（40，
30），设函数y＝k2x＋b2，则有 解得 所以y＝ x＋ ，故函数解析式为
y＝ 故选A.
对点检测2＞
　　已知甲、乙两个城市相距120 km，小王驾驶汽车以100 km/h的速度匀速从甲城市驶往乙城
市，到达乙城市后停留1 h，再以80 km/h的速度匀速返回甲城市.这辆汽车从甲城市出发至返回
到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式
为（　D　）
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
D
【解析】根据题意，解析式分三段.当0≤x≤1.2时，小王从甲城市到乙城市匀速行驶，y＝100x；当
1.2≤x≤2.2时，小王停留在乙城市，此时y＝120；当2.2＜x≤3.7时，小王从乙城市返回甲城市，此时y
＝120－（x－2.2）×80＝296－80x，综上，故选D.
　　1.形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
　　2. 表达形式
　　（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
　　（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）.
　　（3）两根式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
　　3.性质
　　（1）二次函数的图像是抛物线，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口
向下，a的大小决定抛物线的形状，｜a｜的值越大，抛物线的张口就越小.
　　（2）二次函数图像的顶点坐标为 或（h，k）或
；对称轴为直线x＝－ 或直线x＝h或直线x＝ .
以对称轴为界，当a＞0时，二次函数左减右增；当a＜0时，二次函数左增
右减.
　　（3）若a＞0，当x＝－ 时，二次函数有最小值ymin＝ ；若a＜0，
当x＝－ 时，二次函数有最大值ymax＝ .
　　4.二次函数模型：根据实际问题，建立自变量x和因变量y的函数模型，常
用于解决销售最大利润、抛物线最高点及几何体的最大面积等问题.
好题解析＞
　　例5　若函数f（x）＝ax2－（2－a）x＋1在区间 上为减函数，则a的取值范围
是（　　）
A. （0，1］ B. ［0，1）
C. ［0，1］ D. （0，1）
　　【参考答案】由题意，当a＝0时，可得f（x）＝－2x＋1，该函数在R上单调递减，满足题意；当a
＜0时，显然不成立；当a＞0时，要使原函数在 上为减函数，则 ≥ ，解得a≤1，所以0＜
a≤1.综上可得0≤a≤1.故选C.
　　例6　某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析可知，若按50元/千克销
售，一个月能售出500千克，且销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为x元/千
克，月销售利润为y元，则y与x的函数解析式为（　　 ）
A. y＝（x－40）（500－10x）
B. y＝（x－40）（10x－500）
C. y＝（x－40）［500－10（x－50）］
D. y＝（x－40）［500－10（50－x）］
　　【参考答案】由题意可知，每千克获利（x－40）元，销售量为［500－10（x－50）］千克，则y＝
（x－40）［500－10（x－50）］.故选C.
对点检测3＞
　　（1）从地面向上发射一枚炮弹，炮弹运行的轨迹呈抛物线，且到达的高度y（米）与时间
x（秒）之间的函数解析式为y＝ax2＋bx（x≥0），若此炮弹在第5秒时的高度与第10秒时的
高度相等，则该炮弹到达最高点是在（　C　）
A. 第6秒 B. 第7秒 C. 第7.5秒 D. 第8.5秒
【解析】根据题意，抛物线在顶点处达到最高，由炮弹在第5秒时的高度与第10秒时的高度相等，可知当自
变量x＝ ＝7.5时，炮弹到达最高点.
C
　　（2）某宾馆共有客床100张，每张床每晚收费10元时，可全部住满.若每张床每晚收费每提
高2元，客床租出数量便减少10张，则总收入y元（y＞0）与每张床每晚收费提高额x元（假设
x是2的正整数倍）之间的函数解析式为（　C　）
A. y＝（10＋x）（100－5x）
B. y＝（10＋x）（100－5x），x∈N
C. y＝（10＋x）（100－5x），x＝2，4，6，8，…，18
D. y＝（10＋x）（100－5x），x＝2，4，6，8，…
C
【解析】根据题意，每张床每晚收费每提高2元，客床租出数量便减少10张，即每张床每晚收费每提1元，
客床租出数量便减少5张，则此时每张床收费10＋x，客床租出数量为100－5x，所以总收入y＝（10＋
x）（100－5x），由题意知x是2的正整数倍，且100－5x＞0，得x＝2，4，6，8，…，18，故选C.
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知函数f（x）＝ ，若f（a）＝2，则a＝（　C　）
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
C
2. 设函数f（x）＝x2＋bx＋c，若对任意实数t，都有f（2－t）＝f（2＋t），则（　A　）
A. f（2）＜f（1）＜f（4） B. f（1）＜f（2）＜f（4）
C. f（2）＜f（4）＜f（1） D. f（4）＜f（2）＜f（1）
3. 若函数f（x）＝x2＋2mx＋1在区间（－∞，2）上是减函数，则m的取值范围是（　D　）
A. ［2，＋∞） B. （－∞，2］
C. ［－2，＋∞） D. （－∞，－2］
A
D
4. 电信公司的某一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1
元，若小张身上仅有2.4元，则他能持续通话的最长时间为（　C　）
A. 23分钟 B. 24分钟 C. 25分钟 D. 26分钟
C
5. 已知一次函数过A（0，4），B（3，－2）两点，则这个函数的解析式为（　B　）
A. y＝4x＋2 B. y＝－2x＋4
C. y＝－3x＋4 D. y＝－4x＋3
6. 若函数y＝ x＋b在定义域R上是增函数，则（　A　）
A. a＞－1 B. a＜－1
C. b＞0 D. b＜0
B
A
7. 将函数y＝x2图像向左平移一个单位，得到的函数图像解析式为（　D　）
A. y＝x2＋1 B. y＝x2－1
C. y＝2 D. y＝2
8. 函数y＝k（x＋1）与函数y＝ 的图像只可能是（　A　）
A. B.
C. D.
D
A
二、填空题
9. 设函数y＝f（x）是一次函数，已知f（1）＝1，f（2）＝3，则f（3）＝ .
5
10. 若函数f ，g 的值由下列表格给出，则f ＝ .
x 1 2 3 4
f 2 4 3 1
g 4 3 2 1
4
11. 已知函数f ＝ 则f ＝ .
12. 若函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋2在区间［0，2］上不是单调函数，则a的取值范围
是 .
1

三、解答题
13. 已知二次函数f（x）＝x2－4x＋5.求：
（1）函数f（x）的对称轴及单调递增区间；
解：（1）因为二次函数解析式为f（x）＝x2－4x＋5，
所以对称轴为直线x＝2，又因为开口向上，所以当x≥2时f（x）为增函数，即单调递增区间为［2，＋
∞）.
（2）函数f（x）在区间［－3，3］上的最值.
解：（2）因为对称轴为直线x＝2，所以只需求f（－3）＝26，f（2）＝1，f（3）＝2.
所以f（x）max＝f（－3）＝26，f（x）min＝f（2）＝1.
14. 设函数f（x）＝ 求：
（1）函数的定义域；
解：（1）函数的定义域为（－∞，0］ （0，＋∞）＝R .
（2）f（2），f（0），f（－1）的值.
解：（2）因为2∈（0，＋∞），所以f（2）＝22＝4；
因为0∈（－∞，0］，所以f（0）＝2×0－1＝－1；
因为－1∈（－∞，0］，所以f（－1）＝2×（－1）－1＝－3.
15. 已知二次函数f（x）＝ax2－2x－4的对称轴是直线x＝1.
（1）求a的值；
解：（1）因为二次函数f（x）＝ax2－2x－4的对称轴是直线x＝1，所以－ ＝1，解得a＝1.
（2）若f（x）＞4，求x的取值范围.
解：（2）由（1）知二次函数的解析式为f（x）＝x2－2x－4.
因为f（x）＞4，所以x2－2x－4＞4，解得x＜－2或x＞4.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 设函数f（x）＝ ＋1，则f ＝（　B　）
A. B. x＋1 C. D.
【解析】因为f（x）＝ ＋1，所以f ＝x＋1.
B
2. 某城市的出租车收费标准为3公里以内（包含3公里）8元，若超过3公里，则超过部分按照2元/
公里计费（不足1公里的按照1公里计费），某人乘坐出租车行驶5.3公里.则他需要支付的费用为
（　A　）
A. 14元 B. 12元 C. 10元 D. 8元
【解析】∵某人乘坐出租车行驶5.3公里，∴他需要支付的费用为8＋2×（6－3）＝14元.
A
3. 若函数y＝（2k－1）x＋7在R上是增函数，则（　A　）
A. k＞ B. k＞－ C. k＜ D. k＜－
【解析】因为函数y＝（2k－1）x＋7在R上是增函数，所以2k－1＞0，即k＞ .
A
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；
③b2－4ac＞0，其中结论正确的个数是（　C　）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
【解析】由图像可知开口向下，a＜0，所以①错误；图像与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以②正确；图
像与x轴有两个交点，可得b2－4ac＞0，所以③正确，所以正确的有2个.
C
5. 已知函数y＝x2＋2x＋1，x∈ ，则（　A　）
A. 函数有最小值0，最大值9 B. 函数有最小值2，最大值5
C. 函数有最小值2，最大值9 D. 函数有最小值0，最大值5
【解析】y＝x2＋2x＋1＝2的对称轴为直线x＝－1，开口向上，所以y＝x2＋2x＋1在［－2，－
1］上单调递减，在［－1，2］上单调递增，所以当x＝－1时，ymin＝1－2＋1＝0，当x＝2时，ymax＝22
＋2×2＋1＝9，所以函数有最小值0，最大值9.
A
6. 若函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2，5）上（　D　）
A. 有增有减 B. 增减性不确定
C. 是增函数 D. 是减函数
【解析】因为f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，所以m＝0，f（x）＝－x2＋3，开口向下，f
（x）在区间（2，5）上是减函数.
D
7. 已知函数f ＝ax2－x＋1在 上单调递减，则a的取值范围是（　B　）
A. B. C. D.
【解析】当a＝0时，函数f ＝－x＋1在 上是减函数，合乎题意；当a≠0时，二次函数f
的对称轴为直线x＝ ，因为函数f ＝ax2－x＋1在 上是减函数，所以 解得0＜
a≤ .综上所述，0≤a≤ .
B
8. 在同一个平面直角坐标系中函数y＝kx2和y＝kx－2（k≠0）的图像可能是（　D　）
A. B.
C. D.
【解析】分k＞0与k＜0两种情况讨论：当k＞0时，函数y＝kx2开口向上，顶点在原点，而y＝kx－2的
图像过一、三、四象限；当k＜0时，函数y＝kx2开口向下，顶点在原点，而y＝kx－2的图像过二、三、
四象限.
D
二、填空题
9. 已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，若f（1）＝f（2）＝0，则f（3）＝ .
【解析】因为f（1）＝f（2）＝0，所以 解得 即f（x）＝x2－3x＋2，所以
f（3）＝32－3×3＋2＝2.
2
10. 某汽车油箱中存油22 kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y（kg）与流
出时间x（分钟）之间的函数关系式为 .
【解析】流速为每分钟 ＝ ，x分钟可流出 x，故y＝22－ x（0＜x≤200）.
y＝22－ x（0＜x≤200）
11. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说
法正确的是 .（填序号）
①甲比乙先出发；②乙比甲跑的路程多；③甲、乙两人的速度相同；④甲比乙先到达终点.
【解析】此题为路程s与时间t的图像，速度v＝ ，其几何意义是直线的斜率，数形结合由图可得答案.
④
12. 已知函数f（x）＝2x2－mx＋3在区间［2，＋∞）上是增函数，则m的取值范围为
.
【解析】函数f（x）＝2x2－mx＋3的对称轴方程为x＝ ，因为f（x）在区间［2，＋∞）上是增函
数，则 ≤2，故m的取值范围为（－∞，8］.
（－
∞，8］
三、解答题
13. 已知函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且f（1）＝－2.
（1）求f（－1）的值；
解：（1）因为函数f（x）在R上是奇函数，
所以f（－1）＝－f（1）＝2.
（2）若f（t2－3t＋1）＞2，求t的取值范围.
解：（2）因为f（t2－3t＋1）＞2＝f（－1），且f（x）在R上是减函数，所以t2－3t＋1＜－1，解得1
＜t＜2.
故t的取值范围是（1，2）.
14. 某数学练习册定价为40元，若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；
若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x（x∈N*，
x≤40）本，求总费用f（x）与x的函数解析式（代金券相当于等价金额）.
解：当0＜x＜10时，f（x）＝40x；
当10≤x＜20时，f（x）＝35x－10；
当20≤x≤40时，f（x）＝30x－20.
故解析式为f ＝ （x∈N*）.
15. 已知函数f（x）＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0）在区间［2，3］上的最大值为5，最小值为2.
求a，b的值.
解：f（x）＝ax2－2ax＋2＋b（a≠0）＝a（x－1）2＋2＋b－a.
当a＞0时，函数f（x）在区间［2，3］上是增函数，则
当a＜0时，函数f（x）在区间［2，3］上是减函数，则
综上所述，当a＝1时，b＝0；当a＝－1时，b＝3.
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）函数y＝ 的定义域为（　B　）
A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （－∞，0］ D. ［0，＋∞）
【解析】函数 y ＝ 的定义域需满足两个条件：①分母不为0 ，即 ≠ 0 ；②根号里的数非负，即x ≥ 0.
综合得 x ＞ 0，所以定义域为 （0， ＋∞）.
B
2. （2025 安徽文化素质分类考试）下列函数为偶函数的是（　C　）
A. f（x）＝ B. f（x）＝x＋1
C. f（x）＝ D. f（x）＝x3＋1
【解析】偶函数需满足 f（x）＝f（－x）.A选项：f（－x）＝－ ≠ f（x）；B选项：f（－x）＝－
x＋1 ≠ f（x）；C选项：f（－x）＝ ＝ ＝f（x）；D选项：f（－x）＝－x3＋1 ≠ f（x）.
C
3. （2025 安徽文化素质分类考试）已知函数f（x）＝ 则f［f
（－3）］＝（　C　）
A. －5 B. －3 C. 3 D. 5
【解析】由题意得f （－3）＝（－3＋1）2＝4，所以f ＝4－1＝3.
C
【解析】由题意得f （－3）＝（－3＋1）2＝4，所以f（4）＝4－1＝3.
4. （2024 安徽文化素质分类考试）函数y＝ 的定义域为（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知2x＋1≥0，解得x≥－ .
5. （2024 安徽文化素质分类考试）已知函数f（x）＝ 若f（4）－f（0）＝
7，则a＝（　B　）
A. 23 B. 9 C. 3 D. 1
【解析】由题意可知f（4）＝42＝16，f（0）＝a，则f（4）－f（0）＝16－a＝7，得a＝9.
C
B
6. （2024 安徽文化素质分类考试）已知f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝x2＋
4x.若af（a）＞0，则a的取值范围为（　C　）
A. （－4，0） （4，＋∞） B. （－∞，－4） （0，4）
C. （－4，0） （0，4） D. （－∞，－4） （4，＋∞）
【解析】由题意得，当x＞0时，f ＝－x2＋4x.当a＞0时，f ＝－a2＋4a，af（a）＞0可以化为
a ＞0，解得0＜a＜4；当a＜0时，f ＝a2＋4a，af ＞0可以化为a ＞0，解得
－4＜a＜0；当a＝0时，将0代入af 可得0×f ＝0，不满足af ＞0这个条件，所以a≠0.综上所
述，a的取值范围为 （0，4）.
C
7. （2023 安徽文化素质分类考试）函数f（x）＝ 的定义域为（　D　）
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知 －4≠0，可得x≠±4.
D
8. （2023 安徽文化素质分类考试）若函数f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函数，则f（x）在
区间［－3，2］上的最小值为（　B　）
A. 0 B. 1 C. 9 D. 19
【解析】因为函数f（x）＝2x2＋ax＋1是R上的偶函数，所以a＝0，所以原函数f（x）＝2x2＋1在区间
［－3，2］上的最小值为f（0）＝1.
B
9. （2023 安徽文化素质分类考试）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x－1.
若f（2a）＋f（a－2）＞0，则a的取值范围是 （　B　）
A. a＜ B. a＞ C. a＜－2 D. a＞－2
【解析】当x＞0时，f（x）＝2x－1，所以函数在（0，＋∞）上是增函数.又因为f（x）是R上的奇函
数，所以函数f（x）是R上的增函数；根据奇函数的性质，原不等式f（2a）＋f（a－2）＞0可化为f
（2a）－f［－（a－2）］＞0，即f（2a）＞f（－a＋2），所以2a＞－a＋2，解得a＞ .
B
10. （2022 安徽文化素质分类考试）函数f（x）＝（x－1） 的定义域为（　D　）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，1］ D. ［1，＋∞）
【解析】由题意可知x－1≥0，可得x≥1.
D
11. （2022 安徽文化素质分类考试）已知函数f（x）＝ 若f（－1）＝ ，则f
（1）＝（　A　）
A. B. C. 2 D. 3
【解析】由f（－1）＝－a＋1＝ ，解得a＝ ，所以f（1）＝ ＝ .
A
12. （2022 安徽文化素质分类考试）已知奇函数f（x）在区间［1，2］上的最小值为3，最大
值为4，则f（x）在区间［－2，－1］上（　B　）
A. 最小值为3，最大值为4 B. 最小值为－4，最大值为－3
C. 最小值为－3，最大值为4 D. 最小值为－4，最大值为3
【解析】由奇函数在对称区间上的函数图像关于坐标原点对称可知，f（x）在区间［－2，－1］上的最小
值为－4，最大值为－3.
B
13. （2022 安徽文化素质分类考试）若函数f（x）＝x2＋x在区间（a，1－2a）上单调递
增，则a的取值范围为（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得，函数f（x）＝x2＋x的图像开口向上，对称轴为x＝－ ＝－ ，所以函数f
（x）＝x2＋x在 上是增函数，所以可得 解得－ ≤a＜ .
C

展开更多......

收起↑