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BY YUSHEN
第四章　指数函数与对数函数
第一讲　指数与指数函数
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题
本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在2～3道，其中函数图像位置判断难度较高.需要掌握实数指数幂的运算法则，正确进行根式与分数指数幂间的转化；理解实数指数幂的含义；掌握指数函数的概念、图像和性质，理解对数的概念（含常用对数与自然对数），理解对数函数的概念、图像和性质；了解
指数函数、对数函数的实际应用.本章难点是根据参数大小，判断函数的图像. 2023年 2024年 2025年
第25题 第27题 第9题 第24题 第3题
第20题
第29题
分值
8分 8分 12分
2
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一般地，如果xn＝a（n∈N*且n＞1），那么x叫做a的n次方根.
　　2. 形如 （n∈N*且n＞1）的式子叫做a的n次根式，其中n叫做根指
数，a叫做被开方数.
　　3. 当n为奇数时，有 ＝a；当n为偶数时，有 ＝｜a｜＝
负数没有偶次方根，0的任何次方根都为0.
　　4.利用分数指数幂来表示根式，规定a ＝ （m，n∈N*且n＞1）.
当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0.当a 有意义，且a≠0时，规定
a ＝ ＝ .
　　5. 实数指数幂运算法则为：ap aq＝a ；（ap）q＝apq；（ab）p＝apbp
（a＞0，b＞0，p∈R，q∈R）.
－
－
p＋q
好题解析＞
　　例1　 写成分数指数幂的形式为（　　）
A. 3 B. 3 C. m D. m－
　　【参考答案】 ＝m .故选D.
　　例2　已知a＋a－1＝3，则a2＋a－2＝（　　 ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
　　【参考答案】a＋a－1＝3 （a＋a－1）2＝9 a2＋2a a－1＋a－2＝9 a2＋a－2＝7.故选B.
－
对点检测1＞
　　（1）下列各式中，正确的是（　D　）
A. a2＋a2＝a4
B. a2 a3＝a6
C. （a2）3＝a5
D. a6÷a2＝a4（a≠0）
【解析】a2＋a2＝2a2，A错误；a2 a3＝a5，B错误；（a2）3＝a6，C错误；a6÷a2＝a4（a≠0），
D正确.
D
　　（2）［（－ ）2］ ＝（　A　）
A. B. － C. － D.
【解析】［（－ ）2］ ＝［2］ ＝ .
　　（3）计算： × × ＝（　A　）
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
【解析】 × × ＝3 ×3 ×3 ＝3 .
A
A
　　（4）计算： ＋（2π－1）0＋ ＝（　C　）
A. 7－π B. 6－π C. π＋1 D. π
【解析】 ＋（2π－1）0＋ ＝π－3＋1＋3＝π＋1.
C
　　1.概念：一般地，形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫做指数函数，其中
指数x是自变量，a是底数.
　　2. 指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图像与性质
底数 a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域为R，值域为（0，＋∞）
图像过定点（0，1），即恒有a0＝1
当x＞0时，恒有y＞1； 当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；
当x＜0时，恒有y＞1
在R上是增函数 在R上是减函数
　　3.指数型函数：一般地，形如y＝cax（其中c为常数，且c＞0，底数a＞0且a≠1）的函数模型叫做指数函数模型.当a＞1时，该函数模型叫做指数增长模型；当0＜a＜1时，该函数模型叫做指数衰减模型.
好题解析＞
　　例3　若指数函数f（x）＝（a2－3）x在R上是增函数，则实数a的取值范围是（　　 ）
A. a＞1 B. a＜－2或a＞2 C. a＞2 D. a＞0
　　【参考答案】由题意可得a2－3＞1，解得a＜－2或a＞2.故选B.
　　例4　函数f（x）＝ax＋1－1（a＞1）的图像必经过点（　　）
A. （0，－1） B. （－1，－1）
C. （0，0） D. （－1，0）
　　【参考答案】令x＋1＝0，则x＝－1，代入函数f（x）＝ax＋1－1，解得y＝0，则函数f（x）＝
ax＋1－1（a＞1）的图像必经过点（－1，0）.故选D.
对点检测2＞
　　（1）已知指数函数f（x）＝ax＋4－a2在R上是增函数，则实数a＝（　C　）
A. －4 B. －2 C. 2 D. 4
【解析】根据指数函数的定义可知4－a2＝0 a＝±2，又函数在R上是增函数，所以a＝2.
C
　　（2）函数y＝ax－1＋2（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（　D　）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （0，3） D. （1，3）
【解析】根据题意，当x＝1时，y＝a0＋2＝3，所以函数图像过定点（1，3）.
D
好题解析＞
　　例5　下列各式正确的是（　　）
A. 1.60.3＜1.60.2 B. 1.6－0.3＞1.6－0.2
C. －π0.3＞－π0.2 D. －0.3＞－0.2
　　【参考答案】y＝1.6x是R上的增函数，因为0.3＞0.2，所以1.60.3＞1.60.2，所以A选项错误；因为－0.3
＜－0.2，所以1.6－0.3＜1.6－0.2，所以B选项错误；y＝πx是R上的增函数，因为0.3＞0.2，所以π0.3＞π0.2，所
以－π0.3＜－π0.2，所以C选项错误；y＝ x是R上的减函数，因为－0.3＜－0.2，所以－0.3＞－0.2，
所以D选项正确.故选D.
　　例6　若a＝20.3，b＝0.32，则下列关系式正确的是（　　 ）
A. a＜b＜1 B. 1＜b＜a
C. a＜1＜b D. b＜1＜a
　　【参考答案】y＝2x是R上的增函数，所以a＝20.3＞20＝1；y＝0.3x是R上的减函数，所以b＝0.32＜
0.30＝1，所以b＜1＜a.故选D.
对点检测3＞
　　设a＝0.30.3，b＝0.31.5，c＝30.2，则a，b，c的大小关系是（　D　）
A. b＜c＜a B. a＜c＜b
C. a＜b＜c D. b＜a＜c
【解析】由指数函数的单调性可知0.30＞0.30.3＞0.31.5，即0＜b＜a＜1；又30.2＞1，即c＞1，所以b＜a
＜c.
D
　　比较幂值大小
　　（1）同底不同指的幂值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较；
　　（2）同指不同底的幂值大小比较：利用函数的单调性进行比较；
　　（3）既不同底又不同指的幂值大小比较：常找到一个中间值，通过比较
幂值与中间值的大小来判断.
好题解析＞
　例7　函数y＝ax（a＞0且a≠1）在区间［－2，0］上的最大值为4，则a＝（　　）
A. 4 B. C. 2 D.
　　【参考答案】∵函数y＝ax（a＞0且a≠1）在［－2，0］上是单调函数，∴当x＝－2或x＝0时，函
数y＝ax（a＞0且a≠1）在［－2，0］上取得最大值，∵当x＝0时，y＝ax＝1，又函数y＝ax（a＞0
且a≠1）在［－2，0］上的最大值为4，∴a－2＝4，∴a＝ .故选D.
　　例8　已知函数y＝f（x）是R上的减函数，且f（1）＝0，则不等式f（2x－3）＜0的解集
为（　　 ）
A. x＜log23 B. x＞log23 C. x＞2 D. x＜2
　　【参考答案】由题意可得f（2x－3）＜f（1），又因为函数y＝f（x）是R上的减函数，所以2x－3
＞1，解得x＞2.故选C.
对点检测4＞
　　已知函数f（x）＝ x，则不等式f（a2－1）＞f（3）的解集为（　A　）
A. （－2，2）
B. ［－2，2］
C. （－∞，－2） （2，＋∞）
D. （－∞，－2］ ［2，＋∞）
【解析】因为函数f（x）＝ x在R上是减函数，所以f（a2－1）＞f（3） a2－1＜3，解得－2＜a
＜2.
A
　　（1）指数函数看底数决定增减性，底数不明确，要分底数a＞1和底数0
＜a＜1两种情况进行讨论；
　　（2）解出的a值须满足在指定的区间内.
好题解析＞
　　例9　若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在（　　）
A. 第一、二、三象限
B. 第一、三、四象限
C. 第二、三、四象限
D. 第一、二、四象限
　　【参考答案】∵－1＜b＜0，∴0＜｜b｜＜1，y＝ax的图像向下平移｜b｜个单位即可得到y＝ax＋
b的图像.故y＝ax＋b的图像一定在第一、二、三象限.故选A.
　　例10　已知指数函数y＝ x的图像如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图像可能是
（　　 ）
A. B.
C. D.
　　【参考答案】如图所示，指数函数y＝ x是减函数，可得0＜ ＜1；二次函数y＝ax2＋bx的对称
轴是x＝－ ，可知对称轴的范围为 .故选D.
对点检测5＞
　　（1）函数f（x）＝ x－3的图像不经过（　A　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】函数f（x）＝ x－3的图像是由y＝ x的图像向下平移3个单位得到的，观察图像即得不过
第一象限.
A
　　（2）已知函数y＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像如图所示，则函数y＝（1－a）x＋b的
图像可能是（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】观察函数y＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像，可得0＜a＜1，0＜1＋b＜1，所以1－a＞0，函
数y＝（1－a）x＋b单调递增，排除选项C，D，在y轴上的截距－1＜b＜0，选项A符合题意.
A
3
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 计算：2 ×4 ＝（　B　）
A. 2 B. 2 C. 8 D. 1
B
2. 若指数函数y＝ax的图像经过点（2，4），则a＝（　A　）
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
3. 函数y＝2x与y＝ x的图像关于（　C　）
A. 原点对称 B. x轴对称
C. y轴对称 D. 直线y＝x对称
A
C
4. 已知集合M＝ ，N＝ ，则M N＝（　B　）
A. B.
C. D.
5. 下列运算正确的是（　C　）
A. a2 a3＝a6 B. 2＝a5
C. ＝3 D. 2＝a2＋b2
B
C
6. 把根式a 化成分数指数幂是（　B　）
A. （－a） B. －（－a） C. a D. －a
7. 计算：［（－ ） ］ ＝（　D　）
A. － B. － C. D.
B
D
8. 若指数函数f（x）＝（a－1）x在R上是减函数，则实数a的取值范围是（　B　）
A. a＞1 B. 1＜a＜2 C. a＞1且a≠2 D. a＞0
B
4
二、填空题
9. 化简 的结果为 .
10. 计算：0.25 ＋－ ＋（π－3）0＝ .
11. 设am＝2，an＝3，则a3m－n＝ .
12. 已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则a，b，c的大小关系是 .
4－a
4.5

b＜a＜c
11
11
三、解答题
13. 计算：
（1）（ －1）0＋－ －8 ；
解：（1）（ －1）0＋ －8 ＝1＋（－3）－4＝－6.
（2）（－π）0＋2－1× － × .
解：（2）（－π）0＋2－1× － × ＝1＋ ×2－ ×3＝1.
11
11
11
11
14. 设 ＝5，求x2＋x－2的值.
解：因为 ＝x＋x－1＝5，所以（x＋x－1）2＝x2＋2x x－1＋x－2＝52，即x2＋x－2＝23.
15. 解关于x的不等式：ax2＋3x－1＜ax＋2（a＞1）.
解：因为ax2＋3x－1＜ax＋2（a＞1），
所以x2＋3x－1＜x＋2，解得－3＜x＜1.
所以不等式ax2＋3x－1＜ax＋2（a＞1）的解集为（－3，1）.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 函数y＝－2x的图像一定经过（　D　）
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第一、四象限 D. 第三、四象限
【解析】因为函数y＝2x的图像与函数y＝－2x的图像关于x轴对称，所以函数y＝－2x的图像一定经过
第三、四象限.
D
2. 代数式x 恒等于（　C　）
A. B.
C. － D. －
【解析】由代数式可知－2x≥0，所以x≤0，所以x ＝－ .
C
3. 已知抛物线y＝（a－1）x2＋bx－1的图像如图所示，则函数y＝ax＋b的图像可能是
（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】由抛物线y＝（a－1）x2＋bx－1图像可知，开口向上，a－1＞0，即a＞1，对称轴x＝－
＜0，故b＞0，图像由y＝ax整体向上平移.故选项A符合题意.
A
4. 函数y＝ax－2＋1（a＞0且a≠1）恒过定点（　B　）
A. （－1，2） B. （2，2）
C. （1，2） D. （－1，3）
【解析】函数y＝ax－2＋1（a＞0且a≠1），当x＝2时，y＝a2－2＋1＝2，所以该函数一定过定点
（2，2）.
B
5. 若不等式2x2－4x＞22ax＋a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（　B　）
A. （1，4） B. （－4，－1）
C. （－∞，－4） （－1，＋∞） D. （－∞，1） （4，＋∞）
【解析】∵不等式2x2－4x＞22ax＋a对一切实数x都成立，∴x2－4x＞2ax＋a对一切实数x都成立，即x2－
（4＋2a）x－a＞0对一切实数x都成立.∴Δ＝（4＋2a）2－4×（－a）＜0，即a2＋5a＋4＜0，解得－4
＜a＜－1，∴实数a的取值范围是（－4，－1）.
B
6. 若－1＜x＜0，则下列不等式中成立的是（　C　）
A. 5－x＜5x＜0.5x B. 0.5x＜5－x＜5x
C. 5x＜0.5x＜5－x D. 5x＜5－x＜0.5x
【解析】因为－1＜x＜0，所以0＜－x＜1，0＜5x＜1，有5－x＞1.又因为5－x＞2－x＝0.5x＞1，故有5x＜0.5x＜5－x.
7. 若a＞1，－1＜b＜1，则函数y＝ax＋b的图像一定不经过（　D　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】因为y＝ax（a＞1）过点（0，1），且在R上单调递增，所以y＝ax＋b（a＞1，－1＜b＜1）
的图像在y＝ax＋1（a＞1）与y＝ax－1（a＞1）之间，一定不经过第四象限.
C
D
8. 函数f（x）＝ 的定义域是（　A　）
A. （－∞，0） B. （0，＋∞）
C. （0，1） D. （－1，0）
【解析】由已知可得1－2x＞0，则2x＜1＝20，即x＜0.
A
二、填空题
9. 设集合M＝ ，N＝ ，则M N＝ 　 　.
【解析】因为x2＋2x－15＝ ≤0，所以－5≤x≤3，即M＝ ；因为2x＋1＞20
＝1，所以x＋1＞0，x＞－1，即N＝ ，所以M N＝ .

10. 已知函数f ＝ex－e－x＋1（e是自然对数的底数），若f ＝2，则f ＝ .
【解析】由f ＝2得ea－e－a＝1，所以f ＝e－a－ea＋1＝0.
11. 已知ax＝2，a2x＋3y＝108，则ax＋y＝ .
【解析】∵ax＝2，a2x＋3y＝108，∴a2x＋3y＝a2x a3y＝（ax）2 （ay）3＝4 （ay）3＝108，∴ay＝3，
∴ax＋y＝ax ay＝2×3＝6.
0
6
12. 已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），若f（2）＞f（3），则实数a的取值范围
为 .
【解析】因为f（2）＞f（3），所以指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）是R上的减函数，所以0＜a
＜1.
（0，1）
三、解答题
13. 已知指数函数y＝f 的图像过点 ，求f f 的值.
解：设f ＝ax（a＞0且a≠1），又f ＝a2＝4，解得a＝2，∴f f ＝22×24＝4×16＝64.
14. 解不等式： x＞91－x.
解：因为 x＞91－x，所以（3－3）x＞（32）1－x，即3－3x＞32－2x，所以－3x＞2－2x，解得x＜－2.
15. 已知指数函数f ＝ax在［1，2］上的最大值与最小值的差为12，求a的值.
解：当a＞1时，y＝ax在［1，2］上是增函数，故ymax＝a2，ymin＝a，所以a2－a＝12，解得a＝4或a
＝－3（舍去）；当0＜a＜1时，y＝ax在［1，2］上是减函数，故ymax＝a，ymin＝a2，所以a－a2＝
12 a2－a＋12＝0，方程无解.综上所述，a＝4.

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