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BY YUSHEN
第四章　指数函数与对数函数
第二讲　对数与对数函数
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一般地，若ab＝N（a＞0且a≠1），则b叫做以a为底N的对数，记作
b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.即ab＝N b＝logaN.
　　2. 常用对数：以10为底的对数，即log10N，简记为lg N.
　　自然对数：以无理数e（e＝2.718 28…）为底的对数，即logeN，简记
为ln N.
　　3.对数的性质：
　　（1）loga1＝0；
　　（2）logaa＝1；
　　（3）零和负数没有对数.
　　4.对数的运算法则：
　　（1）积、商、幂的对数：
　　loga（MN）＝logaM＋logaN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
　　loga ＝logaM－logaN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
　　logaMn＝nlogaM（a＞0且a≠1，M＞0，n为任意实数）
　　（2）对数恒等式：alogaN＝N（a＞0且a≠1，N＞0）.
　　（3）换底公式：logab＝ ＝ ＝ （a＞0且a≠1，b＞0，c＞0且
c≠1）.
好题解析＞
　　例1　log2 ＝（　　）
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
　　【参考答案】log2 ＝log22－3＝－3log22＝－3.故选D.
　　例2　若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 24＝（　　 ）
A. 3a＋b B. 4a＋b C. a＋3b D. a＋4b
　　【参考答案】lg 24＝lg（23×3）＝lg 23＋lg 3＝3lg 2＋lg 3＝3a＋b.故选A.
.
对点检测1＞
　　（1）log5 ＝（　C　）
A. 1 B. 0 C. －1 D. 5
【解析】log5 ＝－1.
　　（2）21＋log23＋lg 1－ln e2＝（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】21＋log23＋lg 1－ln e2＝2log26＋0－2ln e＝6－2＝4.
C
C
　　（3）设a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b的值是（　D　）
A. lg 29 B. 29 C. lg 2 D. 2
【解析】因为a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.
　　（4）已知3x＝2，3y＝5，则log320＝（　B　）
A. 2xy B. 2x＋y C. x＋2y D. x＋y
【解析】因为3x＝2，3y＝5，所以x＝log32，y＝log35，则log320＝log34＋log35＝2log32＋log35＝2x＋y.
D
B
好题解析＞
　　例3　已知lg x＋lg（x－3）＝1，则x＝（　　）
A. －2 B. 2 C. 5 D. －2或5
　　【参考答案】lg x＋lg（x－3）＝lg［x（x－3）］＝1 x（x－3）＝10，即x2－3x－10＝0，解
得x＝5或x＝－2（舍去）.故选C.
　　例4　log2x＝4，则x＝（　　）
A. 16 B. 8 C. D. 6
　　【参考答案】因为log2x＝4，所以x＝24＝16.故选A.
对点检测2＞
　　（1）已知log2（log3x）＝2，则x＝（　D　）
A. 4 B. 8 C. 9 D. 81
【解析】log2（log3x）＝2 log3x＝22 x＝34＝81.
　　（2）若log5x＝－1，则x＝（　B　）
A. －2 B. C. 5 D. 81
【解析】∵log5x＝－1，∴x＝ .
D
B
　　1.概念：一般地，形如y＝logax（a＞0且a≠1）的函数叫做对数函数.
　　注意：对数函数的3个特征：（1）底数a＞0且a≠1；（2）自变量x＞0；
（3）系数为1.
　　2.对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的图像与性质
底数 a＞1 0＜a＜1
图像
性质 定义域为（0，＋∞），值域为R 图像过定点（1，0），即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0；
当0＜x＜1时，恒有y＞0
在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
　　3.指数函数与对数函数的关系
　　指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）互
为反函数，它们的定义域与值域正好互换.底数相同时二者图像关于直线y
＝x对称.
好题解析＞
　　例5　函数f（x）＝ 的定义域为（　　）
A. （0，2） B. （2，＋∞）
C. （0，＋∞） D. （－∞，2）
　　【参考答案】∵ ∴0＜x＜2，∴函数f（x）＝ 的定义域为（0，2）.故选A.
　　例6　已知函数f（x）＝1＋loga（2x－3）（a＞0且a≠1）恒过点（m，n），则mn＝
（　　 ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
　　【参考答案】令2x－3＝1，解得x＝2，此时f（2）＝1＋loga1＝1，所以函数f（x）＝1＋loga
（2x－3）恒过点（2，1），则mn＝2.故选C.
对点检测3＞
　　（1）函数f（x）＝ －2lg（x－1）的定义域为（　D　）
A. B.
C. D.
【解析】要使函数有意义，则需满足 解得1＜x≤2.
　　（2）函数y＝loga（x－2）（a＞0且a≠1）的图像经过的定点是（　C　）
A. （1，0） B. （0，1）
C. （3，0） D. （3，1）
【解析】当x＝3时，y＝loga1＝0，即函数图像过定点（3，0）.
D
C
　　含有对数的函数定义域问题注意以下几点：
　　（1）正确找出真数，并且真数＞0；
　　（2）偶次根式要求整体被开方数≥0；
　　（3）分母≠0.
好题解析＞
　　例7　如果log0.3x＜log0.3y＜0，那么（　　）
A. y＜x＜1 B. x＜y＜1
C. 1＜x＜y D. 1＜y＜x
　　【参考答案】y＝log0.3x是（0，＋∞）上的减函数，所以1＜y＜x.故选D.
　　例8　若a＝log50.2，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则下列关系式正确的是（　　）
A. a＜c＜b
B. c＜b＜a
C. a＜b＜c
D. b＜c＜a
　　【参考答案】a＝log50.2＜log51＝0；b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1；1＝0.50＞c＝0.50.2＞0，所以a＜c
＜b.故选A.
对点检测4＞
　　（1）下列关系式中正确的是（　C　）
A. 0.52＞0.51.7 B. 1.20.7＞1.20.8
C. log0.10.5＞0 D. log20.1＞1
　　（2）已知a＝log0.33，b＝30.3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为（　C　）
A. a＞b＞c B. a＜b＜c
C. a＜c＜b D. b＜c＜a
【解析】因为log0.33＜log0.31＝0，所以a＜0；因为30.3＞30＝1，所以b＞1；0＝log31＜log32＜log33＝1，即
0＜c＜1，所以a＜c＜b.
C
C
　　利用对数函数的单调性比较大小时，如果底数相同，直接根据底数大于1是增函数，底数小于1是减函数进行比较；如果底数不同，通常找“中间数0或1”（0＝loga1，1＝logaa）进行间接比较.指数值与对数值的混合比较时，注意指数值都大于0，只要与“1”（1＝a0）比较即可.
　　例9　在同一平面直角坐标系中，函数y＝ x，y＝loga （a＞0且a≠1）的图像
可能是（　　）
A. B.
C. D.
　　【参考答案】函数y＝loga 一定过点 ，所以A，C一定错误；函数y＝ x与函数y
＝loga （a＞0且a≠1）的单调性相反，所以B错误.故选D.
　　例10　已知a∈R，当x＞0时，f（x）＝log2 ，若函数f（x）过点（1，1），则a
的值为（　　 ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　【参考答案】由题意可得，f（1）＝log2（1＋a）＝1，故1＋a＝2，a＝1.故选A.
对点检测5＞
　　若a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数y＝ax与函数y＝－logbx在同一平面直角坐标
系中的图像可能是（　B　）
A. B. C. D.
【解析】结合指数函数、对数函数的图像按0＜a＜1和a＞1分类讨论.对数函数定义域是x＞0，A错；C中
指数函数0＜a＜1，则b＞1，y＝－logbx为减函数，C错；B，D中都有a＞1，则0＜b＜1，因此y＝－
logbx为增函数，只有选项B符合.
B
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. “x＞4”是“log3x＞1”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 若a＝30.5，b＝log30.5，则（　D　）
A. a＞b＞0 B. b＞a＞0
C. b＞0＞a D. a＞0＞b
A
D
3. 函数f（x）＝ln x＋ 的定义域为（　B　）
A. ［0，π］ B. （0，π］
C. （0，＋∞） D. （π，＋∞）
4. 设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是（　D　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
B
D
5. 下列各式计算正确的是（　C　）
A. lg 4×lg 9＝4lg 6 B. ＝－1
C. log23×log278＝1 D. 3＝－6
6. 若log3（log2x）＝0，则x＝（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
B
7. 计算：2log43＝（　B　）
A. 3 B. C. D.
B
8. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝ x与y＝logax（a＞0且a≠1）的图像可能是
（　C　）
A. B.
C. D.
C
二、填空题
9. （1）log32×log427＝ ；
（2）（lg 5）2＋lg 2×lg 5＋lg 2＝ .
10. 若log3x＋log3（x－2）＝1，则x＝ .
【解析】由已知可得：log3x＋log3（x－2）＝1 log3x（x－2）＝1（x＞2） x（x－2）＝3（x＞
2），解得x＝3或x＝－1（舍去），即x＝3.

1
3
11. 已知对数函数y＝log5（ax－1）的定义域为 ，则a＝ .
12. 若logax＞loga（x＋1），则a的取值范围为 .
【解析】因为x＜x＋1，logax＞loga（x＋1），所以y＝logax在定义域上为减函数，故有0＜a＜1.
2
（0，1）
三、解答题
13. 求值：
（1）log29×log34；
解：（1）原式＝log232×log322＝4log23×log32＝4.
（2） ；
解：（2）原式＝ ＝ ＝1.
（3）31＋log32＋lg 1－ln e3；
解：（3）原式＝3×2＋0－3＝3.
（4） －1＋log0.54.
解：（4）原式＝－1× ＝2×4＝8.
log 4
14. 设2a＝5b＝m，且 ＋ ＝1，求m的值.
解：因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，
则 ＝logm2， ＝logm5.
所以 ＋ ＝logm2＋logm5＝logm10＝1，
即m＝10.
15. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
（1）lg（x2yz）；
解：（1）lg（x2yz）＝lg x2＋lg y＋lg z＝2lg x＋lg y＋lg z.
（2）lg .
解：（2）lg ＝lg x－lg（yz2）＝lg x－（lg y＋2lg z）＝
lg x－lg y－2lg z.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 设a＝30.1，b＝0.8，c＝log70.8，则a，b，c的大小关系为（　B　）
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. b＜c＜a D. c＜a＜b
B
2. 设x＞0，y＞0，则下列各式正确的是（　D　）
A. ln（xy）＝ln x ln y B. （3x）y＝3x＋y
C. ln（x＋y）＝ln x ln y D. （3x）y＝3xy
【解析】因为a＝30.1＞30＝1＝0＞b＝0.8，即a＞1＞b＞0；又c＝log70.8＜log71＝0，所以c＜b
＜a.
D
3. 函数y＝log2（－x2－2x＋15）的定义域是（　A　）
A. （－5，3） B. （－∞，－5） （3，＋∞）
C. （－3，5） D. （－∞，－3） （5，＋∞）
【解析】要使函数有意义，必须满足－x2－2x＋15＞0，解得－5＜x＜3.所以该函数的定义域为（－5，
3）.
A
4. 已知非零实数a，b，c满足3a＝6b＝24c，则a，b，c之间的关系是（　D　）
A. ＝ ＋ B. ＝ ＋
C. ＝ ＋ D. ＝ ＋
【解析】设3a＝6b＝24c＝m，m＞0且m≠1，则a＝log3m，b＝log6m，c＝log24m， ＝logm3，
＝logm6， ＝logm24，依次代入选项计算即可得选项D正确.
D
5. 已知log2（x2－2）＝1，则x的值为（　C　）
A. －2 B. 2 C. ±2 D. 0
【解析】因为log2（x2－2）＝1＝log22，所以2＝x2－2，即x2＝4，解得x＝±2.
C
6. 设函数f（x）＝log3（mx－n），已知f（0）＝0，f（1）＝1，则f（13）＝（　B　）
A. 2 B. 3 C. 12 D. 13
【解析】因为 解得 所以f（x）＝log3（2x＋1）.所以f（13）
＝log3（2×13＋1）＝log327＝3.
B
7. 计算：（lg 2）2＋lg 2×lg 5＋lg 5＝（　A　）
A. 1 B. 2 C. 10 D. lg 5
【解析】（lg 2）2＋lg 2×lg 5＋lg 5＝（lg 2＋lg 5）×lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1.
A
8. 已知函数y＝log0.1x，则下列说法正确的是（　A　）
A. 若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2） B. 若x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）
C. 若x＞0，则f（x）＜0 D. 若x＞0，则f（x）＞0
【解析】∵0.1＜1，∴y＝log0.1x在定义域内单调递减，∴当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2），A正确，B错
误，当x＞1时，f（x）＜0，C，D错误.
A
二、填空题
9. 若函数f（x）＝ 则f ＝ 　 　.
【解析】由分段函数知f ＝log3 ＝－1，f ＝f（－1）＝3－1＝ .
10. 函数y＝loga ＋2（a＞0且a≠1）的图像恒过点 　 　.
【解析】令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝loga1＋2＝2，故y＝loga ＋2（a＞0且a≠1）的图
像恒过点 .


11. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，那么log36＝ .
【解析】由lg 2＝a，lg 3＝b可得 ＝log32＝ ，所以log36＝log32＋log33＝log32＋1＝ ＋1＝ .
12. 若loga ＜1，则a的取值范围是 　 （1，＋∞）　.
【解析】当a＞1时，由loga ＜1＝logaa，得a＞ ，则a＞1；当0＜a＜1时，由loga ＜1＝logaa，得
＞a＞0，则a的取值范围是 （1，＋∞）.

（1，＋∞）
三、解答题
13. 若函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图像过点（9，2），当x＝81时，求f（x）的
值.
解：因为函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图像过点（9，2），所以2＝loga9，解得a＝3，所以f
（x）＝log3x，当x＝81时，f（x）＝f（81）＝log381＝4.
14. 若α，β是方程x2－6x＋8＝0的两个根，求log2α＋log2β的值.
解：因为α，β是方程x2－6x＋8＝0的两个根，所以两根之积αβ＝8.
所以log2α＋log2β＝log2（αβ）＝log28＝3.
15. 已知a＞0且a≠1，解不等式：loga（x＋1）＜loga（2x－1）.
解：当0＜a＜1时，函数y＝logax为减函数，
所以x＋1＞2x－1＞0，解得 ＜x＜2；
当a＞1时，函数y＝logax为增函数，
所以0＜x＋1＜2x－1，解得x＞2.
综上所述，当0＜a＜1时，不等式的解集为 ；当a＞1时，不等式的解集为 .
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）lg ＋lg 3＝（　A　）
A. 0 B. 1 C. lg D. lg
【解析】lg ＋lg 3＝lg ＝lg 1＝ 0.
A
2. （2025 安徽文化素质分类考试）设a＝0.91.1，b＝1.10.9，c＝100，则（　A　）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
【解析】因为a＝0.91.1＜0.90＝1，b＝1.10.9＞1.10＝1， c＝100＝1，所以a＜c＜b.
A
3. （2025 安徽文化素质分类考试）在同一平面直角坐标系中，函数y＝x2＋2ax＋a与y＝ax
（a＞0且a≠1）的图像可能是（　D　）
A. B. C. D.
【解析】函数y＝x2＋2ax＋a＝2－a2＋a，所以二次函数的对称轴为x＝－a，顶点坐标为
.因为a＞0且a≠1，当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上单调递减，此时－a＜0，－a2＋a
＞0，所以函数y＝x2＋2ax＋a图像的顶点在第二象限，选项A，B错误；当a＞1时，函数y＝ax在R上单
调递增，此时－a＜0，－a2＋a＜0，所以函数y＝x2＋2ax＋a图像的顶点在第三象限，所以选项C错
误，选项D正确.
D
4. （2024 安徽文化素质分类考试）4 ＋log28＝（　D　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】4 ＋log28＝ ＋3＝5.
D
5. （2024 安徽文化素质分类考试）若指数函数y＝（2a－1）x是R上的增函数，则函数y＝
loga（x＋1）的图像可能是（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】因为指数函数y＝（2a－1）x是R上的增函数，所以2a－1＞1，可得a＞1，所以函数y＝loga
（x＋1）是（－1，＋∞）上的增函数.
A
6. （2023 安徽文化素质分类考试）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝logax，其中a＞0且
a≠1.若f g ＜0，则f（x）与g（x）在同一平面直角坐标系内的图像可能是
（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】由指数函数值域可知f ＞0，所以g ＜0，即loga ＜0，所以a＞1，所以函数f（x）与g
（x）在定义域内均为增函数.
C
7. （2023 安徽文化素质分类考试）已知函数f（x）＝ （a＞0且a≠1）.若f
（－a）＝3，则f（4）＝（　D　）
A. － B. C. －2 D. 2
【解析】由题意可知f（－a）＝ －（－a）＝3，得a＝2，故f（x）＝ 所以f（4）＝
log24＝2.
D
8. （2022 安徽文化素质分类考试）设log23＝a，log25＝b，则log245＝（　C　）
A. a2－b B. a2＋b C. 2a＋b D. 2a－b
【解析】log245＝log2 ＝log23＋log23＋log25＝2a＋b.
9. （2022 安徽文化素质分类考试）下列不等式正确的是（　D　）
A. 1.20.2＞1.20.5 B. 0.21.3＞0.21.2
C. log1.20.2＞log1.20.3 D. log0.20.3＞log0.21.2
【解析】因为1.2＞1，所以函数y＝1.2x和函数y＝log1.2x是定义域上的增函数，所以选项A，C错误；因为
0＜0.2＜1，所以函数y＝0.2x和函数y＝log0.2x是定义域上的减函数，所以选项B错误.故选D.
C
D
10. （2022 安徽文化素质分类考试）已知函数y＝ax＋b的图像如图所示，则在同一平面直角
坐标系中，函数y＝ax和y＝logbx的图像可能是（　C　）
A. B.
C. D.
C
【解析】由题意知，a＞1，b＞1，所以函数y＝ax和函数y＝logbx都是定义域上的增函数.
11. （2021 安徽文化素质分类考试）log39＝（　A　）
A. 2 B. 3 C. －2 D. －3
【解析】log39＝2.
A
12. （2021 安徽文化素质分类考试）函数f（x）＝log0.5（x＋1）的图像大致是（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】函数f（x）＝log0.5（x＋1）是（－1，＋∞）上的减函数.
A
13. （2021 安徽文化素质分类考试） ＋0＝（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】 ＋0＝＋1＝9 ＋1＝3＋1＝4.
C
－
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