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第三章 万有引力定律
第3节 预言未知星体 计算天体质量
在牛顿之前，彗星被看作是一种神秘的现象。你知道下一次哈雷彗星回归的时间是什么时候吗？
哈雷彗星1986年回归路线图
1.了解计算天体质量的基本思路。
2.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
3.理解研究天体运动的基本思路及主要类型。
一、预言彗星回归
哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
英国的亚当斯和法国的勒维耶
二、预言未知星体
1846年9月23日晚,由德国的伽勒在柏林天文台用望远镜在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星
柏林天文台
人们称海王星为“笔尖下发现的行星” 。
冥王星是怎样发现的？
海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶的方法预言另一颗新行星的存在。
在预言提出之后，1930年，汤博发现了太阳系的后来曾被称为第九大行星的冥王星。
美国宇航局（NASA）提供的冥王星（上者）与它的卫星的画面
Fn
G
θ
m
F引
思考1：与地球保持相对静止的在任意纬度处地面上的物体，若考虑地球自转的影响，其重力方向是什么样的？
重力是万有引力的一个分力，方向是竖直向下，不指向地心。
三、计算天体质量
思考2：为了测地球的质量，需要对模型进行怎样的简化？能简化吗？
F
O

赤道：
南极北极：
F
Fn
O

mg
质量为1kg的物体在赤道时需要的向心力：
F向=mr (2π/T)2 =1×6400000×4×3.142/(24×60×60)2=0.034N
＜＜ mg=9.8N
忽略向心力，即不考虑地球的自转
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
地面的重力加速度 g 和地球半径 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦测得引力常量 G，就可以算出地球的质量M 。因此，卡文迪什被称为“第一个称出地球质量的人”。
基本思路
G重 = F引
R-----中心天体的半径
g-----中心天体表面的重力加速度
根据天体表面重力加速度求天体质量
不考虑地球自转的影响，物体在天体表面附近受到的重力近似等于万有引力
梳理深化
例题1：设地面附近的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，试估算地球的质量．
答案　ME＝
忽略地球自转
利用引力和重力的关系，知道了地面的重力加速度 g 和地球半径 R ，测出引力常量 G，就可以算出地球的质量m 。 那么太阳的质量呢？是否可以采用同样的方法估算出太阳的质量？
三、计算天体质量
方法一：根据万有引力提供行星或卫星绕中心天体做圆周运动的向心力，求中心天体质量。（环绕法）
基本思路
（1）简化模型：将行星绕太阳的运动看成是匀速圆周运动。
（2）万有引力充当向心力： F引=Fn
（3）依据万有引力定律和牛顿第二定律列出方程，从中解出太阳的质量。
例：把地球绕太阳的公转看作是匀速圆周运动，已知轨道半径约为1.5×1011 m，引力常量G=6.67×10－11 N·m2/kg2，估算太阳的质量。
注意：环绕法只能求出中心天体的质量。
方法二：根据天体表面重力加速度求天体质量。
G重 = F引
R-----中心天体的半径
g-----中心天体表面的重力加速度
注意:（1）此法适用于无卫星的天体或虽有卫星，但不知道其有关参量。
（2）有时没有直接告诉天体表面的重力加速度，但可以间接求出，也适用此方法。
物体在天体表面附近受到的重力近似等于万有引力
思考与讨论：怎样计算木星的质量和月球的质量？
要计算木星的质量，对木星的卫星进行测量，只要测得一颗卫星的轨道半径和周期，就可计算木星的质量。
木星和它的卫星
要计算月球的质量，由于人类发射的航天器会环绕月球运行，只要测得航天器绕月运行的轨道半径和周期，就可计算月球的质量。
特别说明
（1）地球的公转周期（365天）、地球自转周期（1天）、月球绕地球的公 转周期（27.3天）等，在估算天体质量时，常作为已知条件。
（2）有些题目中，引力常量G不是已知条件，但已知地球表面重力加速度g和地球半径R，地球质量M等（地球质量M有时也不告诉），处理方法：
假设有一质量为m’的物体在地球表面（忽略地球自转，G=F引）
GM=gR2 （地球质量未知，利用黄金代换式整体代换）
（地球质量已知）
四、天体密度的计算
1、根据天体表面重力加速度求天体密度
V=R3
2.利用环绕天体（如卫星）求天体密度
结论：当卫星环绕中心天体表面运动时，轨道半径r≈R，则此中心天体的密度为：
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性
B.科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析
C.冥王星被称为“笔尖下发现的行星”
D.研究黑洞时，万有引力定律不再适用
2．天文学家发现某恒星周围有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。引力常量为G ，由此可推算出( )
A．行星的质量 B．行星的半径
C．恒星的质量 D．恒星的半径
C
3.利用下列哪组数据可以计算出地球的质量 （ ）
A. 地球半径R和地球表面的重力加速度g
B. 卫星绕地球运动的轨道半径r和周期T
C. 卫星绕地球运动的轨道半径r和角速度ω
D. 卫星绕地球运动的线速度v和周期T
ABCD
4.如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为（ ）
A. B. C. D.
B
一、预言哈雷彗星的回归
二、发现未知星体
海王星、冥王星等
三、计算天体质量
（1）计算地球质量:向心力等于万有引力
（2）计算天体质量:向心力等于万有引力
四、计算天体密度
M ＝ → ρ ＝
M ＝ → ρ ＝
r ＝ → ρ ＝
在捷克首都布拉格举行的国际天文学联合会大会就有关行星新定义的决议草案进行表决。天文学家在会上表决通过了五号方案，冥王星降级了，不再被认为是行星了！。冥王星被定义为“矮行星”，“矮行星”不是行星，冥王星与行星地位无缘。
课外拓展
冥王星不再是行星

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