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浙江省宁波市北仑区江南中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题
一、选择题(每题只有一个正确选项，每题3分，共30分)
1．（2025八上·北仑期中）如图，四个图标中是轴对称图形的是 (　　)
A． B． C． D．
2．（2025八上·北仑期中）如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
3．（2025八上·北仑期中）自行车的支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是 (　　)
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短
4．（2025八上·北仑期中）下列说法正确的是 (　　)
A．若a>b， 则a-3b， 则
C．若a>b， 则 D．若： 则a>b
5．（2025八上·北仑期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．a： b： c=5： 12： 13
C．∠C=∠A-∠B
D．
6．（2025八上·北仑期中）下列选项中，可以用来说明“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是(　　)
A．a=3， b=-2 B．a=3， b=4 C．a=3，b=-4 D．a=-3， b=2
7．（2025八上·北仑期中）如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， 用尺规作图作出射线AP， 射线AP交BC于点D， CD=6，AD=13，E为边 AB 上的一个动点，则DE的值不可能为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
8．（2025八上·北仑期中）将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则∠ACD的度数为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
9．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， BC=6， AB=AC=5， 将边BC沿BE翻折， 使点C落在CA延长线上的点D 处，折痕与边 AC交于点E，则线段DA的长为(　　)
A．1.4 B．1.8 C．2.2 D．3.6
10．（2025八上·北仑期中）如图， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以Rt△ABC 的三边为边在 AB的同侧作三个正方形，顶点H恰为DE 的中点，若阴影部分(四边形 KNCM)的面积为16，则正方形ABHK 的面积为(　　)
A．64 B．80 C．85 D．90
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．（2025八上·北仑期中）“a的3倍与b的差是负数”用不等式表示为　 　.
12．（2025八上·北仑期中）已知等腰三角形的一个内角为30°，则顶角为　 　度.
13．（2025八上·北仑期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 　 　(填“真”或“假”)命题.
14．（2025八上·北仑期中）如图， △ABC≌△ADE， 点B 的对应点点D落在边 BC上， 若∠B=58°， 则∠EDC 的度数是　 　.
15．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=AC， BC= 5， △ABC的面积为20， AC的垂直平分线EF交 AB于点E，交AC于点F，若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　.
16．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， ∠ABC =45°， CD⊥AB 于点 D ， BE 平分 ∠ABC ， 且 BE⊥AC 于点 E ， 与 CD 相交于点 F ， DH⊥BC 于点 H ， 交 BE 于点 G . 下列结论： ① BD = CD ，② CE= BF， ③ DG=CF ，④ BD=(1+ ) AD，其中正确的有 　 　(填序号)
三、解答题(共72分)
17．（2025八上·北仑期中） 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.
18．（2025八上·北仑期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上.
（1）在图中画出△DEF与△ABC 关于直线l成轴对称，点D与点A 对应，画出直线l和△DEF；
（2）在直线 l上找一点 P，使PB+PA 的值最小.(在图形中标出点 P，保留作图痕迹)
19．（2025八上·北仑期中）如图， 点B， E， C， F在同一直线上， 若AB=DE， AC=DF， BF=CE.
（1） 求证： △ABC≌△DEF
（2） 若∠D=65°， ∠E=40°， 求∠COF 的度数.
20．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AD⊥BC， AE平分∠BAC， 若∠B=75°， ∠C=35°
（1） 求∠DAE 的度数；
（2）小明认为不需要知道∠B，∠C的度数，只需要知道∠B-∠C的度数，在其它条件不变的情况下，也能求出∠DAE 的度数.你认为可以吗 若能，请你求当∠B-∠C=25°时，直接写出∠DAE 的度数；若不能，请说明理由.
21．（2025八上·北仑期中）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励.已知购买一件甲种奖品与一种乙种奖品共需80元，用120元购进甲种奖品与用200元购进乙种奖品的数量相同.
（1）求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元/件；
（2）该班计划购进甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品的数量不多于12件，同时此次购买的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案，请写出所有的购买方案.
22．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=CB， ∠ABC=90°， F为AB延长线上一点， 点E在BC.上，且BE=BF.
（1） 若∠ACF=60°， 求∠CAE的度数；
（2） 若BE=1， CE= ，求证： AE平分∠CAB.
23．（2025八上·北仑期中）如图， 已知在△ABC中， ∠B=90°， AB=8cm， BC=6cm， △ABC边上有一个动点P，从点B出发以每秒 1cm的速度沿B→C→A→B 的方向运动，最后回到点B.设出发的时间为 t秒.
（1）当t=2秒时， BP 的长为　 　； 当t=11秒时， BP 的长为　 　；
（2）求出发时间为几秒时，△BCP 是等腰三角形
24．（2025八上·北仑期中）如图1， 在Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=3， BC=4， 点D在BC上， 连结AD， 将△ACD沿 AD 翻折得到△AED， △AED 落在△ABC 所在的平面.
（1）如图2，当点E落在AB边上时，求 CD 的长；
（2）如图3， 当点D与点B重合时， 过点A作AP∥CB交BE于点P， 求AP的长
（3）如图4，在(2)的条件下，点F是CB延长线上的一点，作∠EBF角平分线BG交AP 的延长线于点H， △AEP 的面积为S1， △PBH的面积为S2， 则 　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，
∴，即；
故选B．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和进行求解即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
4．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故A错误；
B、取，，则，但，即，故B错误；
C、当时，，则不成立，故C错误；
D、由于，则，即，两边除以得，故D正确；
故选：D．
【分析】根据不等式的节本性质逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：A：由可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴没有角，故不是直角三角形；
对于B：设，
∵，
∴是直角三角形；
对于C：∵，且，
∴，
∴是直角三角形；
对于D：∵，
∴，故是直角三角形；
因此，不是直角三角形的只有A；
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各选项是否满足直角三角形的条件即可．
6．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵ 对于选项 C：，
但，
∴ 原命题“若，则”不成立．
其他选项均不符合题意，故不是反例．
故选：C.
【分析】需要找到满足但 的反例，以证明命题为假．
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴的值不可能为5；
故选：A．
【分析】过点作于点，由角平分线的性质定理可得，然后根据“点到直线的垂线段最短”可进行求解．
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据三角板得到相关角的度数，运用外角的性质得到角度即可；
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：，，
∵点C落在延长线上的点D处，
∴，即，
设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】由折叠的性质可知：，，设，则有，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
是中点，
，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积的面积，
∴的面积＝阴影的面积，
∵的面积，
∴，
∴正方形的面积．
故选：B．
【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明，得到，由是中点，得到，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到的面积的面积，因此的面积＝阴影的面积，由三角形面积公式得到的面积，由勾股定理得到，即可得到正方形的面积．
11．【答案】3a-b<0
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解．
12．【答案】30或120
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：此题要分情况考虑：
①30°是它的顶角；
②30°是它的底角，则顶角是180°-30°×2=120°．
故答案为：30或120．
【分析】已知等腰三角形的一个内角为30°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当30°是顶角或者30°是底角两种情况．
13．【答案】假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：假．
【分析】先把题设和结论交换位置写出逆命题，然后判断解答即可.
14．【答案】64°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的性质得出，，进而得到，由即可求解．
15．【答案】10.5
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，为边的中点，
∴，
∵垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∵的周长，
∴当点A、M、D三点共线时，的值为最小，最小值即为的长，
∵的面积为20，即，
∴，
∴的周长最小值为；
故答案为10.5．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可知，，然后可得周长的最小值即为的最小值，最小值即为的长，然后问题可求解．
16．【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴等腰直角三角形，
∴，①正确；
∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由题意可知点F不是的中点，所以，故③错误；
∵，
∴，
∴，，即，故②正确；
在上取一点Q，使得，连接，如图所示：
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的有①②④；
故答案为①②④．
【分析】由题意易得是等腰直角三角形，，然后可得，，进而证明，最后问题可求解．
17．【答案】解：由①得： x<2
有②得： 6x-2-9x+2≤6
x≥-2
∴不等式组的解为-2≤x<2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示出来即可．
18．【答案】（1）解：先连接，作的垂直平分线，观察发现是组成的正方形的对角线，则作出该正方形的另一条对角线并延长对角线，这条对角线即为直线，
分别作点、关于直线的对称点，连接、、，得到，如下图所示：
（2）解：根据轴对称的性质，连接，与直线的交点为所求的点，
因为点与点关于直线对称，
所以，
那么，
当、、三点共线时，的值最小， 即的值最小
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【分析】（1）连接，作的垂直平分线，这条垂直平分线即为直线，分别作点、关于直线的对称点，连接、、得到即可；
（2）连接与直线的交点即为所求的点，根据轴对称的性质得到当、、三点共线时，的值最小， 即证得的值最小．
19．【答案】（1）证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
又∵AB=DE， AC=DF，
∴△ABC≌△DEF
（2）解： ∵△ABC≌△DEF，
，
∴∠FOC=180°-∠ACB-∠DFE=30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证；
（2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
20．【答案】（1）解：∵∠B=75°， ∠C=35°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAC=35°
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=20°
（2）解：可以
当∠B-∠C=25°时， ∠DAE=12.5°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（2）解：可以，理由如下：
∵，平分，
，
，
，
，
，
∴当时，．
故答案为：12.5°.
【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解；
（2）同理（1）可得，然后问题可求解．
21．【答案】（1）解：设甲种奖品单价为x元/件，则乙种奖品的单价为(80-x)元/件，
由题意得： ，
解得： x=30，
经检验：x=30是原方程得解且符合题意，
∴80-x=50(元)，
所以甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元
（2）解：设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品 (20-a)件，
由题意得：，
解得： 10≤a≤12 ，
又因为a是整数， 所以a=10， 11， 12，
所以购买方案分别为甲 10件，乙10件；
甲11件， 乙9件；
甲12件， 乙8件
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种奖品单价为x元／件，则乙种奖品的单价为元／件，由题意列分式方程，进而求解即可；
（2）设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品件，由题意易列不等式组，然后进行求解即可．
22．【答案】（1）解：∵AB=CB， ∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠FCA-∠ACB=60°-45°=15°，
∵BE=BF， ∠ABE=∠CBF， AB=CB，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FCB=15°，
∴∠CAE=30°
（2）证明：过点E作 EG⊥AC 交AC 于点 G，
则∠CEG=180°-∠CGE-∠ECG=45°，
∴∠CEG=∠GCE，
∴设CG=EG=x，
则在Rt△CEG中， ，
∵x>0， ∴x=1，
∴EG=BG=1，
∴AE 平分∠CAB
【知识点】勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解；
（2）过点作交于点，由题意可得，设，然后根据勾股定理可得，进而根据角平分线的判定定理进行证明．
23．【答案】（1）2cm；5cm
（2）解：
当点 P 在BC上时，不存在.
当点 P在边 AC上时，
当CB=CP=6时， t =12，
当BC=BP时，
过点B作BG⊥AC交AC于点G，
由面积法得 ，
在 R t△CBG中，由勾股定理得： ，
∴CG=GP= ， ∴BC+CP=13.2cm，
∴t=13.2，
当PC=PB时， ∠C=∠PBC，
∴∠PBC=90°-∠PBC=90°-∠C=∠A，
∴PB=PA=PC=5cm，
∴t =11，
当点P在边AB上时， 在Rt△CBP中， 只有CB=BP=6 cm，
∴t =18，
综上所述，当出发时间为12秒，13.2秒，11秒，18秒时，△BCP 是等腰三角形
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【解答】（1）解：当秒时，动点运动了，
此时还未到达点，
∴的长为，
当秒时，动点运动了，
∴此时点在的运动过程中，
∴，
∵，
∴，
∴在的中点上，同时为直角三角形，
∴此时的长为．
故答案为：2cm；5cm．
【分析】（1）根据题意可以得的长为点运行的速度与时间之积，当时需要考虑此时点已经运行在上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案．
（2）此处需要分情况讨论，①当在上时，显然无解．②当在上时，需要分三种情况讨论，即，，．时，作垂线，利用直角三角形面积公式得到，进而求得的值并完成求解；时，容易得到的值，进而完成求解；时，利用等腰三角形的性质可以得到，利用相似三角形对应线段成比例，可以求得，最后完成求解．③当在上，此时，即可得到答案．
24．【答案】（1）解：在直角△ABC中，
由勾股定理得：
∵AB>0， ∴AB=5
设CD长为x， 由折叠得DE=CD= x
解得：
∴CD的长为
（2）解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴
（3）
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：由（2）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】（1）根据勾股定理求得，然后根据折叠的性质和三角形的面积公式求出CD长即可；
（2）由折叠可知：，设，即可得到，再根据勾股定理可建立方程进行求解；
（3）由（2）可得：，则有，然后可得，则有，根据勾股定理可得，进而可得，最后问题可求解．
1 / 1浙江省宁波市北仑区江南中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题
一、选择题(每题只有一个正确选项，每题3分，共30分)
1．（2025八上·北仑期中）如图，四个图标中是轴对称图形的是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项．
2．（2025八上·北仑期中）如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是(　　)
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边长为，
∴，即；
故选B．
【分析】根据三角形的三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和进行求解即可．
3．（2025八上·北仑期中）自行车的支架一般都会采用如图△ABC的设计，这种方法应用的几何原理是 (　　)
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形的稳定性 D．两点之间线段最短
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性，
故选：C．
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
4．（2025八上·北仑期中）下列说法正确的是 (　　)
A．若a>b， 则a-3b， 则
C．若a>b， 则 D．若： 则a>b
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，故A错误；
B、取，，则，但，即，故B错误；
C、当时，，则不成立，故C错误；
D、由于，则，即，两边除以得，故D正确；
故选：D．
【分析】根据不等式的节本性质逐项判断即可．
5．（2025八上·北仑期中）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C=3： 4： 5
B．a： b： c=5： 12： 13
C．∠C=∠A-∠B
D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】解：A：由可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴没有角，故不是直角三角形；
对于B：设，
∵，
∴是直角三角形；
对于C：∵，且，
∴，
∴是直角三角形；
对于D：∵，
∴，故是直角三角形；
因此，不是直角三角形的只有A；
故选A．
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，判断各选项是否满足直角三角形的条件即可．
6．（2025八上·北仑期中）下列选项中，可以用来说明“若a>b，则|a|>|b|”是假命题的反例是(　　)
A．a=3， b=-2 B．a=3， b=4 C．a=3，b=-4 D．a=-3， b=2
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵ 对于选项 C：，
但，
∴ 原命题“若，则”不成立．
其他选项均不符合题意，故不是反例．
故选：C.
【分析】需要找到满足但 的反例，以证明命题为假．
7．（2025八上·北仑期中）如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， 用尺规作图作出射线AP， 射线AP交BC于点D， CD=6，AD=13，E为边 AB 上的一个动点，则DE的值不可能为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示：
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴，
∴的值不可能为5；
故选：A．
【分析】过点作于点，由角平分线的性质定理可得，然后根据“点到直线的垂线段最短”可进行求解．
8．（2025八上·北仑期中）将一副直角三角板按照如图所示的方式摆放，则∠ACD的度数为(　　)
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴，
故选：B．
【分析】根据三角板得到相关角的度数，运用外角的性质得到角度即可；
9．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， BC=6， AB=AC=5， 将边BC沿BE翻折， 使点C落在CA延长线上的点D 处，折痕与边 AC交于点E，则线段DA的长为(　　)
A．1.4 B．1.8 C．2.2 D．3.6
【答案】C
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：，，
∵点C落在延长线上的点D处，
∴，即，
设，则有，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴；
故选：C．
【分析】由折叠的性质可知：，，设，则有，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可．
10．（2025八上·北仑期中）如图， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以Rt△ABC 的三边为边在 AB的同侧作三个正方形，顶点H恰为DE 的中点，若阴影部分(四边形 KNCM)的面积为16，则正方形ABHK 的面积为(　　)
A．64 B．80 C．85 D．90
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
是中点，
，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积的面积，
∴的面积＝阴影的面积，
∵的面积，
∴，
∴正方形的面积．
故选：B．
【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明，得到，由是中点，得到，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到的面积的面积，因此的面积＝阴影的面积，由三角形面积公式得到的面积，由勾股定理得到，即可得到正方形的面积．
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．（2025八上·北仑期中）“a的3倍与b的差是负数”用不等式表示为　 　.
【答案】3a-b<0
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：的3倍表示为，
∴根据题意得，，
故答案为：．
【分析】根据用字母表示数或数量关系及书写规程即可求解．
12．（2025八上·北仑期中）已知等腰三角形的一个内角为30°，则顶角为　 　度.
【答案】30或120
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：此题要分情况考虑：
①30°是它的顶角；
②30°是它的底角，则顶角是180°-30°×2=120°．
故答案为：30或120．
【分析】已知等腰三角形的一个内角为30°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当30°是顶角或者30°是底角两种情况．
13．（2025八上·北仑期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 　 　(填“真”或“假”)命题.
【答案】假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：假．
【分析】先把题设和结论交换位置写出逆命题，然后判断解答即可.
14．（2025八上·北仑期中）如图， △ABC≌△ADE， 点B 的对应点点D落在边 BC上， 若∠B=58°， 则∠EDC 的度数是　 　.
【答案】64°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的性质得出，，进而得到，由即可求解．
15．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=AC， BC= 5， △ABC的面积为20， AC的垂直平分线EF交 AB于点E，交AC于点F，若D为BC边的中点，M是线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为　 　.
【答案】10.5
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，为边的中点，
∴，
∵垂直平分线交于点，交于点，
∴，
∵的周长，
∴当点A、M、D三点共线时，的值为最小，最小值即为的长，
∵的面积为20，即，
∴，
∴的周长最小值为；
故答案为10.5．
【分析】连接，根据等腰三角形的性质可知，，然后可得周长的最小值即为的最小值，最小值即为的长，然后问题可求解．
16．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， ∠ABC =45°， CD⊥AB 于点 D ， BE 平分 ∠ABC ， 且 BE⊥AC 于点 E ， 与 CD 相交于点 F ， DH⊥BC 于点 H ， 交 BE 于点 G . 下列结论： ① BD = CD ，② CE= BF， ③ DG=CF ，④ BD=(1+ ) AD，其中正确的有 　 　(填序号)
【答案】①②④
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴等腰直角三角形，
∴，①正确；
∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由题意可知点F不是的中点，所以，故③错误；
∵，
∴，
∴，，即，故②正确；
在上取一点Q，使得，连接，如图所示：
∴是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的有①②④；
故答案为①②④．
【分析】由题意易得是等腰直角三角形，，然后可得，，进而证明，最后问题可求解．
三、解答题(共72分)
17．（2025八上·北仑期中） 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：由①得： x<2
有②得： 6x-2-9x+2≤6
x≥-2
∴不等式组的解为-2≤x<2
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】可根据一元一次不等式组的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示出来即可．
18．（2025八上·北仑期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上.
（1）在图中画出△DEF与△ABC 关于直线l成轴对称，点D与点A 对应，画出直线l和△DEF；
（2）在直线 l上找一点 P，使PB+PA 的值最小.(在图形中标出点 P，保留作图痕迹)
【答案】（1）解：先连接，作的垂直平分线，观察发现是组成的正方形的对角线，则作出该正方形的另一条对角线并延长对角线，这条对角线即为直线，
分别作点、关于直线的对称点，连接、、，得到，如下图所示：
（2）解：根据轴对称的性质，连接，与直线的交点为所求的点，
因为点与点关于直线对称，
所以，
那么，
当、、三点共线时，的值最小， 即的值最小
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；作图-作给定图形的对称轴
【解析】【分析】（1）连接，作的垂直平分线，这条垂直平分线即为直线，分别作点、关于直线的对称点，连接、、得到即可；
（2）连接与直线的交点即为所求的点，根据轴对称的性质得到当、、三点共线时，的值最小， 即证得的值最小．
19．（2025八上·北仑期中）如图， 点B， E， C， F在同一直线上， 若AB=DE， AC=DF， BF=CE.
（1） 求证： △ABC≌△DEF
（2） 若∠D=65°， ∠E=40°， 求∠COF 的度数.
【答案】（1）证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
又∵AB=DE， AC=DF，
∴△ABC≌△DEF
（2）解： ∵△ABC≌△DEF，
，
∴∠FOC=180°-∠ACB-∠DFE=30°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）由题意易得，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证；
（2）由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
20．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AD⊥BC， AE平分∠BAC， 若∠B=75°， ∠C=35°
（1） 求∠DAE 的度数；
（2）小明认为不需要知道∠B，∠C的度数，只需要知道∠B-∠C的度数，在其它条件不变的情况下，也能求出∠DAE 的度数.你认为可以吗 若能，请你求当∠B-∠C=25°时，直接写出∠DAE 的度数；若不能，请说明理由.
【答案】（1）解：∵∠B=75°， ∠C=35°
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠EAC=35°
∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=20°
（2）解：可以
当∠B-∠C=25°时， ∠DAE=12.5°
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（2）解：可以，理由如下：
∵，平分，
，
，
，
，
，
∴当时，．
故答案为：12.5°.
【分析】（1）由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解；
（2）同理（1）可得，然后问题可求解．
21．（2025八上·北仑期中）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励.已知购买一件甲种奖品与一种乙种奖品共需80元，用120元购进甲种奖品与用200元购进乙种奖品的数量相同.
（1）求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元/件；
（2）该班计划购进甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品的数量不多于12件，同时此次购买的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案，请写出所有的购买方案.
【答案】（1）解：设甲种奖品单价为x元/件，则乙种奖品的单价为(80-x)元/件，
由题意得： ，
解得： x=30，
经检验：x=30是原方程得解且符合题意，
∴80-x=50(元)，
所以甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元
（2）解：设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品 (20-a)件，
由题意得：，
解得： 10≤a≤12 ，
又因为a是整数， 所以a=10， 11， 12，
所以购买方案分别为甲 10件，乙10件；
甲11件， 乙9件；
甲12件， 乙8件
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲种奖品单价为x元／件，则乙种奖品的单价为元／件，由题意列分式方程，进而求解即可；
（2）设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品件，由题意易列不等式组，然后进行求解即可．
22．（2025八上·北仑期中）如图， 在△ABC中， AB=CB， ∠ABC=90°， F为AB延长线上一点， 点E在BC.上，且BE=BF.
（1） 若∠ACF=60°， 求∠CAE的度数；
（2） 若BE=1， CE= ，求证： AE平分∠CAB.
【答案】（1）解：∵AB=CB， ∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠FCB=∠FCA-∠ACB=60°-45°=15°，
∵BE=BF， ∠ABE=∠CBF， AB=CB，
∴△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠FCB=15°，
∴∠CAE=30°
（2）证明：过点E作 EG⊥AC 交AC 于点 G，
则∠CEG=180°-∠CGE-∠ECG=45°，
∴∠CEG=∠GCE，
∴设CG=EG=x，
则在Rt△CEG中， ，
∵x>0， ∴x=1，
∴EG=BG=1，
∴AE 平分∠CAB
【知识点】勾股定理；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解；
（2）过点作交于点，由题意可得，设，然后根据勾股定理可得，进而根据角平分线的判定定理进行证明．
23．（2025八上·北仑期中）如图， 已知在△ABC中， ∠B=90°， AB=8cm， BC=6cm， △ABC边上有一个动点P，从点B出发以每秒 1cm的速度沿B→C→A→B 的方向运动，最后回到点B.设出发的时间为 t秒.
（1）当t=2秒时， BP 的长为　 　； 当t=11秒时， BP 的长为　 　；
（2）求出发时间为几秒时，△BCP 是等腰三角形
【答案】（1）2cm；5cm
（2）解：
当点 P 在BC上时，不存在.
当点 P在边 AC上时，
当CB=CP=6时， t =12，
当BC=BP时，
过点B作BG⊥AC交AC于点G，
由面积法得 ，
在 R t△CBG中，由勾股定理得： ，
∴CG=GP= ， ∴BC+CP=13.2cm，
∴t=13.2，
当PC=PB时， ∠C=∠PBC，
∴∠PBC=90°-∠PBC=90°-∠C=∠A，
∴PB=PA=PC=5cm，
∴t =11，
当点P在边AB上时， 在Rt△CBP中， 只有CB=BP=6 cm，
∴t =18，
综上所述，当出发时间为12秒，13.2秒，11秒，18秒时，△BCP 是等腰三角形
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【解答】（1）解：当秒时，动点运动了，
此时还未到达点，
∴的长为，
当秒时，动点运动了，
∴此时点在的运动过程中，
∴，
∵，
∴，
∴在的中点上，同时为直角三角形，
∴此时的长为．
故答案为：2cm；5cm．
【分析】（1）根据题意可以得的长为点运行的速度与时间之积，当时需要考虑此时点已经运行在上，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案．
（2）此处需要分情况讨论，①当在上时，显然无解．②当在上时，需要分三种情况讨论，即，，．时，作垂线，利用直角三角形面积公式得到，进而求得的值并完成求解；时，容易得到的值，进而完成求解；时，利用等腰三角形的性质可以得到，利用相似三角形对应线段成比例，可以求得，最后完成求解．③当在上，此时，即可得到答案．
24．（2025八上·北仑期中）如图1， 在Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=3， BC=4， 点D在BC上， 连结AD， 将△ACD沿 AD 翻折得到△AED， △AED 落在△ABC 所在的平面.
（1）如图2，当点E落在AB边上时，求 CD 的长；
（2）如图3， 当点D与点B重合时， 过点A作AP∥CB交BE于点P， 求AP的长
（3）如图4，在(2)的条件下，点F是CB延长线上的一点，作∠EBF角平分线BG交AP 的延长线于点H， △AEP 的面积为S1， △PBH的面积为S2， 则 　 　.
【答案】（1）解：在直角△ABC中，
由勾股定理得：
∵AB>0， ∴AB=5
设CD长为x， 由折叠得DE=CD= x
解得：
∴CD的长为
（2）解：由折叠的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴
（3）
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；等积变换
【解析】【解答】解：由（2）可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】（1）根据勾股定理求得，然后根据折叠的性质和三角形的面积公式求出CD长即可；
（2）由折叠可知：，设，即可得到，再根据勾股定理可建立方程进行求解；
（3）由（2）可得：，则有，然后可得，则有，根据勾股定理可得，进而可得，最后问题可求解．
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