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浙江省温州市第二中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·温州期中） 若 则 的值是(　　)
A． B． C． D．3
2．（2025九上·温州期中）抛物线 与y轴的交点坐标为(　　)
A．(0， - 1) B．(0， 1) C．(-1， 0) D．(1， 0)
3．（2025九上·温州期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是(　　) 、
A．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．在一个只有红球的袋中，摸出黑球
C．打开电视机，正在播放动画片
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
4．（2025九上·温州期中）如图，正三角形的三个顶点在圆上，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个角度至少为(　　)
A．60° B．72° C．90° D．120°
5．（2025九上·温州期中）已知⊙O的半径为6，圆心O在坐标原点，点P的坐标为(3，4)，则点 P与⊙O 的位置关系是(　　)
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
6．（2025九上·温州期中） 如图， AB是⊙O的直径， 弦CD交AB于点 E， 连接AC， AD. 若∠BAC=30°， 则∠D的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．（2025九上·温州期中）如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3∶5.若BC=15，则GH的长为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（2025九上·温州期中） 如图， E是矩形ABCD的边CB上一点， 连结DE， 作AF⊥DE于点F ， AB=3， AD=2，CE=1， 则AF的长为(　　)
A． B． C． D．
9．（2025九上·温州期中） 如图， AB是⊙O的直径， ∠ACD=∠CAB， AD=4， AC=8，则⊙O的半径为(　　)
A．2 B． C．4 D．
10．（2025九上·温州期中） 已知点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)为抛物线. 上两点，且. 则下列说法正确的是(　　)
A．若 则 B．若. 则
C．若 则 D．若 则
二、填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·温州期中） 线段c是线段a， b的比例中项线段， 已知a=2， b=6， 则c=　 　.
12．（2025九上·温州期中）一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为　 　.
13．（2025九上·温州期中） 如图， 点 C， D在以AB为直径的半圆O上， 且OD∥BC， 若∠AOD=40°， 则的度数为　 　.
14．（2025九上·温州期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线y= mx+n交于A (2， p) ，B(-4，q) 两点， 则关于x的方程( 的解是　 　.
15．（2025九上·温州期中） 如图， AB是⊙O的弦， 点C是⊙O上的一个动点， 且∠ACB=45°.若点M， N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　 　.
16．（2025九上·温州期中） 如图， 已知矩形ABCD中， BC=3， 点E， F是AD边上的三等分点， 连结 CE， 将△EDC绕点 E旋转得△ED'C'， 使点 D' 落在 CE的延长线上，连结 BC'，交 ED'于点 G，若 BC'恰好经过点F，则线段CE的长为　 　.
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17．（2025九上·温州期中）已知二次函数的图象顶点为(1，3)，且经过点 (3，—9).
（1）求该二次函数的表达式.
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标.
18．（2025九上·温州期中）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”，“支付宝”，“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.
（1）陆老师选择用“微信”支付的概率是　 　.
（2）请用画树状图或列表的方法表示两位老师的所有支付方式，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.
19．（2025九上·温州期中）如图， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E， 连结AC.
（1） 已知 求∠CAB 的度数.
（2） 若CD=8， BE=2， 求⊙O的半径.
20．（2025九上·温州期中）如图， 锐角△ABC中， AB>AC， AD是BC边上的高线，在AB边上取点E， 使EC=EB， CE与AD交于点 F.
（1） 求证： △CDF∽△BDA.
（2） 若F为AD的中点， △ACF的面积为1， 求△ABC的面积.
21．（2025九上·温州期中）数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”.方法如下：如图，已知线段AB的长为a(a>0)，延长BA至点 C，使AC=1，以BC的中点O为圆心，OB 的长为半径作圆.
①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D：
②作 CD 的中垂线交⊙O于E， F.
所得AE的长是AB的长的算术平方根.
（1）请在图中用尺规作图完成①②步骤(保留作图痕迹，不写作法).
（2） 求证：
22．（2025九上·温州期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量m(千克)与时间 (天)存在一次函数关系，数据如下表：
时间t(天) 1 2 5 10 20
日销售量m(kg) 128 136 160 200 280
在这30天内，前25天每天的价格y(元/千克)与时间t(天)的函数关系式为 (1≤t≤25且t为整数)；从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克.
（1）直接写出m关于t的函数关系式　 　.
（2）求第30天当天的销售利润.
（3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润.
23．（2025九上·温州期中）已知二次函数. 的图像象经过点(1，0)
（1） 求b的值.
（2） 当-2≤x≤3时， 求y的取值范围.
（3） 当p≤x≤q时， 函数y的范围是r≤y≤r+4， 且p≥-2， 则q-p的最大值为　 　.
24．（2025九上·温州期中）如图1， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E， 连结AC， 过点D作DF∥AC，交 于点F， 连结CF.
（1） 求证：
（2） 如图2， 过点A作AG∥CD， 交射线DF于点G， 射线CO交线段AG于点H.
①若∠CFD=2∠FCD， AG=6， 求CH的长.
②如图3，当F是GD的中点时，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：解：，
，
故答案为：C .
【分析】把分式化为，然后整体代入计算即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为
故答案为：B .
【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
3．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、在一个只有红球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据事件发生的分类“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”判断．
4．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
为等边三角形，
，
这个角度至少为，
故答案为：D .
【分析】连接OA、OB、OC，求出正三角形的中心角，得到答案．
5．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：的坐标为，
，
的半径为6，
，
点P在内．
故答案为：A .
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与的半径为6相比较即可．
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BC，
是圆的直径，
，
，
，
故答案为：C .
【分析】由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数．
7．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5，
：：5，
，
，
故答案为：C .
【分析】根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案．
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，E是边CB上一点，，，，
，，
，
于点F，
，
，，
，
∽，
，
，
故答案为：A .
【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理求出，证明∽，根据对应边成比求出AF长即可．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，
，
，
是的直径，
，
在中，，
的半径为
故答案为：B .
【分析】根据在同圆中，圆周角相等所对的弧相等，所以，再根据圆周角定理的推论得到，然后利用勾股定理计算出直径AB，从而得到的半径．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线对称轴为直线，
当时，，
则当时，；当时，；
当时，，
则当时，；当时，；
故A、B选项都不正确；
若，则a与同号，由上可知，
故C不正确；
若，则a与异号，由上可知，
故D正确；
故答案为：D .
【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．
11．【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，，
，
解得或舍
故答案为：
【分析】根据比例中项的定义，得到，代值求解即可得到答案．
12．【答案】2
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：∵红球的概率为 袋内只装有n个红球和1个黑球，
，
故答案为：2.
【分析】概率是出现某事件的频率，由红球的概率为 即可求解.
13．【答案】100°
【知识点】圆周角定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：连接OC，
，
，
，
，
，
的度数
故答案为：
【分析】连接OC，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数即可.
14．【答案】，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线与直线交于，两点，
当和时，，
关于x的方程的解是，
故答案为：，
【分析】由于抛物线与直线交点坐标满足两个解析式，所以当和时，，从而得到关于x的方程的解．
15．【答案】5
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点M，N分别是AB，BC的中点，
是的中位线，
，
最大时，MN最大，AC是圆的直径时，AC最大，
的最大值是，
长的最大值是
故答案为：
【分析】连接OA，OB，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：延长交AD于点P，过点作AD的垂线，H为垂足．
根据旋转的性质，，
，
，
在和中，
，
≌
，
设，，则
由可得：
在中，由可得：
根据轴对称的性质，，
，，
，
，
，即，
整理得：，
，
易知，当时，，解得，；
当时，，则，不合题意．
故答案为：
【分析】延长交AD于点P，过点作AD的垂线，H为垂足，则，然后在中由勾股定理求出，再根据建立关于EC的方程，解方程即可求出答案．
17．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】设顶点式为，然后把已知点的坐标代入求出a即可；
通过解方程可得抛物线与x轴的交点坐标．
18．【答案】（1）
（2）解：将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种，
两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：陆老师选择用“微信”支付的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种，再由概率公式求解即可．
19．【答案】（1）解：连结OD，如图，
的度数为，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为r，则，，
，
，
在中，，
解得，
即的半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连结OD，如图，先根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，再根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理求解；
（2）设的半径为r，则，，先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
20．【答案】（1）证明：是BC边上的高线，
于点D，
在AB边上取点E，CE与AD交于点F，
，
，
，
∽
（2）解：为AD的中点，的面积为1，
，
，，
∽
，
，
，
的面积是
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由AD是BC边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明结论；
（2）由F为AD的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，然后根据求得解答即可.
21．【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接CE，BE，
为圆O的直径，
，
直线EF为线段CD的垂直平分线，
，
，
，
∽，
，
，
【知识点】尺规作图-垂线；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据作图步骤作图即可．
（2）连接CE，BE，由圆周角定理得，可证明∽，根据对应边成比例解答即可
22．【答案】（1）且t为整数
（2）解：第30天价格元/千克，销售量千克，
故利润元．
答：第30天当天销售利润为3600元；
（3）解：①当时，
利润，
展开得，
二次函数开口向下，顶点横坐标，
故或16时，最大，计算得元；
②当时，利润，随t增大而增大，
故时，元；
比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元．
答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元．
【知识点】二次函数的最值；有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设，
将，和，代入得：
，
②-①得，代入①得，
故验证其他数据均成立
故答案为：且t为整数；
【分析】（1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，验证所得关系式是否符合所有表格数据；
（2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润价格-成本，再乘以销售量得总利润；
（3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，前25天：建立利润二次函数，求顶点横坐标整数天，计算最大利润，后5天：建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论．
23．【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
；
（2）解：由可知二次函数为，
则对称轴为直线，
抛物线开口向上，
当时，函数有最小值，
时，，
当时，；
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：函数的对称轴为，且，
已知，即y的最大值与最小值之差为4，
分情况讨论：
情况1：区间包含对称轴，
最小值为，
则最大值需满足：，
解方程，
解得或舍去，
此时区间为，
长度；
情况2：区间在对称轴右侧，
函数单调递增，设，
则：，
，
，
因，
，，小于情况1的长度；
情况3：区间在对称轴左侧，
函数单调递减，
同理可得，小于情况1的长度，
综上，的最大值为
故答案为：
【分析】（1）将点代入二次函数即可求出b的值；
（2）结合中求出的解析式，进一步求出对称轴和最值，进而由可以得解；
（3）分区间包含对称轴或区间在对称轴右侧、区间在对称轴左侧三种，根据函数的增减性得到最大值和最小值列方程解答即可．
24．【答案】（1）证明：连接AD、AF，
在圆内接四边形ACDF中，，
，
，
，
，
弦直径AB于点E，
，
；
（2）解：①连接AD、AF，
，，
四边形ACDG是平行四边形，
，则，
设则，
，
，
，
，
弦直径AB于点E，
，
在中，，
，
解得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
过C作，交GA延长线于点M，则为等腰直角三角形，
，
；
②延长CF交AG延长线于点K，过C作，交GA延长线于点M，
设，则，
为DG中点，
设，
则，
，
，，
≌，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
解得负值舍去，
，，
设，则，
在中，，即，
解得，
，则，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】连接AD、AF，根据圆内接四边形的性质和平行线的性质得到，再根据垂径定理证明即可；
①连接AD、AF，设，根据平行线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理求出，进而可得，构造等腰直角三角形解答即可；
②延长CF交AG延长线于点K，过C作，交GA延长线于点M，证明≌，即可得到CF=FK=2，GK=CD=2x，再在和中利用勾股定理求出x，然后在中根据勾股定理解答即可．
1 / 1浙江省温州市第二中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·温州期中） 若 则 的值是(　　)
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：解：，
，
故答案为：C .
【分析】把分式化为，然后整体代入计算即可.
2．（2025九上·温州期中）抛物线 与y轴的交点坐标为(　　)
A．(0， - 1) B．(0， 1) C．(-1， 0) D．(1， 0)
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为
故答案为：B .
【分析】根据y轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可．
3．（2025九上·温州期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是(　　) 、
A．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上
B．在一个只有红球的袋中，摸出黑球
C．打开电视机，正在播放动画片
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、在一个只有红球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；
C、打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据事件发生的分类“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”判断．
4．（2025九上·温州期中）如图，正三角形的三个顶点在圆上，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个角度至少为(　　)
A．60° B．72° C．90° D．120°
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
为等边三角形，
，
这个角度至少为，
故答案为：D .
【分析】连接OA、OB、OC，求出正三角形的中心角，得到答案．
5．（2025九上·温州期中）已知⊙O的半径为6，圆心O在坐标原点，点P的坐标为(3，4)，则点 P与⊙O 的位置关系是(　　)
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：的坐标为，
，
的半径为6，
，
点P在内．
故答案为：A .
【分析】先根据勾股定理求出OP的长，再与的半径为6相比较即可．
6．（2025九上·温州期中） 如图， AB是⊙O的直径， 弦CD交AB于点 E， 连接AC， AD. 若∠BAC=30°， 则∠D的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BC，
是圆的直径，
，
，
，
故答案为：C .
【分析】由圆周角定理得到，，求出，即可得到的度数．
7．（2025九上·温州期中）如图，右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3∶5.若BC=15，则GH的长为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：右边的“E”与左边的“E”是位似图形，A是位似中心，位似比为3：5，
：：5，
，
，
故答案为：C .
【分析】根据位似图形的定义、相似比的定义计算，得到答案．
8．（2025九上·温州期中） 如图， E是矩形ABCD的边CB上一点， 连结DE， 作AF⊥DE于点F ， AB=3， AD=2，CE=1， 则AF的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，E是边CB上一点，，，，
，，
，
于点F，
，
，，
，
∽，
，
，
故答案为：A .
【分析】由矩形的性质得，根据勾股定理求出，证明∽，根据对应边成比求出AF长即可．
9．（2025九上·温州期中） 如图， AB是⊙O的直径， ∠ACD=∠CAB， AD=4， AC=8，则⊙O的半径为(　　)
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：，
，
，
是的直径，
，
在中，，
的半径为
故答案为：B .
【分析】根据在同圆中，圆周角相等所对的弧相等，所以，再根据圆周角定理的推论得到，然后利用勾股定理计算出直径AB，从而得到的半径．
10．（2025九上·温州期中） 已知点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)为抛物线. 上两点，且. 则下列说法正确的是(　　)
A．若 则 B．若. 则
C．若 则 D．若 则
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线对称轴为直线，
当时，，
则当时，；当时，；
当时，，
则当时，；当时，；
故A、B选项都不正确；
若，则a与同号，由上可知，
故C不正确；
若，则a与异号，由上可知，
故D正确；
故答案为：D .
【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．
二、填空题(本大题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·温州期中） 线段c是线段a， b的比例中项线段， 已知a=2， b=6， 则c=　 　.
【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：由题意可得：，
，，
，
解得或舍
故答案为：
【分析】根据比例中项的定义，得到，代值求解即可得到答案．
12．（2025九上·温州期中）一个不透明的布袋内只装有个红球和1个黑球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球是红球的概率为，则的值为　 　.
【答案】2
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：∵红球的概率为 袋内只装有n个红球和1个黑球，
，
故答案为：2.
【分析】概率是出现某事件的频率，由红球的概率为 即可求解.
13．（2025九上·温州期中） 如图， 点 C， D在以AB为直径的半圆O上， 且OD∥BC， 若∠AOD=40°， 则的度数为　 　.
【答案】100°
【知识点】圆周角定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：连接OC，
，
，
，
，
，
的度数
故答案为：
【分析】连接OC，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数即可.
14．（2025九上·温州期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与直线y= mx+n交于A (2， p) ，B(-4，q) 两点， 则关于x的方程( 的解是　 　.
【答案】，
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线与直线交于，两点，
当和时，，
关于x的方程的解是，
故答案为：，
【分析】由于抛物线与直线交点坐标满足两个解析式，所以当和时，，从而得到关于x的方程的解．
15．（2025九上·温州期中） 如图， AB是⊙O的弦， 点C是⊙O上的一个动点， 且∠ACB=45°.若点M， N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；圆的相关概念；圆周角定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点M，N分别是AB，BC的中点，
是的中位线，
，
最大时，MN最大，AC是圆的直径时，AC最大，
的最大值是，
长的最大值是
故答案为：
【分析】连接OA，OB，由圆周角定理得到，判定是等腰直角三角形，求出，由三角形中位线定理得到，由AC的最大值是，即可得到MN长的最大值．
16．（2025九上·温州期中） 如图， 已知矩形ABCD中， BC=3， 点E， F是AD边上的三等分点， 连结 CE， 将△EDC绕点 E旋转得△ED'C'， 使点 D' 落在 CE的延长线上，连结 BC'，交 ED'于点 G，若 BC'恰好经过点F，则线段CE的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：延长交AD于点P，过点作AD的垂线，H为垂足．
根据旋转的性质，，
，
，
在和中，
，
≌
，
设，，则
由可得：
在中，由可得：
根据轴对称的性质，，
，，
，
，
，即，
整理得：，
，
易知，当时，，解得，；
当时，，则，不合题意．
故答案为：
【分析】延长交AD于点P，过点作AD的垂线，H为垂足，则，然后在中由勾股定理求出，再根据建立关于EC的方程，解方程即可求出答案．
三、解答题(本题有8小题，共72分)
17．（2025九上·温州期中）已知二次函数的图象顶点为(1，3)，且经过点 (3，—9).
（1）求该二次函数的表达式.
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标.
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
解得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】设顶点式为，然后把已知点的坐标代入求出a即可；
通过解方程可得抛物线与x轴的交点坐标．
18．（2025九上·温州期中）随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中，陈老师和陆老师都随机从“微信”，“支付宝”，“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.
（1）陆老师选择用“微信”支付的概率是　 　.
（2）请用画树状图或列表的方法表示两位老师的所有支付方式，并求出两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率.
【答案】（1）
（2）解：将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为：A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种，
两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：陆老师选择用“微信”支付的概率是，
故答案为：；
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两位老师恰好一人用“微信”支付，一人用“银行卡”支付的结果有2种，再由概率公式求解即可．
19．（2025九上·温州期中）如图， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E， 连结AC.
（1） 已知 求∠CAB 的度数.
（2） 若CD=8， BE=2， 求⊙O的半径.
【答案】（1）解：连结OD，如图，
的度数为，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为r，则，，
，
，
在中，，
解得，
即的半径为
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连结OD，如图，先根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，再根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理求解；
（2）设的半径为r，则，，先根据圆周角定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
20．（2025九上·温州期中）如图， 锐角△ABC中， AB>AC， AD是BC边上的高线，在AB边上取点E， 使EC=EB， CE与AD交于点 F.
（1） 求证： △CDF∽△BDA.
（2） 若F为AD的中点， △ACF的面积为1， 求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：是BC边上的高线，
于点D，
在AB边上取点E，CE与AD交于点F，
，
，
，
∽
（2）解：为AD的中点，的面积为1，
，
，，
∽
，
，
，
的面积是
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由AD是BC边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明结论；
（2）由F为AD的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，然后根据求得解答即可.
21．（2025九上·温州期中）数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”.方法如下：如图，已知线段AB的长为a(a>0)，延长BA至点 C，使AC=1，以BC的中点O为圆心，OB 的长为半径作圆.
①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D：
②作 CD 的中垂线交⊙O于E， F.
所得AE的长是AB的长的算术平方根.
（1）请在图中用尺规作图完成①②步骤(保留作图痕迹，不写作法).
（2） 求证：
【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接CE，BE，
为圆O的直径，
，
直线EF为线段CD的垂直平分线，
，
，
，
∽，
，
，
【知识点】尺规作图-垂线；母子相似模型（公共边公共角）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据作图步骤作图即可．
（2）连接CE，BE，由圆周角定理得，可证明∽，根据对应边成比例解答即可
22．（2025九上·温州期中）草莓被誉为“水果皇后”，不仅美味可口，还富含营养.新鲜上市的草莓很受大家欢迎，某商店每千克草莓的成本价为17元，经调查研究，在开始销售的30天，其每日销售量m(千克)与时间 (天)存在一次函数关系，数据如下表：
时间t(天) 1 2 5 10 20
日销售量m(kg) 128 136 160 200 280
在这30天内，前25天每天的价格y(元/千克)与时间t(天)的函数关系式为 (1≤t≤25且t为整数)；从第26天开始，每天的价格则稳定在27元/千克.
（1）直接写出m关于t的函数关系式　 　.
（2）求第30天当天的销售利润.
（3）这30天哪一天的销售利润最大，求出t的值及当天的销售利润.
【答案】（1）且t为整数
（2）解：第30天价格元/千克，销售量千克，
故利润元．
答：第30天当天销售利润为3600元；
（3）解：①当时，
利润，
展开得，
二次函数开口向下，顶点横坐标，
故或16时，最大，计算得元；
②当时，利润，随t增大而增大，
故时，元；
比较得，第15、16天销售利润最大，最大利润为3720元．
答：第15天和第16天销售利润最大，或16，当天销售利润为3720元．
【知识点】二次函数的最值；有理数混合运算的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设，
将，和，代入得：
，
②-①得，代入①得，
故验证其他数据均成立
故答案为：且t为整数；
【分析】（1）设一次函数关系式，选取表格中两组数据代入建立方程组，解方程组求出k和b，验证所得关系式是否符合所有表格数据；
（2）确定第30天属于价格稳定期，价格，用一次函数关系式计算第30天销售量m，计算每千克利润价格-成本，再乘以销售量得总利润；
（3）分两段讨论利润：前25天价格变化和后5天价格稳定，前25天：建立利润二次函数，求顶点横坐标整数天，计算最大利润，后5天：建立利润一次函数，根据增减性求最大利润，比较两段最大利润，得出结论．
23．（2025九上·温州期中）已知二次函数. 的图像象经过点(1，0)
（1） 求b的值.
（2） 当-2≤x≤3时， 求y的取值范围.
（3） 当p≤x≤q时， 函数y的范围是r≤y≤r+4， 且p≥-2， 则q-p的最大值为　 　.
【答案】（1）解：二次函数的图象经过点，
，
；
（2）解：由可知二次函数为，
则对称轴为直线，
抛物线开口向上，
当时，函数有最小值，
时，，
当时，；
（3）
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：函数的对称轴为，且，
已知，即y的最大值与最小值之差为4，
分情况讨论：
情况1：区间包含对称轴，
最小值为，
则最大值需满足：，
解方程，
解得或舍去，
此时区间为，
长度；
情况2：区间在对称轴右侧，
函数单调递增，设，
则：，
，
，
因，
，，小于情况1的长度；
情况3：区间在对称轴左侧，
函数单调递减，
同理可得，小于情况1的长度，
综上，的最大值为
故答案为：
【分析】（1）将点代入二次函数即可求出b的值；
（2）结合中求出的解析式，进一步求出对称轴和最值，进而由可以得解；
（3）分区间包含对称轴或区间在对称轴右侧、区间在对称轴左侧三种，根据函数的增减性得到最大值和最小值列方程解答即可．
24．（2025九上·温州期中）如图1， AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E， 连结AC， 过点D作DF∥AC，交 于点F， 连结CF.
（1） 求证：
（2） 如图2， 过点A作AG∥CD， 交射线DF于点G， 射线CO交线段AG于点H.
①若∠CFD=2∠FCD， AG=6， 求CH的长.
②如图3，当F是GD的中点时，求的值.
【答案】（1）证明：连接AD、AF，
在圆内接四边形ACDF中，，
，
，
，
，
弦直径AB于点E，
，
；
（2）解：①连接AD、AF，
，，
四边形ACDG是平行四边形，
，则，
设则，
，
，
，
，
弦直径AB于点E，
，
在中，，
，
解得，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
过C作，交GA延长线于点M，则为等腰直角三角形，
，
；
②延长CF交AG延长线于点K，过C作，交GA延长线于点M，
设，则，
为DG中点，
设，
则，
，
，，
≌，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
解得负值舍去，
，，
设，则，
在中，，即，
解得，
，则，
，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；垂径定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】连接AD、AF，根据圆内接四边形的性质和平行线的性质得到，再根据垂径定理证明即可；
①连接AD、AF，设，根据平行线的性质、圆周角定理的推论、垂径定理求出，进而可得，构造等腰直角三角形解答即可；
②延长CF交AG延长线于点K，过C作，交GA延长线于点M，证明≌，即可得到CF=FK=2，GK=CD=2x，再在和中利用勾股定理求出x，然后在中根据勾股定理解答即可．
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