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(共54张PPT)
BY YUSHEN
专题复习
（三）数列专题
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
（一）等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及性质
等差数列 等比数列
定义 an＋1－an＝d
通项公式 an＝a1＋（n－1）d＝am＋（n－m）d an＝a1qn－1＝amqn－m
中项 a，A，b成等差数列 2A＝a＋
b A是a，b的等差中项
等差数列 等比数列
前n项和
公式
性质 ①若m，n，p，q∈N*，m＋n
＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq ②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…
成等差数列 ①若m，n，p，q∈N*，m＋
n＝p＋q，则am an＝ap aq
②Sm，S2m－Sm，S3m－
S2m，…成等比数列（q≠－1）
　　（二）求数列通项公式的常用方法
　　1. 公式法：（1）等差数列通项公式.（2）等比数列通项公式.
　　2. 已知数列前n项和Sn求an，用作差法：an
　　3. 已知an＋1＝xan＋y（x≠0，x≠1，y≠0）求an.用构造法：构造an＋1＋
λ＝x（an＋λ），其中λ＝ ，先求出等比数列 的通项公式，再求出数
列 的通项公式.
　　（三）求数列前n项和的常用方法
　　1. 公式法：（1）等差数列前n项和公式.（2）等比数列前n项和公式.
　　2. 分组求和法.
　　3. 错位相减法.
　　4. 裂项相消法.常见的裂项形式有：
　　（1） ＝ ；
　　（2） ＝ － .
2
【考法能力拓展】
思维导航与结构布局·深化理解
　　例1　根据下列数列前4项的值，写出数列的一个通项公式.
　　（1）1，11，111，1 111，…；
　　【参考答案】（1）1＝ （101－1），11＝ （102－1），111＝ （103－1），1 111＝ （104－
1），…，所以该数列的通项公式为an＝ （10n－1）.
　　（2）1，－2，4，－8，….
　　【参考答案】（2）观察得第n项的绝对值为2n－1，偶数项是负数，奇数项是正数，所以用（－
1）n＋1或（－1）n－1来调整，即an＝（－1）n＋1 2n－1或an＝（－1）n－1 2n－1＝（－2）n－1.
　　根据数列前几项的值写出数列的通项公式，体现了从特殊到一般的归纳思
想.解决这类问题的关键是观察数列每一项与项数之间的规律，最后归纳出第n
项an与项数n之间的关系，记住下列常见数列的通项公式有助于解题.
　　（1）1，－1，1，－1，…的通项公式为an＝（－1）n＋1或an＝（－1）
n－1；
　　（2）－1，1，－1，1，…的通项公式为an＝（－1）n；
　　（3）1，11，111，1 111，…的通项公式为an＝ （10n－1）.
　　例2　已知数列 的前n项和Sn＝4n＋2，求数列 的通项公式.
　　【参考答案】当n＝1时，a1＝S1＝4＋2＝6；
　　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（4n＋2）－（4n－1＋2）＝3 4n－1.
　　因为当n＝1时，3 41－1≠6，所以an＝
　　在已知数列前n项和的基础上求通项公式，一定要分两步进行讨论，即n＝
1和n≥2；同时还要注意第一项是否适合从第二项起才成立的关系式an＝Sn－
Sn－1，若不适合，则应分段表示an.
　　例3　在数列 中，a1＝2，an＋1＝4an－3，求数列 的通项公式.
　　【参考答案】由题意，在数列 中，a1＝2，an＋1＝4an－3，所以an＋1－1＝4（an－1）.
　　令bn＝an－1，则数列 是一个以b1＝a1－1＝1为首项，q＝ ＝ ＝4的等比数列，则
bn＝b1qn－1＝4n－1，故an＝4n－1＋1.
　　已知an＋1＝xan＋y（x≠0，x≠1，y≠0）求an，首先在于正确使用构造
法，即：构造an＋1＋λ＝x（an＋λ），其中λ＝ .接着求出新构造出来的等比
数列 的通项公式.最后再求出数列 的通项公式.
　　例4　已知数列 的通项公式是an＝2n－ ，求其前n项和.
　　【参考答案】Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝（2＋4＋6＋…＋2n）－＝ ×n－ ＝n2＋n－1＋ .
　　如果一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成的，那么求和
时可以采用分组求和法.
　　例5　计算：Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n.
　　【参考答案】由题意可知：Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n ①，
　　①式两边同时乘3，则：3Sn＝1×32＋2×33＋…＋（n－1）×3n＋n×3n＋1②，
　　①－② 得：－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝ －n×3n＋1，
　　即Sn＝ － ＋ .
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可使用错位相减法求取.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
例6
【参考答案】由an＝ 得：an＝ － ，
已知数列 的通项公式是an＝ ，求其前99项和.
故S99＝（ －1）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋（ － ）＝10－1＝9.
　　如果一个数列的通项公式为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么可以通过累加将一些正负项互相抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和.
　　例7　在等差数列 中，若a1＋a2＋a3＝7，a7＋a8＋a9＝13，试求a13＋a14＋a15.
　　【参考答案】由等差数列性质可知：a2＝ ，a8＝ ，a13＋a14＋a15＝3a14，
　　又2a8＝a2＋a14，解得a14＝ ，所以a13＋a14＋a15＝19.
　　例8　等比数列 的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，试求S9.
　　【参考答案】由等比数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即：7，56，S9－63成
等比数列.所以有562＝7×（S9－63），解得S9＝511.
　　在解决等差数列和等比数列的有关问题时，我们要学会积极发现题目所有条
件存在的内在联系，抓住关键，从而快速解决有关问题.
　　例9　一个物体从高空落下，第一秒下落4米，以后每秒多下落9米，经过10秒，该物体落到
地面，问物体原来离地面有多高？
　　【参考答案】由题意可知：该物体每秒下落的距离成等差数列，首项是4，公差是9，项数是10.根据等
差数列前n项和公式，S10＝10×4＋ ×9＝445.所以该物体原来离地面445米.
　　遇到数列的实际问题时，首先要判断题目所属是等差数列还是等比数列；接
着找出数列中的首项、公差（公比）、通项、前n项和、项数等要素；最后依据
有关条件求解相关实际问题.
专题精练
1. 在数列 中，若an＋1＝3an（n∈N*），a1＝2，则数列的通项公式为（　A　）
A. 2 3n－1 B. 2 3n C. 3 2n D. 3 2n－1
【解析】因为an＋1＝3an（n∈N*），a1＝2，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以数列的通
项公式为an＝a1qn－1＝2 3n－1.
2. 在等差数列 中，若a5＋a9＝－18，则a7＝（　B　）
A. －10 B. －9 C. －8 D. －7
【解析】由等差数列性质可知：2a7＝a5＋a9＝－18，所以a7＝－9.
A
B
3. 已知等差数列2，6，10，14，…，则102的项数是（　D　）
A. 23 B. 24 C. 25 D. 26
【解析】该数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以其通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝4n－2.令
4n－2＝102，解得n＝26，故102是数列的第26项.
4. 在等比数列 中，若a1＝ ，公比q＝－2，则a8＝（　B　）
A. 64 B. －64 C. 32 D. －32
【解析】由等比数列通项公式，可得：a8＝a1q7＝ ×（－2）7＝－64.
D
B
5. 数列1 ，－2 ，3 ，－4 ，…的一个通项公式为（　D　）
【解析】观察数列可知通项公式为（－1）n＋1 .
6. 已知数列 的前n项和Sn＝n2－2n，则 ＝（　C　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】a1＋a2＋a3＝S3＝3，a4＋a5＋a6＝S6－S3＝21，则 ＝7.
D
C
7. 在等差数列 中，若a3＋a9＝2，则该数列前11项和S11＝（　B　）
A. 22 B. 11 C. 2 D. 0
【解析】由等差数列求和公式及性质，可知：S11＝ ＝ ＝11.
8. 在等比数列 中，若a3＝2，a5＝8，则该数列的公比q＝（　C　）
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 3
【解析】由等比数列通项公式，可得：a5＝a3q2，即8＝2q2，解得q＝±2.
B
C
9. “a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】“a，b，c成等比数列”可以推出“b2＝ac”；但反之不一定可以，因为“b2＝ac”中的a，
b，c均可以为零，与等比数列中任意一项均不为零矛盾.
10. 已知a＝lg 20，b＝lg 5，则a，b的等差中项为（　B　）
A. 2 B. 1 C. 5 D. 0
【解析】a，b的等差中项为 ＝ ＝ ＝1.
A
B
11. 下列属于等差数列的是（　B　）
B. lg 2，lg 4，lg 8
C. 1，3，9
【解析】lg 4－lg 2＝lg 8－lg 4＝lg 2，所以选项B属于等差数列，其他选项均不满足条件.
12. 在等差数列 中，若a3，a14是方程x2－8x－9＝0的两根，则a2＋a15＝ （　A　）
A. 8 B. －8 C. 9 D. －9
【解析】由根与系数的关系可知：a3＋a14＝－ ＝8，又根据等差数列性质可知：a2＋a15＝a3＋a14＝8.
B
A
13. 在等比数列 中，若a2＝6，前3项和S3＝21，则公比q＝（　D　）
A. 2 C. －2
【解析】S3＝a1＋a2＋a3＝ ＋a2＋a2q＝21，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝ .
14. 若等差数列 的前n项和Sn＝n2－2n＋c，则c＝（　C　）
A. 1 B. －1 C. 0 D. ±1
【解析】等差数列 的前n项和Sn＝na1＋ ＝ n2＋ n，所以等差数列前n项和与项
数n呈一元二次函数关系，且常数项为0，故c＝0.
D
C
15. 在等差数列 中，a3＝2 000，an＝2 025，且公差d＝5，则项数n＝（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】由题意可知：an＝a3＋（n－3）d＝2 000＋5（n－3）＝2 025，解得n＝8.
16. 在等比数列 中，a4＋a10＝16，a7＋a13＝2，则公比q＝（　B　）
A. 2
【解析】由题意可得：a7＋a13＝a4q3＋a10q3＝（a4＋a10）q3，得q3＝ ，则q＝ .
C
B
17. 在等差数列 中，已知a1＝1，a2＋a3＝11，则a4＋a5＋a6＝（　D　）
A. 36 B. 37 C. 38 D. 39
【解析】由题意可得：a2＋a3＝（a1＋d）＋（a1＋2d）＝2＋3d＝11，解得d＝3，则a4＋a5＋a6＝
（a1＋3d）＋（a1＋4d）＋（a1＋5d）＝3a1＋12d＝39.
18. 已知等比数列 的公比q＝2，则 ＝（　B　）
【解析】由等比数列通项公式可得： ＝ ＝ ＝ .
D
B
19. 在等差数列 中，已知S4＝2，S8＝6，则S12＝（　D　）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【解析】由等差数列性质，可知：S4，S8－S4，S12－S8也是等差数列，即：2，4，S12－6成等差数列，所
以S12－6＝6，所以S12＝12.
20. 已知某等差数列共有20项，其奇数项之和为5，偶数项之和为65，则该数列的公差为
（　C　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【解析】由题意可得： 由②－①可得10d＝60，故该数列公差d＝6.
D
C
21. 已知数列x，a1，a2，y和数列x，b1，b2，b3，y都是等差数列，且x≠y，则 ＝
（　B　）
【解析】由题意可得：a2－a1＝ ，b2－b1＝ ，则 ＝ .
B
22. 已知在等差数列 中，d＞0，S3＝18，a1a2a3＝120，则a4＋a5＋a6＝（　A　）
A. 54 B. 55 C. 56 D. 57
【解析】由等差数列性质可知S3＝3a2＝18，则a2＝6，所以a1a2a3＝120可化为（a2－d）a2（a2＋d）＝
120，即：（6－d）（6＋d）＝20，又因为d＞0，所以d＝4.所以a4＋a5＋a6＝（a2＋2d）＋（a2＋
3d）＋（a2＋4d）＝3a2＋9d＝54.
23. 已知等比数列 的公比q＝3，且S100＝100，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝（　A　）
A. 25 B. 50 C. 75 D. 100
【解析】S奇＝a1＋a3＋…＋a99，S偶＝a2＋a4＋…＋a100＝a1q＋a3q＋…＋a99q，S100＝S奇＋S偶＝（a1
＋a3＋…＋a99）（1＋q）＝4S奇＝100，故S奇＝25.
A
A
24. 在等比数列 中，公比q＝2，则 ＝（　D　）
【解析】由题意可得：S4＝ ＝15a1，a3＝a1q2＝4a1，则 ＝ .
25. 已知等差数列 的前n项和为Sn，若 ＝ ，则 ＝（　D　）
C. 1
【解析】由等差数列求和公式可知： ＝ ＝ ，所以 ＝ .
D
D
26. 已知等差数列 与 的前n项和分别为Sn和Tn，若 ＝ ，则 ＝（　A　）
【解析】由等差数列求和公式可知： ＝ ＝ ＝ ＝ .
27. 在等比数列 中，若an＞0，且a2a5＝10，则lg a3＋lg a4＝（　B　）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
【解析】由等比数列性质可知：lg a3＋lg a4＝lg（a3a4）＝lg（a2a5）＝lg 10＝1.
A
B
28. 若ln x，ln y，ln z成等差数列，则（　C　）
【解析】因为ln x，ln y，ln z成等差数列，则2ln y＝ln x＋ln z，且x，y，z均大于0，故y2＝xz，则y
＝ .
29. 在等差数列 中，a2＝3，a6＝－9，则满足Sn＞0的最大n值是（　A　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【解析】由题意可得 解得 由求和公式得：Sn＝6n＋ ×（－3）
＝－ n2＋ n，令－ n2＋ n＞0，解得0＜n＜5，则满足Sn＞0的最大n值是4.
C
A
30. 在等比数列 中，若a2a7＋a3a6＝4，则此数列的前8项之积为（　C　）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【解析】由等比数列性质，可得a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，所以此数列的前8项之积为24＝16.
31. 在等比数列 中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则 ＝（　C　）
【解析】由等比数列性质，可得a4a14＝a7a11＝6，联立方程组 解得 或
所以 ＝q10＝ ＝ 或 .
C
C
32. 若20，50，100分别加上同一常数后成等比数列，则等比数列的公比q＝（　D　）
【解析】设加上的同一常数为x，则三个数变成x＋20，x＋50，x＋100，则有：（x＋50）2＝（x＋
20）（x＋100），解得x＝25，则等比数列公比q＝ ＝ .
D
33. 数列1 ，2 ，3 ，4 ，…的前n项和为（　B　）
【解析】Sn＝1 ＋2 ＋3 ＋…＋ ＝（1＋2＋3＋…＋n）＋ ＝
＋ ＝ ＋1－ .
B
34. 已知数列 的通项公式是an＝ ，则其前20项和为（　C　）
【解析】
②－①得：S20＝1＋ ＋ ＋ ＋…＋ －20× ＝ －20× ＝2－ .
C
35. 已知数列 满足a1＝3，an＋1＝2an－1，则an＝（　A　）
A. 2n＋1 B. 2n－1 C. 3 2n－1 D. 3 2n＋1
【解析】由an＋1＝2an－1可得：an＋1－1＝2（an－1），令bn＝an－1，则b1＝2，q＝ ＝ ＝
2，故bn＝b1qn－1＝2n，所以an＝2n＋1.
A
36. 已知等差数列 的前n项和为Sn，若a7＋a8＞0，a7＋a9＜0，则当Sn取最大值时n的值
为（　D　）
A. 8 B. 5 C. 6 D. 7
【解析】由a7＋a9＜0可得：a1＋6d＋a1＋8d＜0，则a1＋7d＜0，即：a8＜0，又a7＋a8＞0，所以可
得：a7＞0，a9＜0，故Sn取最大值时n的值为7.
37. 已知c≠0，且a，b，c，2b成等差数列，则 ＝（　A　）
【解析】由题意可得：2b＝a＋c，2c＝b＋2b，则：c＝ b，a＝ b，故 ＝ .
D
A
38. “数列 既是等差数列又是等比数列”是“数列 是常数列”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】数列 是常数列包含了零数列这一特殊情况，所以本题选A.
39. 已知四个数a，b，c，d，如果前三个数成等比数列，公比为3，后三个数成等差数列，公
差为12，那么d＝（　C　）
A. 26 B. 28 C. 30 D. 32
【解析】由题意可得，b＝3a，c＝9a＝b＋12，d＝c＋12，解得a＝2，b＝6，c＝18，d＝30.　
A
C
40. 刘大妈做一批工艺鞋，第一天做了8双，第二天起手艺越来越熟练，每天都比前一天多做2
双，最后一天做了24双，则她一共做的天数是（　C　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【解析】本题考查的是等差数列通项公式的实际应用，由题意可设：a1＝8，d＝2，an＝24.由等差数列通
项公式，可得：an＝8＋2（n－1）＝24，得n＝9.故刘大妈一共做了9天.
41. 小明去打暑期工，连续工作了5天后共挣了180元，如果这5天里，他每一天所挣的钱都比前
一天多6元，那么第1天小明挣的钱为（　B　）
A. 12元 B. 24元 C. 36元 D. 48元
【解析】本题考查的是等差数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：S5＝180，n＝5，d＝6.由等差数
列前n项和公式，可得：S5＝5a1＋ ×6＝180，解得a1＝24，所以第1天小明挣了24元钱.
C
B
42. 市民中心音乐厅共有23排座位，从第一排起以后每排都比前一排多2个座位，第23排有66个
座位，这个音乐厅总座位数是（　A　）
A. 1 012 B. 1 013 C. 1 014 D. 1 015
【解析】本题考查的是等差数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：a1＝66，d＝－2，n＝23.由等差
数列前n项和公式可得：S23＝23×66＋ ×（－2）＝1 012.所以这个音乐厅共有1 012个座位.
43. 长寿茶馆来了19位老年人品茶，他们的年龄恰好是19个连续自然数，已知这19位老年人的年
龄之和是1 634岁，则其中年龄最大的岁数是（　D　）
A. 80 B. 85 C. 90 D. 95
【解析】本题考查的是等差数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：S19＝1 634，d＝－1，n＝19.由
等差数列前n项和公式可得：S19＝19a1＋ ×（－1）＝1 634，解得a1＝95，所以年龄最大的老年人
今年95岁.
A
D
44. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时
期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几
何？”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人
所得之和相等，问各得多少钱？”则第2人比第4人多得钱数为（　D　）
【解析】本题考查的是等差数列的实际应用，由题意可设：在等差数列 中，a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝
，即：2a1＋d＝3a1＋9d＝ ，解得d＝－ ，则a2－a4＝－2d＝ .故第2人比第4人多得 钱.
D
45. 某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前
一天的2倍，则至少需要的天数为（　B　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】本题考查的是等比数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：a1＝2，q＝2，Sn≥100.由等比
数列前n项和公式得：S5＝ ＝62，S6＝ ＝126，所以至少需要6天.
B
46. 《庄子 天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺
（尺：中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩
下的一半，……，则前四天共取的长度是这根木棒的（　D　）
【解析】本题考查的是等比数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：a1＝ ，q＝ ，n＝4.由等比数
列前n项和公式得：S4＝ ＝ .
D
47. 某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（由一个分裂成两个）.若这种细菌由1个分裂成
16个，这个过程要经过（　B　）
A. 1小时 B. 2小时 C. 3小时 D. 4小时
【解析】本题考查的是等比数列通项公式的实际应用，由题意可设：a1＝2，q＝2，an＝16.由等比数列通
项公式得：an＝2 2n－1＝16，解得n＝4，即这种细菌由1个变成16个需要进行4次分裂，共计需要2小时.
B
48. 甲、乙两地出产同一种水果，甲地出产的水果数量每年保持不变，乙地出产的水果数量每年
增加一倍，已知2021年甲、乙两地出产水果总数为98吨，2022年甲、乙两地总计出产水果106
吨，则乙地出产水果的数量第一次超过甲地出产的水果数量是在哪一年？（　C　）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
【解析】2022年比2021年多产出8吨水果，该8吨产量即为2021年乙地出产的水果数量，且乙地出产的水果
数量逐年成等比数列，设该等比数列a2 021＝8，公比q＝2，则：an＝a2 021qn－2 021＝8 2n－2 021（n＞2
021，n∈N*）；同时甲地出产的水果数量均保持90吨不变.由题意可知：8 2n－2 021＞90，则乙地出产水果
的数量第一次超过甲地出产的水果数量是在2025年.
C
49. 中国古代数学书中有这样一道有趣的题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.有灯三百八
十一，请问尖层几盏灯？”意思是说：从远处望见七层的灯塔，每一层的灯都是上一层的2倍，
塔上一共有381盏灯.则最高层灯的盏数为 （　B　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】本题考查的是等比数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：Sn＝381，q＝2，n＝7.由等比数
列前n项和公式得：S7＝ ＝381，解得a1＝3，所以最高层有3盏灯.
B
50. 把一堆棋子装在盒子里，第一个盒子装1枚棋子，第二个盒子装2枚棋子，第三个盒子装4枚
棋子，……，后面每一个盒子装的枚数都是前一个盒子装的枚数的2倍，装完这些棋子正好用了8
个盒子，这些棋子的数量为（　A　）
A. 255 B. 256 C. 257 D. 258
【解析】本题考查的是等比数列前n项和公式的实际应用，由题意可设：a1＝1，q＝2，n＝8.由等比数列
前n项和公式得：S8＝ ＝255，这些棋子一共有255枚.
A

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