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(共82张PPT)
BY YUSHEN
专题复习
（四）三角函数专题
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　（一）角的定义
　　角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的
图形.
　　（二）角的分类
　　
角的
分类
　　（三）终边相同的角
　　所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β｜β＝α＋
k 360°，k∈Z}或{β｜β＝α＋2kπ，k∈Z}.
　　（四）弧度制的定义
　　把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作“1 rad”.
　　（五）弧度制下的有关公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式 弧长l＝｜α｜r
扇形面积公式
　　（六）任意角的三角函数
三角函数 正弦 余弦 正切
定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），
那么 y叫做α的正弦，记
作 sin α x叫做α的余弦，记
作 cos α
各象 限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋
Ⅱ ＋ － －
Ⅲ － － ＋
Ⅳ － ＋ －
　　（七）同角三角函数的基本关系
　　（1）平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝1（α∈R）.
　　（2）商数关系：tan α＝ .
　　（八）同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读 适合题型
切弦互化 表达式中含有 sin
θ， cos θ与tan θ
“1”的变换 表达式中需要利用
“1”转化
和积转换 利用关系式（ sin θ± cos θ）2＝1±2 sin θ
cos θ进行变形、转化 表达式中含有 sin
θ± cos θ或 sin θ cos
θ
　　（九）三角函数的诱导公式
正弦 余弦 正切
公式一 sin （2kπ＋α）＝ sin
α（k∈Z） cos （2kπ＋α）＝
cos α（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tan
α（k∈Z）
公式二 sin （－α）＝－ sin α cos （－α）＝ cos α tan（－α）＝－tan α
公式三 sin （π＋α）＝ － sin α cos （π＋α）＝ － cos α tan（π＋α）＝tan α
正弦 余弦 正切
公式四 sin （π－α）＝ sin α cos （π－α）＝ － cos α tan（π－α）＝－tan α
公式五
公式六
　　（十）特殊角的三角函数值
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180
°
角α的弧度数 0 π
sin α 0 1 0
cos α 1 0 －1
tan α 0 1 0
　　（十一）三角函数的图像与性质
三角函数 正弦函数y＝ sin x 余弦函数y＝ cos x
图像
定义域 R R
值域 ［－1，1］ ［－1，1］
最值 当且仅当x＝2kπ（k∈Z）时，
取得最大值1；当且仅当x＝π＋
2kπ（k∈Z）时，取得最小值－
1
三角函数 正弦函数y＝ sin x 余弦函数y＝ cos x
最小正周期 2π 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
对称中心 （kπ，0），k∈Z
对称轴 x＝kπ，k∈Z
　　（十二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C（α－β） cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β
C（α＋β） cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β
S（α－β） sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β
S（α＋β） sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β
T（α－β）
T（α＋β）
　　（十三）二倍角公式
S2α sin 2α＝2 sin α cos α；变形：1＋ sin 2α＝（ sin α＋ cos α）2，1
－ sin 2α＝（ sin α－ cos α）2
C2α
T2α
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a2＝b2＋c2－2bc cos A
b2＝a2＋c2－2ac cos B
c2＝a2＋b2－2ab cos C
　　（十四）正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
变形形式
2
【考法能力拓展】
思维导航与结构布局·深化理解
　　例1　在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为 　　　　.
　　【参考答案】所有与45°有相同终边的角可表示为β＝45°＋k 360°（k∈Z），则令－720°＜45°
＋k 360°＜0°，得－765°＜k 360°＜－45°，解得－ ＜k＜－ （k∈Z），从而k＝－2或k＝
－1.将k＝－2，k＝－1分别代入β＝45°＋k 360°（k∈Z），得β＝－675°或β＝－315°.
　　利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角
的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.
　　例2　（1）给出下列四个命题：①－ 是第二象限角；② 是第三象限角；③－400°是
第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　　（2）若角α是第二象限角，则 是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第一或第三象限角 D. 第二或第四象限角
　　【参考答案】（1）－ ＝ －2π＝ ＋π－2π，从而－ 是第三象限角，故①错误； ＝π＋ ，
从而 是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－
315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确.故选C.
　　（2）∵α是第二象限角，∴ ＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴ ＋kπ＜ ＜ ＋kπ，k∈Z. 当k为偶数
时， 是第一象限角；当k为奇数时， 是第三象限角.故选C.
对于已知角α所在象限，判断 （n为正整数）所在象限：
　　（1）先写α出的取值范围，如第二象限角的取值范围是2kπ＋ ＜α＜2kπ＋
π（k∈Z）；
　　（2）再将取值范围两边同时除以n，得到 的取值范围，根据k的取值进行
分类讨论，确定 所在象限.
　　例3　（1）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4
　　【参考答案】（1）设此扇形的半径为r，弧长为l，则 解得 或 从而α
＝ ＝ ＝4或α＝ ＝ ＝1.故选C.
　　（2）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝ 　　　　 cm.
　　【参考答案】（2）设扇形的半径为r cm，如图所示.由 sin 60°＝ ，
得r＝4 （cm），又α＝ ，所以l＝｜α｜r＝ ×4 ＝ （cm）.
　　（1）明确弧度制下弧长及扇形的面积公式，在使用公式时，要注意角的单
位必须是弧度.
　　（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形
面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解.
　　例4　若 sin αtan α＜0，且 ＜0，则角α是（　　）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
　　【参考答案】由 sin αtan α＜0可知 sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角.由 ＜0可知 cos α，
tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选C.
　　熟记各三角函数所在象限内的符号，也可用定义来推导.
　　例5　（1）已知角α的终边经过点P（4，－3），则 sin α＝ 　　　　.
　　【参考答案】（1） sin α＝ ＝－ .
　　（2）若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求 sin α， cos α和tan α的值.
　　【参考答案】（2）设α终边上任一点为P（－4a，3a）.
　　当a＞0时，r＝5a， sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－ ；
　　当a＜0时，r＝－5a， sin α＝－ ， cos α＝ ，tan α＝－ .
　　（1）已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后
用三角函数的定义求解.
　　（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出
此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解.
　　例6　若tan α＝2，则
　　（1） ＝ 　　　　；
　　【参考答案】（1） ＝ ＝ ＝－1.
　　（2）4 sin 2α－3 sin α cos α－5 cos 2α＝ 　　　　.
　　【参考答案】　　（2）4 sin 2α－3 sin α cos α－5 cos 2α
　　＝
　　＝
　　＝ ＝1.
（1）同角并不拘泥于角的形式，如 sin 2 ＋ cos 2 ＝1， ＝tan 3都成立，但是 sin 2α＋ cos 2β＝1就不一定成立.
　　（2）对于含有 sin α， cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通
过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入.
　　例7　（1）求值： sin （－1 200°） cos 1 290°＋ cos （－1 020°） sin （－1 050°）
＝ 　　　　.
　　（2）已知s ＝ ，则 cos α＝（　　）
　　【参考答案】（1）原式＝－ sin 1 200° cos 1 290°－ cos 1 020° sin 1 050°
　　＝－ sin （3×360°＋120°） cos （3×360°＋210°）－ cos （2×360°＋300°） sin （2×360°＋
330°）
　　＝－ sin 120° cos 210°－ cos 300° sin 330°
　　＝－ sin （180°－60°） cos （180°＋30°）－ cos （360°－60°） sin （360°－30°）
　　＝ sin 60° cos 30°＋ cos 60° sin 30°
　　＝ × ＋ × ＝1.
　　（2）∵si ＝s ＝ cos α，∴ cos α＝ .故选C.
　　（1）已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为
锐角的三角函数值求解.转化过程中注意诱导公式的正确应用.
　　（2）对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关
系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在
的象限，防止符号及三角函数名出错.
　　例8　求函数f（x）＝ 的单调区间.
　　【参考答案】当－ ＋2kπ≤x＋ ＋2kπ，k∈Z，
　　即－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z时，函数f（x）是增函数，即函数的单调增区间为 ，k∈Z.
　　当2kπ＋ ≤x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
　　即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z时，函数f（x）是减函数，即函数的单调减区间为，k∈Z.
　　1. 三角函数值域或最值的两种求法
　　（1）直接法：直接利用 sin x， cos x的值域求出.
　　（2）换元法：把 sin x或 cos x看作一个整体，转化为二次函数，求在给定
区间上的值域（最值）问题.
　　2.求三角函数单调区间的两种方法
　　（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个
角u（或t），利用基本三角函数的单调性列不等式求解.
　　（2）图像法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图像求它的单调区间.
　　注意：求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时
切莫忽视函数自身的定义域.
　　例9　函数y＝3co 的最小正周期是（　　）
C. 2π D. 5π
　　【参考答案】由T＝ ＝5π，知该函数的最小正周期为5π.故选D.
（1）定义法：直接利用周期函数的定义求周期.
　　（2）公式法：①三角函数y＝ sin x，y＝ cos x，y＝tan x的最小正周期分
别为2π，2π，π；②y＝A sin （ωx＋φ）和y＝A cos （ωx＋φ）的最小正周期
为 ，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为 .
　　（3）图像法：利用三角函数图像的特征求周期.如：相邻两最高点（最低
点）之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.
　　例10　函数y＝ sin x （x∈R）图像的一条对称轴是（　　）
　　【参考答案】函数y＝ sin x （x∈R），其对称轴为直线x＝ ＋kπ，k∈Z. 当k＝0时，可得x＝ .
故选D.
　　（1）y＝A sin ωx为奇函数，y＝A cos ωx为偶函数.
　　（2）若y＝A sin （ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋ （k∈Z）；若为奇
函数，则有φ＝kπ（k∈Z）.
　　（3）若y＝A cos （ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函
数，则有φ＝kπ＋ （k∈Z）.
　　例11　化简： .
　　【参考答案】原式＝ ＝ ＝ .
　　例12　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝ ， sin B＝ ，∠C
＝ ，则b＝ 　　　　.
　　【参考答案】在△ABC中，∵ sin B＝ ，0＜∠B＜π，
　　∴∠B＝ 或∠B＝ .
　　又∵∠B＋∠C＜π，∠C＝ ，∴∠B＝ ，
　　∴∠A＝π－ － ＝ .
　　∵ ＝ ，∴b＝ ＝1.
　　利用正弦定理可以解决的两类问题
　　（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角.
　　（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角.由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况.
　　在△ABC中，已知a，b和∠A，解的个数如表所示：
∠A为钝角 ∠A为直角 ∠A为锐角 a＞b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a＜b 无解 无解 a＞b sin A 两解
a＝b sin A 一解
a＜b sin A 无解
　　【易错提醒】（1）应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍.
　　（2）求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断.
　　例13　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos C＋ ＝b，则∠A
＝ 　　　　.
　　【参考答案】由余弦定理得 cos C＝ ，将其代入a cos C＋ ＝b中得a ＋
＝b，化简整理得b2＋c2－a2＝ ，于是 cos A＝ ＝ ，所以∠A＝ .
　　利用余弦定理可以解决的两类问题
　　（1）已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角.
　　（2）已知三边，求三个内角.解三角形时，一般是根据正弦定理求边或
列等式，若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；余
弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系，若式子中含有
角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若以上特征都不明显，则要
考虑两个定理都有可能用到.
　　例14　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，
∠C＝ ，则△ABC的面积为（　　）
A. 3
　　【参考答案】c2＝（a－b）2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.∵∠C＝ ，由余弦定理得c2＝a2＋b2－
ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝ C＝ ×6× ＝ .故选C.
　　（1）对于面积公式S＝ C＝ B＝ A，一般是已知哪一
个角就使用哪一个公式.
　　（2）与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角
的转化.
专题精练
1. 下列说法中错误的个数是（　C　）
①终边在x轴的非负半轴的角是零角；
②大于90°小于180°的角为钝角；
③150°是第三象限角；
④负角是小于0°的角.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】①错，如360°，终边在x轴的非负半轴；②正确，符合钝角的概念；③错，150°是第二象限
角；④正确，满足负角的概念.
C
2. 下列是界限角的是（　B　）
A. －100° B. 180° C. 10° D. 80°
【解析】终边在坐标轴上的角叫做界限角.
3. 若P（－3，0）是角α的终边上一点，则角α是（　D　）
A. 第二象限角 B. 第三象限角
C. 第二或第三象限角 D. 界限角
【解析】∵P（－3，0）在x轴负半轴上，∴α不属于任何象限，而是界限角.
B
D
4. 下列角中终边与340°相同的角是（　B　）
A. 20° B. －20° C. 620° D. －40°
【解析】与340°角终边相同的角的集合为 ，当k＝－1时，可得x＝－
20°.
5. 把－1 485°转化为α＋k 360°（0°≤α＜360°，k∈Z）的形式是（　D　）
A. 45°－4×360° B. －45°－4×360°
C. －45°－5×360° D. 315°－5×360°
【解析】－1 485°＝－1 800°＋315°＝－5×360°＋315°.
B
D
6. 终边与坐标轴重合的角α的集合是（　D　）
A. {α｜α＝k 360°，k∈Z} B. {α｜α＝k 180°＋90°，k∈Z}
C. {α｜α＝k 180°，k∈Z} D. {α｜α＝k 90°，k∈Z}
【解析】因为终边与x轴重合的角α的集合为 ＝ ，终边与
y轴重合的角α的集合为 ＝ ，则终边与坐标
轴重合的角α的集合是 .
D
7. 下列式子不正确的是（　D　）
【解析】 π＝ π× °＝112.5°.
D
8. 下列各组角中，终边相同的角是（　B　）
【解析】对于A： ＝6π＋ π，－ ＝－2π＋ ，故不是终边相同的角；对于B：－ ＝－2π＋ ，故
是终边相同的角；对于C： π＝4π＋ π，故不是终边相同的角；对于D：与－ ＋2kπ（k∈Z）终边相
同的角是－ ，故不是终边相同的角.
B
9. 若扇形的弧长为2 cm，半径为1 cm，则其圆心角的大小为（　C　）
A. 2π B. 4π C. 2 D. 4
【解析】设扇形的圆心角的弧度数为α，由已知及弧长公式可得：2＝1 α，解得α＝2.
10. 已知一个扇形的半径为5，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（　C　）
B. 4π C. 10π D. 20π
【解析】S＝ lr＝ ｜α｜ r r＝ × ×52＝10π.
C
C
11. 已知一扇形的弧所对的圆心角为60°，半径r＝30 cm，则扇形的周长为（　C　）
A. 60 cm B. 10π cm D. 150π cm
【解析】扇形的周长为弧长加两个半径，弧长l＝ ×30＝10π （cm），所以周长为（10π＋60） cm.
12. 若角α的终边过点P（－4，3），则2 sin α＋ cos α＝（　C　）
A. －1 D. 2
【解析】∵角α的终边过点P（－4，3），∴r＝ ＝5，利用三角函数的定义，求得 sin α＝ ， cos α＝
－ ，∴2 sin α＋ cos α＝2× － ＝ .
C
C
13. 在平向直角坐标系中，若角α的终边经过点 且 sin α＝ ，则b＝（　C　）
【解析】∵角α的终边经过点P 且 sin α＝ ，∴b＞0， sin α＝ ，即 ＝ ，
解得b＝ .
C
14. 下列三角函数值的符号为负的有（　D　）
① sin 186°；②tan 505°；③ sin 7.6π.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【解析】①186°为第三象限角，∴ sin 186°为负；②505°＝360°＋145°为第二象限角，∴tan 505°为
负；③7.6π＝3×2π＋1.6π，为第四象限角，∴ sin 7.6π为负.
15. 点 在（　B　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】因为310°角在第四象限，所以 sin 310°＜0， cos 310°＞0，所以点P在第二象限.
D
B
16.2tan 0＋ cos － sin π－ cos －2 sin 2π＝（　C　）
A. －3 B. －1 C. 0 D. 1
【解析】2tan 0＋ cos － sin π－ cos π－2 sin 2π＝0＋0－0－0－0＝0.
17. 若 sin α＋2 cos α＝0，则tan α的值为（　B　）
A. 2 B. －2
【解析】因为 sin α＋2 cos α＝0， sin α＝－2 cos α，所以tan α＝ ＝－2.
C
B
18. 化简 的结果为（　A　）
A. sin 1－ cos 1 B. cos 1－ sin 1
C. sin 1＋ cos 1 D. － sin 1－ cos 1
【解析】易知 sin 1＞ cos 1，所以 ＝ ＝ sin 1－ cos 1.
A
19. 已知 cos θ＝ ，且θ∈ ，则tan θ＝（　A　）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【解析】因为 cos θ＝ ，且θ∈ ，所以 sin θ＝ ＝ ，所以tan θ＝ ＝2.
20. 若tan θ＝－2，则 ＝（　B　）
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【解析】分子分母同时除以 cos θ，得： ＝ ＝－1.
A
B
21. 已知tan α＝2，则 sin 2α＋2 sin α cos α－3 cos 2α的值是（　A　）
A. 1 B. 2 C. 3
【解析】∵tan α＝2，∴ sin 2α＋2 sin α cos α－3 cos 2α＝ ＝ ＝
＝1.
22. 已知 sin α－ cos α＝ ，则 sin α cos α＝（　B　）
【解析】∵ sin α－ cos α＝ ，∴（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝ ，∴ sin α cos α＝－ .
A
B
23. 下列式子正确的是（　A　）
A. sin （360°＋α）＝ sin 360°＋ sin α
B. cos （360°＋α）＝ cos 360°＋ cos α
C. tan（－α）＝tan α
D. cos （－α）＝－ cos α
【解析】对于A： sin （360°＋α）＝ sin α＝0＋ sin α＝ sin 360°＋ sin α.故正确；对于B： cos （360°＋
α）＝ cos α； cos 360°＋ cos α＝1＋ cos α，所以 cos （360°＋α）≠ cos 360°＋ cos α，故错误；对于C：
tan（－α）＝－tan α，故错误；对于D： cos （－α）＝ cos α，故错误.
A
24. 若 sin （π－θ）＞0， cos （π＋θ）＜0，则θ的终边在（　A　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】∵ sin （π－θ）＝ sin θ＞0， cos （π＋θ）＝－ cos θ＜0，∴ cos θ＞0，∴θ的终边在第一象限.
25. 已知角α的终边经过点P（－2，1），则 sin （π－α）的值为（　A　）
【解析】由题意，得 sin （π－α）＝ sin α＝ ＝ .
A
A
26. 若函数f（x）＝－a cos x＋2的最大值是3，则函数f（x）的最小值是（　A　）
A. 1 B. －3 C. －1 D. 1或－1
【解析】因为－1≤ cos x≤1，当a≥0时，－a＋2≤－a cos x＋2≤a＋2，由题意得a＋2＝3，所以a＝
1，f（x）＝－ cos x＋2，此时f（x）min＝1；当a≤0时，a＋2≤－a cos x＋2≤－a＋2，由题意得－
a＋2＝3，a＝－1，f（x）＝ cos x＋2，此时f（x）min＝1.
A
27. 函数y＝1＋2 sin x，x∈ 的值域是（　D　）
【解析】函数y＝1＋2 sin x，∵x∈ ，∴ sin x∈ ，∴2 sin x∈ ，∴1＋2 sin
x∈ ，∴y∈ ，∴函数y的值域为 .
D
28. 若 cos x＝2m＋3，且x∈ ，则m的取值范围为（　C　）
【解析】∵x∈ ，∴结合余弦函数的图像性质知 cos x∈ ，即 ≤2m＋3≤1，解得－
≤m≤－1.
C
29. 有以下条件：①函数在 上是减函数；②函数以2π为周期；③函数为奇函数.下列函数
均符合以上条件的是（　B　）
A. y＝ sin x B. y＝－ sin x
C. y＝ cos x D. y＝－ cos x
【解析】在 上是减函数，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.
B
30. 下列属于函数y＝ cos x的减区间的是（　C　）
B. ［－π，π］
C. ［0，π］
【解析】∵y＝ cos x的单调递减区间为 （k∈Z），∴令k＝0， 即为函数y＝ cos x的
一个单调递减区间，其它选项都不符合.
31. 若函数y＝ sin x和y＝ cos x在区间D上都是增函数，则区间D可以是（　D　）
【解析】∵函数y＝ sin x和y＝ cos x在区间D上都是增函数，则区间D为 ，k∈Z.
C
D
32. 若∠A是某三角形的一个内角，且 sin A＝ ，则角∠A为（　D　）
A. 45° B. 135°
C. 45°＋k 360° D. 45°或135°
【解析】∠A是某三角形的一个内角，且 sin A＝ ，结合0°＜∠A＜180°，则∠A为45°或135°.
33. sin 15° cos 225°＋ cos 15° sin 45°＝（　A　）
【解析】 cos 225°＝ cos （180°＋45°）＝－ cos 45°，故 sin 15° cos 225°＋ cos 15° sin 45°＝－ sin
15° cos 45°＋ cos 15° sin 45°＝ sin （45°－15°）＝ .
D
A
34. 已知α为锐角， cos α＝ ，则c ＝（　B　）
【解析】∵α为锐角， cos α＝ ，∴ sin α＝ ＝ ，∴ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝
× ＋ × ＝ .
35. sin 15° cos 75°－ cos 15° sin 75°＝（　B　）
【解析】 sin 15° cos 75°－ cos 15° sin 75°＝ sin （15°－75°）＝ sin （－60°）＝－ sin 60°＝－ .
B
B
36. 已知 sin α＝ ，且α∈ ，则s ＝（　A　）
【解析】因为 sin α＝ ，且α∈ ，所以 cos α＝－ ＝－ ，所以 sin ＝
（ sin α＋ cos α）＝ × ＝－ .
A
37. 已知tan α＝1，tan（α－β）＝2，则tan β的值为（　C　）
A. 3 D. －3
【解析】tan β＝tan ＝ ＝ ＝－ .
38. tan 25°＋tan 35°＋ 25°tan 35°＝（　D　）
C. 1
【解析】因为tan 60°＝ ，所以tan 25°＋tan 35°＋ tan 25°tan 35°＝tan 60°（1－tan
25°tan 35°）＋ tan 25°tan 35°＝tan 60°＝ .
C
D
39. 已知α是第二象限角，且 sin α＝ ，则 sin 2α＝（　D　）
【解析】α是第二象限角，且 sin α＝ ，所以 cos α＝－ ＝－ ，则 sin 2α＝2 sin α cos α＝2×
× ＝－ .
40. cos 60° sin 15° cos 15°＝（　D　）
【解析】 cos 60° sin 15° cos 15°＝ cos 60°× sin 30°＝ × × ＝ .
D
D
41. ＝（　B　）
【解析】 ＝tan 30°＝ .
42. 将函数y＝ sin x的图像向右平移 个单位，所得图像的函数解析式是（　C　）
【解析】根据函数图像的平移变换的法则，将函数y＝ sin x的图像向右平移 个单位，所得图像的函数解
析式是y＝ sin .
B
C
43. 函数y＝2s 的最小正周期、振幅、初相分别是（　C　）
【解析】∵函数y＝2 sin ，∴振幅是2，初相是 ，又x的系数是 ，故函数的最小正周期是T＝
＝4π.
C
44. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，｜φ｜＜π，ω＞0）的部分图像如图所示，则（　A　）
【解析】根据图像可知A＝2， ＝ － ＝ ，解得T＝π，所以T＝ ＝π，解得ω＝2，将点
代入解析式，所以2 sin ＝2，解得φ＝2kπ－ ，k∈Z，当k＝0时，可取φ＝－ ，所
以y＝2 sin .
A
45. 函数y＝ sin x－ x的最小正周期和最大值分别是（　C　）
C. 2π，2 D. π，2
【解析】y＝ sin x－ cos x＝2 sin ，根据正弦函数的性质得，最小正周期T＝2π，最大值为2.
46. 在△ABC中，已知b＝ ，c＝1，∠B＝45°，则此三角形解的个数为（　B　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【解析】b＝ ，c＝1，∠B＝45°，由正弦定理 ＝ ，可得 sin C＝ ＝ ＝ ，由b
＞c，可得∠B＞∠C，则∠C为锐角，∠C＝30°，∠A＝105°，则此三角形只有一个解.
C
B
47. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a2＝b2＋c2＋bc，则∠A＝
（　B　）
【解析】根据余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，又a2＝b2＋c2＋bc，故有－2 cos A＝1，即 cos A
＝－ ，又∠A∈ ，所以∠A＝ .
48. 在△ABC中，a＝7，b＝4 ，c＝ ，则△ABC中最小的角为（　A　）
【解析】∵a＝7，b＝4 ，c＝ ，∴在△ABC中，由三角形中大边对大角可得∠C为最小角，由余
弦定理可得13＝49＋48－2×7×4 cos C，解得 cos C＝ ，∴∠C＝ .
B
A
49. 已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，若a＝1，b＝2， sin A＝ ，则
sin B＝（　B　）
【解析】因为在△ABC中，a＝1，b＝2， sin A＝ ，由正弦定理 ＝ 得 ＝ ，解得 sin B＝
.
B
50. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b＝2，c＝ ，∠C＝60°，则 sin A
的值为（　D　）
【解析】由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C得2＝a2＋4－2×2×a× ，解得a＝3，由正弦定理
＝ 得 ＝ ，解得 sin A＝ .
D

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