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吉林市松花江中学高三年级阶段性检测 数学
一、单选题
1. 已知两个单位向量 互相垂直,则 ( )
A. B. 2 C. D. 3
2. 2026 年央视春晚舞蹈机器人节目《武 Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志, 一个机器人执行“后空翻”任务时, 落地状态仅存在三种互斥的情况:
①平稳落地 (概率为 0.7):动作精准，必定能站稳；
②跟跄落地(概率为 0.2):重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地(概率为 0.1):姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为( )
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
3. 若等比数列 的前 项和 ,则该数列 的前 9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为( )
A. B. 2
C. D.
4. 若 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 在正四面体 中, 为棱 的中点, ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ,经过 的直线与 的右支交于 两点，且 ， ，则 的离心率是( )
A. B. C. D.
7. 若定义在 上的函数 满足 是奇函数, ,则 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 设双曲线 的右顶点为 ,过点 且斜率为 2 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点 (其中点 在第一象限). 若 为坐标原点,点 满足 ,则双曲线 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据1,2,2,2,3,3,3,4,5的众数是 2
B. 数据 的第 25 百分位数是 1
C. 若随机变量 ，则
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 . 依据 的独立性检验 ,可判断变量 与 不独立
10. 记 为数列 的前 项和,若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 为等差数列 B. 为单调递增数列
C. D. 的最小值为 -3
11. 如图,在棱长为 2 的正方体 中, 为线段 上的动点 (包括端点), 则下列说法正确的是 ( )
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 正方体的外接球球心到平面 的距离为
C. 存在点 ,使得
D. 点 到直线 的距离的最小值为
三、填空题
12. 已知向量 ，若 ，则 _____.
13. 已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
14. 下图是由七个圆和八条线段构成的图形 (该图形不能旋转和翻转), 其中由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”. 若将 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字分别填入这七个圆中, 且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字, 则符合要求的填法共有_____种.
四、解答题
15. 已知函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中， 的面积为 ，求边 的长.
16. 在数列 中, ,且 是等差数列.
(1)求 ；
(2)证明: .
17. 如图,在正三棱柱 中, 分别为棱 的中点, 为线段 上的动点.
(1)证明: 平面 .
(2)若 为线段 的中点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值.
18. 为了探究学生完成数学作业情况与成绩之间的联系, 某学校采用按比例分层抽样的方式得到 200 名学生的测验成绩, 样本中认真完成作业的学生成绩频率分布直方图如图 1 所示. 若认为成绩不低于 120 分为优秀, 且数学成绩为优秀的学生年级分布扇形图如图 2 所示, 已知样本中高三年级有 15 位同学成绩为优秀, 且在所有数学成绩为优秀的学生中, 认真完成作业的学生占 80% .
图 1 图 2
(1)求 的值，并且计算出样本中认真完成作业的学生成绩的下四分位数；
(2)根据样本数据完成下方 列联表，依据小概率值 的独立性检验，分析认真完成作业与成绩是否有关.
认真完成作业 不认真完成作业
成绩优秀
成绩不优秀
附: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. 双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 过 且与双曲线交于 两点. 当直线 的倾斜角为 时, 是等边三角形.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)求证: 为定值.
参考答案
1. A
运用平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
依题意得 , 则 .
2. D
根据全概率公式求解即可.
.
3. C
先求出等比数列的通项公式,结合等比数列前 项和公式求解即可.
当 时, .
当 时, .
因为 为等比数列,所以 时也满足 ,即 ,解得 .
所以数列 的通项公式为 .
该数列 的前 9 项中所有奇数项之和为
,
该数列 的前 9 项中所有偶数项之和为 ,
故该数列 的前 9 项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为 .
故选: C.
4. A
因为 ,所以 ,
因此 ,
所以 ,
所以 的取值范围是 .
5. B
连接 ,设正四面体 的棱长为 4,则 ,
,则 为正三角形,所以 ,
由余弦定理得 ,
故 .
6. A
设 ,根据双曲线的定义和余弦定理,求得 ,在 中,利用余弦定理,求得即 ,结合离心率的定义,即可求解.
设 ,则 ,
由双曲线的定义,可得 ,所以 ,
又由 ,
因为 ,所以 ,
在 中，由余弦定理得 ，
,即 ,
即 ,所以 ,则 ,
在 中,由余弦定理得 ,
即 ,解得 ,所以 ,
所以双曲线的离心率为 .
7. A
由 是奇函数可得 关于 中心对称,结合 , 利用赋值法计算可得 ,即可得该函数周期,再利用 ,则可计算出 为 1 到 6 时的 的值,即可得解.
由 是奇函数,则 ,故 关于 中心对称,
由 ,令 ,则 ,即 ,
由 ,令 ,则 ,
故 ,则 ,
故 ,即有 ,故 以 4 为周期,
由 ,则 ,
则
.
8.
由 得到 为 的中点,过点 作 轴,设
,由过点 的直线的斜率为 2 得到 的值,利用勾股定理得到 的值, 结合 得到 ,从而得到 ,由 的坐标得到 的值,从而得到 的坐标,由 是双曲线渐近线上的点,及斜率为 2,可得 的值,利用公式 得到离心率的值.
， 为 的中点，
过点 作 轴,交 轴于点 ,
设 ,
过点 的直线的斜率为 ,
,
,
,
设 ,
为 的中点, ,
是双曲线 的渐近线上的点,
,
,
,
,
.
故选: B.
9. BCD
根据众数以及百分位数的概念可判断 ; 根据二项分布的期望以及性质即可判断 C; 根据独立性检验的原理可判断 D.
对于 ,数据1,2,2,2,3,3,3,4,5中,2 出现 3 次,3 也出现 3 次,因此众数是 2 和 3, A 错误;
对于 ,数据 已从小到大排列,
由于 ,故数据 的第 25 百分位数是 正确;
对于 ,随机变量 ,则 ,
故 , 正确;
对于 ,由于 ,故依据 的独立性检验,
拒绝原假设(原假设为 与 独立)，可判断变量 与 不独立，D 正确.
10. ABD
由 与 的关系求得通项公式,可判断 ,通过 的赋值结合 的符号,可判断 D.
由 ,可得 ,
所以 ,
又 ,符合上式,
所以 ,
故 为等差数列,且单调递增, 正确,
, C 错误,
当 时， ，
当 时， ，
当 时, ,
当 ,可知 ,
此时 ,
由上可知 的最小值为 -3, D 正确.
11. ABD
根据线面平行判定定理得 平面 ,故 上任一点 到平面 的距离 为定值,根据等体积判断 即可; 根据平面 平面 ,得出点 到平面 的距离为 计算判断 ; 建立空间直角坐标系,由 计算判断 ; 利用点到直线的距离的向量公式列式, 再由二次函数求最值即可.
对于 ,在正方体 中,因 平面 平面 ,
故 平面 ,所以 上任一点 到平面 的距离 为定值,
又 为定值，故 为定值，故 A 正确；
对于 ,连接 ,记正方体 的外接球球心为 ,
易知 是正方体体对角线 的中点,因为平面 平面 ,
且平面 和平面 与体对角线 的交点是 的两个三等分点,
又 ，所以点 到平面 的距离为 ，故 正确；
对于 ,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 ,
设 ,
因为 ,所以 ,
又 ,若 ,则 ,
解得 ,所以这样的点 不存在,故 错误;
对于 ,
所以 ,因为 ,
所以 ,
所以点 到直线 的距离
又 ,所以当 时, ,故 正确.
12. -37
利用向量平行求出 ,再计算 .
由 ,则 ,解得 ,
,
.
13. 14
解法一: 因为 且 为等差数列,可以得到 , 求解即可.
解法二: 因为 为等差数列,所以 为等差数列,设 ,则 三项成等差数列, 再通过等差中项的性质求解即可.
因为 ,且 ,则 ,
于是 ,则 .
解法 2 由于 为等差数列,设 ,则 三项成等差数列,
于是 ,则 .
故答案为: 14 .
14. 200
将有阴影的圆分别标为 ,
由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字,
当阴影的圆中的数字为 7,6,5 时,则将 7,6,5 填在 中有 种方法,接着剩下的 4 个数字填到圆中有 种方法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为 7,6,4 时,若将 4 填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能从1,2,3中选两个有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法;
若将 4 填到 或 ,有 2 种方法,则接着安排7,6有 种方法,与 4 相邻的三个圆只能填1,2,3 有 种方法,剩下一个数有 1 种填法,所以共有 种方法;
当阴影的圆中的数字为 7,6,3 时,则 3 只能填到 ,则接着安排 7,6 有 种方法,与 相邻的两个圆只能安排1,2有 种方法,剩下两个数有 种填法,所以共有 种方法; 所以总共有 种填法.
故答案为: 200
15. (1)
(2)
(1)利用辅助角公式, 结合正弦函数的单调性即可求解；
(2)利用正弦定理角化边, 结合面积公式和余弦定理即可求解.
(1) ,
令 ,
解得 ,
所以函数 的单调递增区间为 .
( 2 )因为 ，
又 为 的内角,则
故 ,
所以 ,所以 .
设角 所对边分别为 ,
因为 ,由正弦定理得 . ①
因为三角形的面积为 ，所以 .②
由①②解得: ，
由余弦定理得 ,
所以 .
16.
(1)使用等差中项性质即可求解；
(2)使用累加法求得 的通项公式,再使用裂项相消即可得证.
(1)设 ，则 ， 因为 是等差数列,即 是等差数列,
则有 ,即 ,解得 .
(2)由(1)知， ，则 的公差为 2，首项为 6，
则 ,即 ,
当 时,
将各式相加,得 ,
即 ,即 ,而 满足上式,
因此 ,
则 ,
因为 ,则 ,则 ,得证.
17.
第一小问 分别连接 ,利用平面 与平面 面面平行推出线面平行, 第二小问利用空间向量将线面角转化成求直线方向向量与平面法向量所成的角.
【小题 1】证明: 连接 .
因为 分别为棱 的中点, 为正三棱柱
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 平面 ,所以 平面 .
同理可得 平面 .
因为 ,所以平面 平面 .
又 平面 ,所以 平面 .
【小题 2】解: 取 的中点 ,连接 ,则 在正三棱柱 中,则 . 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,
令 ,得 .
由 ,
所以 与平面 所成角 的正弦值 .
得 与平面 所成角的正弦值为 .
18. ,下四分位数102.5
(2)有关
(1)利用频率分布直方图各组频率之和为 1 的性质，列出方程求解参数值; 再根据百分位数的定义, 通过累计频率确定下四分位数所在的区间, 并用插值法计算该分位数;
(2)根据分层抽样和条件概率完成列联表，再代入卡方公式计算检验统计量，与临界值比较以判断独立性; 最后通过计算两组学生的优秀率并对比, 进一步验证独立性检验的结论.
(1)根据频率分布直方图的性质, 所有组频率和为 1 , 组距为 10 ,
因此: ,解得: ,
下四分位数即第 25 百分位数, 计算累计频率
频率 0.05 , 累计 0.05 ; 频率 0.05 , 累计 0.1 ;
频率 0.1 ，累计 0.2 ； 频率 0.2 ，累计 0.4 。
,因此第 25 百分位数在区间 内,
计算得:下四分位数下四分位数
(2)零假设 :认真完成作业与成绩无关
认真完成作业 不认真完成作业
成绩优秀 40 10
成绩不优秀 60 90
,因为 ,
依据小概率值 的独立性检验,零假设 不成立,即认真完成作业与成绩有关,
该判断出错概率不超过 0.001 ,
认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为 0.4 ,
不认真完成作业的学生中成绩优秀的频率为 0.1 ,
可以发现认真完成作业的学生成绩优秀的频率是不认真完成作业的学生的 4 倍, 差异显著.
19.
(1) 根据双曲线性质和等边三角形特点,结合勾股定理求出 和 ,从而求出标准方程
(2)分斜率存在和不存在两种情况，分别计算 ，并验证是否为定值.
(1) 设双曲线 的焦距为 ,则可得 , 当 的倾斜角为 时,不妨设 ,如下图所示:
将点 代入 可得 ,
又 ,
解得 ,
由 是等边三角形可得 ,
即 ,联立解得 或 (舍);
所以可得 ,
故双曲线的标准方程为 .
(2)由(1)得 ，即 ，分两种情况讨论:
① 当直线斜率不存在时，此时 的方程为 ，代入双曲线得 ，
即过 ,则 ,
② 当直线斜率存在时,设直线 ,不妨设 ,
联立直线和双曲线方程 ,消去 得 .
由韦达定理: ,
计算可得 ,
代入韦达定理,结果化简得: ,
综上,无论直线 斜率是否存在, 为定值-1 .

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