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2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学 (二)
本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为 ,集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称,则 ( )
A. B. C. D.
3. 设随机变量 ,若 ,则 ( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 9
4. 已知函数 是偶函数，则 ( )
A. B. C. 2 D. 4
5. 若抛物线 的准线为直线 ,且 被圆 所截得的弦长为 , 则该抛物线的方程为( )
A. B. C. D.
6. 下列函数既是奇函数又在区间 上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
7. 从标有0,1,2,3,4的五张卡片中随机选取 4 张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于 2023 的概率为( )
千位 百位 十位 个位
A. B. C. D.
8. 已知 ，则( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知正六棱锥的底面边长为 2,高为 3,则该正六棱锥的( )
A. 侧面积为 B. 表面积为
C. 体积为 D. 外接球的表面积为
10. 已知数列 是公差大于 2 的等差数列,其前 项和为 ,且 , 成等比数列,公比为 ,则( )
A. 的公差为 3 B.
C. 既存在最大值又存在最小值 D. 只存在最大值不存在最小值
11. 已知 是定义域为 的奇函数,当 时, ,则下列叙述正确的有( )
A.
B. 当 时,有
C. 当 时, 的最小值为 4,则
D. 若关于 的方程 有实数根,则所有实数根之和为零
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ，则 _____.
13. 把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥. 在直角圆锥 中,底面圆 的半径为 3，则圆锥 的体积为_____.
14. 设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . 若 边上的高 ,则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 已知 是公差为 的等差数列,其前 项和为 ,且 . (1)求 的通项公式；_____
(2)若数列 满足 ，其前 项和为 ，证明: .
16. 小李为了参加某项考试, 对其理论题进行了 100 次模拟练习, 小李记录了自己 100 次练习情况并将成绩(满分 100 分)频数分布统计如下表所示.
成绩区间 [80, 90) [90,100]
频数 10 20 30 20 20
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；
(2)小李用分层抽样的方式从 的练习成绩中随机抽取了 5 次成绩，再从这 5 次成绩中随机选 2 次，设成绩落在区间 内的次数为 ，求 的分布列及数学期望.
17. 如图,在正四棱台 中, 为 的中点, .
(1)证明: ；
(2)平面 把四棱台 分成两部分，体积分别是 和 ，求 的值;
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)若不等式 恒成立，求 的最大值.
19. 已知椭圆 .
(1)求 的离心率；
(2)若直线 上存在点 ，过点 可以作 的两条切线，且两条切线互相垂直， 求点 的坐标；
(3)若菱形 的四个顶点都在 上，证明: 与 的交点为坐标原点 .
1. D
先解出集合 ,再由集合的交集运算与补集运算即可求解.
因为 ,则 ,即 , 所以 ,则 .
2. C
因为 ,故复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,
因为在复平面内,复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称,
故复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ,即 .
3. B
根据题意,利用正态分布曲线的对称性,列出关系式,即可求解.
由随机变量 ,可得 ,而 , 根据正态分布曲线的对称性,可得 ,解得 .
4. A
因为 具有奇偶性,所以定义域一定关于原点对称,再通过偶函数定义即可求得 ,代入 即可求解.
根据题意得 ,解得 ,此时 , 因为 为偶函数,所以 , 解得 ,经验证 符合题意,故 ,所以 .
5. B
抛物线 的准线 方程为 ,
圆 的圆心为原点,半径为 1,所以圆心到直线 的距离为 ,
所以 ,故 ,即抛物线的准线方程为 , 所以抛物线的方程为 .
6. B
根据三角函数的单调性和奇偶性对各个选项进行判断即可求解.
对于 ,由 ,可得 ,所以函数 的定义域为
因为 ,所以 不是奇函数, 不满足要求. 对于 ,函数 的定义域为 ,且 ,则 是奇函数,
当 时, ,所以函数 在 上单调递增, 满足要求;
对于 ,函数 的定义域为 ,
且 ,则函数 不是奇函数, 不满足要求;
对于 ,函数 的定义域为 ,且 ,所以函数 为奇函数,
当 时, ,所以函数 在 上不单调, 不满足要求.
7. A
当个位数是 0 时,有 种;
当个位数是 2 或 4 时,有 种,
所以组成的四位数的偶数共有 种;
当千位数是 4 时,比 2023 大的偶数有 种;
当千位数是 3 时,比 2023 大的偶数有 种;
当千位数是 2 时,个位是 0 且比 2023 大的偶数有 种,
个位是 4 且比 2023 大的偶数有 种,
所以比 2023 大的偶数共有 种, 所以所求概率为 .
8. A
由对数的运算性质、余弦函数性质结合中间值判断即可.
,
因为 ,
所以 .
9. AB
根据底面边长求出底面积, 根据高可求出侧面积, 进而可求出表面积, 根据外接球的球心在高上, 列方程可求出外接球的半径, 进而可求其表面积.
如图,在正六棱锥 中,取 的中点 ,底面的中心 ,连接 ,
因为底面正六边形的边长为 2,则 ,所以底面积 , 又高为 3,得体积 ,故 错误;
则侧面三角形的高 ,侧面积 ,
所以表面积 ,故 正确;
因为正六棱锥的外接球的球心 在 上,设半径为 ,
则 ,即 ,解得 ,
所以正六棱锥的外接球的表面积 ,故 D 错误.
10. ABD
设等差数列 的公差为 ,
则 ,
由 成等比数列,得 ,
而 ,解得 ,故 正确;
得到数列 的通项公式为 ,
则 ,则 不存在最大值,存在最小值,故 错误;
由 ,得到 ,故 正确;
由二次函数性质得 只存在最大值不存在最小值,故 D 正确.
11. ACD
根据奇偶性可求出函数的解析式,进而可判断 ; 作出 的图象,根据单调性可判断 ; 根据 上的最小值可判断 ; 根据奇函数图象的对称性可判断 .
因为 是定义域为 的奇函数,
当 时, ,此时 ;
当 时, ,此时 ;
当 时, ,
综上可得 ,
所以 ,故 A 正确;
画出函数 的图象,如图,
当 时, 单调递增,故当 时,有 ,故 错误; 由图象可知 ,当 时, 的最小值为 4,则 ,故 正确;
因为函数 和 均是定义域为 的奇函数,
故方程 的所有除 0 外的实数根成对出现,且关于原点对称,
所以所有实数根之和为零, 故 D 正确.
12.
由 ,得 , 则 .
13.
结合轴截面为等腰直角三角形求解圆锥的高, 再结合圆锥的体积公式求解.
圆锥的轴截面为等腰直角三角形 ,如图所示.
在直角圆锥 中， 为底面圆的直径，由圆锥底面半径和 ，
可得圆锥的高为 ,所以圆锥的体积为 .
14.
利用辅助角公式可求得角 ,利用等面积法可得 ,最后根据正弦定理进行边角互化即可求解.
,移项可得 即
因为 ,所以 .
由 ,则 ,
所以 ,利用正弦定理得 ,
又因为 ，则 .
15.(1) 由题意得
解得
所以 .
(2)由 ，
所以
.
16. (1)平均数为:77；上四分位数为:87.5.
(2)分布列为
0 1 2
1 3 5
(1) 根据频数分布表估计样本平均数和上四分位数.
(2)先明确 的可能取值，求出对应的概率，可得 的分布列，再根据期望公式求 即可.
(1)依题意，平均值 .
因为 ,
所以上四分位数落在区间 内,
所以上四分位数为 .
(2)由样本数据可知，练习成绩在 之内的频数之比为 ， 由分层抽样得,在 内抽取了 2 次成绩,在 内抽取了 3 次成绩, 所以 的所有可能取值有 0,1,2 ,
故 的分布列为
0 1 2
1 10 3 5
所以 .
17.(1)由题意知四边形 为正方形，则 ， 将正四棱台 还原为正四棱锥 ， 如图, 作出符合题意的图形,
则 平面 ,又 平面 ,得到 ,
因为 平面 ,
所以 平面 ,因为 平面 ,
所以 ,即 .
(2)利用平面 把棱台分成三棱锥 和几何体 ，
设 ,由题意得 ,
因为 ，
所以 ,故 .
(3)以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系,
设 ,则 ,
所以 ,
,
设平面 的法向量为 ,
则 ,可得 ,
取 ,则 ,得到 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 ,可得 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.
( 2 )单调递增区间为 ，单调递减区间为
(3)
(1) 利用导数的几何意义求出切线斜率, 再由点斜式方程求解即得;
(2)通过导函数的符号判断函数的单调性即可;
(3)依题将问题转化为不等式 恒成立问题,设 ,利用求导得出该函数的最大值为 ,解对数不等式即可求得参数 的范围.
(1) 当 时, ,则 ,
得 . 又 ,
故曲线 在点 处的切线方程为 ,即 .
(2)当 时， ，得 ，
令 ,得 或 (舍去),
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
即 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
(3) 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立.
令 ,则 ,
当 时,则 ,函数 在 上单调递增,
因为 ,不符合题意;
当 时,由 ,得 ,则函数 在 上单调递增,
由 ,得 ,则函数 在 上单调递减,
故 的最大值为 ,
由 和 ,解得 .
综上可得, 的最大值为 .
19.(1) 由 ,得 ,又 ,则 ,即 , 所以离心率 .
(2)如图:
由题设, 易知两条切线的斜率一定存在,
设切线方程为 ,联立 ,可得 ,
则 ,得 ,
则切线方程为 ,而 在切线上,
则 ,所以 ,
则 .
设 分别为过 点的两条切线的斜率,根据垂直关系有 , 所以 ,得 , 故点 的坐标为 .
(3)如图:
当 的斜率不存在时,则 的斜率为 0,此时菱形 的顶点为椭圆的四个顶点, 故 与 的交点为坐标原点 ;
当 的斜率为 0 时,则 的斜率不存在,此时菱形 的顶点为椭圆的四个顶点, 故 与 的交点为坐标原点 ;
当 的斜率存在且不为 0 时,设直线 的方程为 ,
设点 的中点为 .
联立 ,得 ,
所以 ,且 ,
所以 ,即 .
因为菱形的对角线互相垂直平分,所以直线 的方程为 ,
化简得 ,
同理可得 中点的横坐标 ,
因为 且 ,所以 ,即点 ,
即 与 的交点为坐标原点 .
综上所述， 与 的交点为坐标原点 .

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