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BY YUSHEN
第八章　平面解析几何
第二讲　圆
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.圆的定义
　　圆是平面内到定点的距离等于定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为
半径.
　　2. 圆的标准方程
　　（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），其中圆心坐标为（a，b），半径
为r.
　　3.圆的一般方程
　　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），其中圆心坐标为，半径为r＝ .
　　注意：①当D2＋E2－4F＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；
　　②当D2＋E2－4F＜0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
　　4.几种特殊的圆的标准方程（r＞0）
特殊条件 圆的方程
圆心在原点 x2＋y2＝r2
圆心在x轴上 （x－a）2＋y2＝r2
圆心在y轴上 x2＋（y－b）2＝r2
过原点 （x－a）2＋（y－b）2＝a2＋b2（a，b不同时为0）
与x轴相切 （x－a）2＋（y－b）2＝b2（b≠0）
与y轴相切 （x－a）2＋（y－b）2＝a2（a≠0）
好题解析＞
　　例1　若曲线x2＋y2＋2x＋my＋2＝0表示圆，则m的取值范围为（　　 ）
A. （2，＋∞） B. ［2，＋∞）
C. （－∞，－2） （2，＋∞） D. （－∞，－2］ ［2，＋∞）
　　【参考答案】曲线x2＋y2＋2x＋my＋2＝0表示圆，则22＋m2－4×2＞0，解得m＜－2或m＞2.
故选C.
　　例2　圆（x－2）2＋（y＋3）2＝16的圆心坐标和半径分别是（　　）
A. （2，－3），4 B. （－2，3），4
C. （2，－3），16 D. （－2，3），16
　　【参考答案】圆（x－2）2＋（y＋3）2＝16的圆心坐标和半径分别是（2，－3），4.故选A.
对点检测1＞
　　（1）已知p：t＞1，q：关于x，y的方程x2＋y2－6tx＋8ty＋25＝0表示圆，则p是q的
（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】要使方程x2＋y2－6tx＋8ty＋25＝0表示圆，则必须满足2＋2－4×25＞0，即t2＞1，解
得t＞1或t＜－1，所以p q，q /　p，p是q的充分不必要条件.
A
　　（2）若圆C经过点A（2，5），B（4，3），且圆心在直线l：3x－y－3＝0上，则圆C的方
程为（　A　）
A. （x－2）2＋（y－3）2＝4 B. （x－2）2＋（y－3）2＝8
C. （x－3）2＋（y－6）2＝2 D. （x－3）2＋（y－6）2＝10
【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心坐标为 .∵圆心在直线l：3x－y－3＝
0上，∴3× ＋ －3＝0，即3D－E＋6＝0①.将点A（2，5），B（4，3）代入圆的方程，则有4＋
25＋2D＋5E＋F＝0②，16＋9＋4D＋3E＋F＝0③，联立①②③，解得D＝－4，E＝－6，F＝9.∴圆
的方程为x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即（x－2）2＋（y－3）2＝4.
A
　　求圆的方程的两种方法
　　（1）直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.
　　（2）待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组，解出系数得到圆的方程.
位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断
点在圆外 d＞r
点在圆上 d＝r
点在圆内 d＜r
　　其中，d是点到圆心的距离，（x0，y0）是任意一点的坐标，
（a，b）是圆心坐标.
好题解析＞
　　例3　已知点A（1，1）在圆C：（x＋1）2＋（y－2）2＝m的外部，则m的取值范围为
（　　 ）
A. （－∞，5］ B. （－∞，5）
C. （0，5］ D. （0，5）
　　【参考答案】由题意可得m＜（1＋1）2＋（1－2）2＝5，m＝r2＞0.故选D.
　　例4　过点（2，4）作圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线可以作（　　 ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
　　【参考答案】圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为（x－1）2＋（y－2）2＝4.因为（2－1）2＋（4－2）
2＝5＞4，所以点（2，4）在圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0的外部，所以切线可以作2条.故选C.
对点检测2＞
　　点（－2，3）与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的位置关系是（　A　）
A. 在圆外 B. 在圆上
C. 在圆内 D. 无法判断
【解析】因为点（－2，3）到圆心（2，1）的距离为 ＝2 ，半径r＝
＝ ＝3，所以2 ＞3，所以点（－2，3）在圆外.
A
　　直线l：Ax＋By＋C＝0与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系的判
断
位置
关系 几何法：d是圆心
到直线的距离 代数法：把直线方程代入圆的方程，消
元得到一元二次方程，计算判别式Δ 公共点
个数
相交 d＜r Δ＞0 2个
相切 d＝r Δ＝0 1个
相离 d＞r Δ＜0 0个
好题解析＞
　　例5　 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＝0，直线l：2x－y－1＝0，则圆C与直线l的位置关系
是（　　 ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 相交且直线过圆C的圆心
　　【参考答案】由x2＋y2＋2x－4y＝0可得（x＋1）2＋（y－2）2＝5.故圆心C（－1，2），半径r＝
，则圆心到直线l：2x－y－1＝0的距离d＝ ＝ ＝r，所以圆与直线相切.故选B.
　　例6　若直线y＝3x＋b与圆x2＋y2＝10相切，则b＝（　　）
C. ±10
　　【参考答案】根据题意可得圆心坐标为（0，0），半径r＝ ，因为直线y＝3x＋b与圆x2＋y2＝
10相切，所以 ＝ ，所以｜b｜＝10，即b＝±10.故选C.
对点检测3＞
　　（1）已知直线l：x－y＋k＝0与圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝2的位置关系是相离，则
k的取值范围是 （　B　）
A. （－2，2） B. （－∞，－2） （2，＋∞）
C. （－2，1） D. （－∞，－2） （1，＋∞）
【解析】 由已知得圆心坐标为（1，1），半径为 ，所以圆心到直线的距离d＝ ＝ .因为直线
与圆相离，所以有d＞r，即 ＞ ，解得k＞2或k＜－2.
B
　　（2）直线3x＋4y－1＝0和圆（x－3）2＋（y＋2）2＝4的位置关系是（　C　）
A. 相离 B. 相切
C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心
【解析】圆（x－3）2＋（y＋2）2＝4的圆心（3，－2）到直线3x＋4y－1＝0的距离d＝
＝0，∴直线3x＋4y－1＝0与圆（x－3）2＋（y＋2）2＝4的位置关系为相交且过圆心.
C
　　1.圆的弦长问题在职教高考中通常有两种考题模式
　　一是已知直线与圆的方程，求圆的弦长；二是已知圆的弦长，求解直线或圆
的方程中的参数.
　　2.解决圆的弦长问题一般有两种方法
　　（1）几何法：设直线l被圆截得的弦长为AB，圆的半径为r，圆心到直线的
距离为d，则有2＋d2＝r2，故弦长 ＝2 .
　　（2）代数法：若斜率为k（斜率存在）的直线与圆相交于A（x1，y1），B
（x2，y2）两点，则 ＝ ＝ ＝ ＝ .
好题解析＞
　　例7　 已知直线l：3x－y－5＝0与圆C：x2＋y2－2x－6y＋6＝0交于A，B两点，则
＝（　　 ）
　　【参考答案】将圆C的一般方程x2＋y2－2x－6y＋6＝0转化为标准方程为（x－1）2＋（y－3）2＝
4，故其圆心坐标为C（1，3），半径r＝2，所以圆心到直线l的距离为d＝ ＝ ＝ ，所
以 ＝2 ＝ .故选B.
　　例8　过点（1，1）且被圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0所截的弦长为2 的直线的方程为
（　　 ）
A. x＋y＋2＝0 B. x－y－2＝0
C. x－y＋2＝0 D. x＋y－2＝0
　　【参考答案】圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0可化为（x－2）2＋（y－2）2＝4，所以该圆的圆心坐标为
（2，2），半径r＝2.因为弦长为l＝2 ，所以圆心到直线的距离为d＝ ＝ .若直线的斜率不
存在，则直线方程为x＝1，则圆心（2，2）到直线x＝1的距离为1，不符合题意；若直线的斜率为k，则
直线方程可设为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0，所以d＝ ＝ ，解得k＝－1，
所以直线方程为x＋y－2＝0.故选D.
对点检测4＞
　　若直线x－y＋m＝0被圆x2＋4x＋y2－4y＋6＝0所截弦长是 ，则实数m的值是
（　D　）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 3或5
【解析】将圆x2＋4x＋y2－4y＋6＝0化为标准方程为（x＋2）2＋（y－2）2＝2，则圆心（－2，2）到直
线x－y＋m＝0的距离为 ＝ ，又所截弦长是 ，半径为 ，则（ ）2＝2＋
2，解得m＝3或m＝5.
D
　　1.过圆上一点P（x0，y0）求圆的切线
　　（1）先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－ ，由
点斜式可得切线方程.
　　（2）若斜率为零或者不存在，则切线方程为y＝y0或者x＝x0.
　　（3）切线只有一条.
　　2.过圆内一点做圆的切线，切线不存在.
　　3. 过圆外一点P（x0，y0）求圆的切线
　　（1）若斜率存在，先设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的
距离等于半径建立方程，可求出k，即得切线方程.
　　（2）当斜率不存在时，切线方程为x＝x0，需验证.
　　（3）切线有2条.
好题解析＞
　　例9　已知圆的圆心坐标为（－2，3），且与直线x－2y＋3＝0相切，则圆的标准方程为
（　　 ）
A. （x＋2）2＋（y－3）2＝25 B. （x－2）2＋（y＋3）2＝25
C. （x＋2）2＋（y－3）2＝5 D. （x－2）2＋（y＋3）2＝5
　　【参考答案】由题意可知：圆心（－2，3）到切线x－2y＋3＝0的距离为d＝ ＝ ，所
以圆的半径r＝ ，故圆的方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝5.故选C.
　　例10　 经过点P（1，0），且与圆x2＋y2－4x－2y＋3＝0相切的直线的方程为（　　 ）
A. x＋y－1＝0 B. x＋y＋1＝0
C. x－y－1＝0 D. x－y＋1＝0
　　【参考答案】因为12＋02－4×1－2×0＋3＝0，所以P（1，0）是圆上一点.因为x2＋y2－4x－2y＋3
＝0可化为（x－2）2＋（y－1）2＝2，所以其圆心坐标为O（2，1）.设切线斜率为k，由kOP k＝－1，
kOP＝ ＝1，所以k＝－1，所以切线方程为y－0＝－1×（x－1），即x＋y－1＝0.故选A.
对点检测5＞
　　（1）经过点M（2，1）作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程是（　C　）
【解析】∵22＋12＝5，∴点M在圆上，切线与MO垂直.又∵kOM＝ ，∴切线斜率为－2.由点斜式可得切线方
程为y－1＝－2（x－2），即2x＋y－5＝0.
C
　　（2）过点P（ ，1）作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则 ＝
（　D　）
A. 0 B. 3
【解析】由题意可得圆心为O（0，0），半径r＝1， ＝ ＝2.因为PA，PB是圆的切线，所以
OA⊥PA，OB⊥PB. 在直角三角形OPB中， ＝ ＝ ＝ ，∠OPB＝30°，
所以∠APB＝2∠OPB＝60°， ＝ cos 60°＝ × × ＝ .
D
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知直线y＝x与圆O：x2＋y2＝9交于A，B两点，则｜AB｜＝（　A　）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 2
2. 若过点M 的直线与圆x2＋2＝5相切，且与直线mx＋y＋5＝0垂直，则m的值
为（　D　）
A. 2 C. －2
3. 经过圆x2＋y2＝5上的点（1，－2）的切线方程为（　A　）
A. x－2y－5＝0 B. x＋2y－5＝0
C. x－2y＋5＝0 D. x＋2y＋5＝0
A
D
A
4. 已知直线3x－4y－1＝0和圆x2＋y2－4y－5＝0，则直线与圆的位置关系是（　B　）
A. 相交且过圆心 B. 相交但不过圆心
C. 相切 D. 相离
5. 从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引切线，则切线方程为（　A　）
A. 3x－4y＋6＝0和x＝2 B. 3x＋4y－6＝0和x＝2
C. 3x＋4y－6＝0和x＝－2 D. 3x－4y＋6＝0和x＝－2
6. 已知圆（x－a）2＋（y－4）2＝a＋b的圆心在直线y＝x＋b上，则该圆的半径为
（　B　）
B. 2 D. 1
B
A
B
7. 若直线2x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝9相切，则a的值为（　C　）
8. 若直线ax＋by＝4与圆x2＋y2＝4有两个公共点，则点P 与圆x2＋y2＝4的位置关系是
（　B　）
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 以上都有可能
C
B
二、填空题
9. 已知圆C：x2＋y2＋4y－5＝0的圆心在直线3x－2y＋m＝0上，则m＝ .
10. 如图所示，ACB为一弓形，且A，B，C的坐标分别为 ，（4，0），（0，2），则
弓形所在圆的标准方程为 .
－4
x2＋（y＋3）2＝25
11. 已知圆C：（x－2）2＋（y－2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小
为 .
12. 圆x2＋y2＝4关于点（2，4）对称的圆的方程为 .
90°
（x－4）2＋（y－8）2＝4
三、解答题
13. 将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径：
（1）x2＋y2＋2x＋4y－4＝0；
解：（1）方程化为2＋2＝9，所以圆心的坐标为 ，半径为3.
（2）3x2＋3y2＋6x＋3y－15＝0.
解：（2）方程两边除以3，得x2＋y2＋2x＋y－5＝0，对方程左边配方，方程化为2＋2＝
，所以圆心的坐标为 ，半径为 .
14. 求直线l：x＋y＋3＝0被圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0截得的弦长.
解：∵圆的方程为C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，
∴圆的圆心坐标为（1，－2），半径r＝2.
∴圆心到直线的距离为d＝ ＝ .
∴弦长的一半 l＝ ＝ ，故l＝2 .
15. 已知圆C：（x＋1）2＋（y－2）2＝13，求经过圆上一点P（1，－1）的圆的切线方程.
解：由C：（x＋1）2＋（y－2）2＝13得圆心坐标为C（－1，2），则kPC＝ ＝－ ，设圆的切线
的斜率为k，因为直线PC垂直于圆的切线，所以kPC k＝－1，解得k＝ ，由直线的点斜式方程可得圆的
切线方程为y－（－1）＝ （x－1），即2x－3y－5＝0.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　D　）
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称
C. 关于直线x－y＝0对称 D. 关于直线x＋y＝0对称
【解析】由题得圆心C（－a，a），圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称.
D
2. 过点A（－1，1），B（1，3），且圆心在x轴上的圆的标准方程是（　A　）
A. （x－2）2＋y2＝10 B. （x－2）2＋y2＝2
C. x2＋（y－2）2＝10 D. x2＋（y－2）2＝2
【解析】因为圆过点A（－1，1），B（1，3），且圆心在x轴上，所以设圆心为O（a，0），则｜
AO｜＝｜BO｜，即 ＝ ，解得a＝2，所以 ＝ ，所以圆的标准
方程为（x－2）2＋y2＝10.
A
3. 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是（　A　）
B. 2
【解析】圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为标准形式（x－1）2＋（y－1）2＝1，∴圆心坐标为（1，1），
半径为1，圆心（1，1）到直线x－y＝2的距离d＝ ＝ ，则所求距离的最大值为d＋r＝1
＋ .
A
4. 圆x2＋y2－4x＝0在点P（1， ）处的切线方程为（　D　）
【解析】因为点（1， ）在圆上，圆心为（2，0），则k＝ ＝－ ，故切线的斜率为k′＝ ，
所以切线方程为y－ ＝ （x－1），整理得x－ y＋2＝0.
D
5. 已知直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，且与直线x＋2y＋3＝0垂直，则l的方程为
（　D　）
A. 2x＋y＝0 B. 2x＋y－3＝0
C. 2x－y－4＝0 D. 2x－y＋2＝0
【解析】因为直线l将圆C：x2＋y2＋x－2y＋1＝0平分，所以直线l过圆心 ，因为直线l与直
线x＋2y＋3＝0垂直，所以斜率为2，所以直线l的方程为y－1＝2 ，即2x－y＋2＝0.
D
6. 已知直线l：x－2y＋a－1＝0与圆2＋2＝9相交所得弦长为4，则a＝
（　D　）
A. －9 B. 1 C. 1或－2 D. 1或－9
【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为 ，因为直线l：x－2y＋a－1＝0与圆2＋
2＝9相交所得弦长为4，所以9－2＝2，即a2＋8a－9＝0，解得a＝1或a＝－9.
D
7. 当直线l：mx＋y－m－1＝0被圆C：x2＋y2－4x＝0截得的弦长最短时，实数m＝
（　B　）
B. －1 D. 1
【解析】将直线l的方程变形为m（x－1）＋y－1＝0，由 可得 所以直线l经过定
点A ，圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝4，圆心为C ，因为（1－2）2＋12＜4，所以点A
在圆C内，故当AC⊥l时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时直线l被圆C截得的弦长最短，因为kAC
＝ ＝－1，直线l的斜率为－m，所以－m× ＝－1，解得m＝－1.
B
8. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3 ，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P
为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　C　）
A. 点B，C均在圆P外 B. 点B在圆P外、点C在圆P内
C. 点B在圆P内、点C在圆P外 D. 点B，C均在圆P内
【解析】如图所示，PD＝ ＝7，所以该圆是以P为圆心，7为半径的圆，
PB＝6＜7，所以点B在圆P内，PC＝ ＝9＞7，所以点C在圆P外.
C
二、填空题
9. 已知点A 在圆C：2＋2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为
.
【解析】因为点A在圆C的内部，所以 解得a＜－ .
10. 圆（x－2）2＋（y＋2）2＝2截直线x－y－5＝0所得弦长为 .
【解析】圆心（2，－2）到直线x－y－5＝0的距离为d＝ ＝ ，所以弦长为2 ＝
2× ＝ .
a＜－

11. 已知圆的圆心坐标为（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的标准方程
是 .
【解析】设直径的两个端点分别为A（a，0），B（0，b），圆心为点（2，－3），由中点坐标公式得
a＝4，b＝－6，∴r＝ AB＝ ，所以此圆的标准方程是（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
12. 由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为 .
【解析】当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时，此时切线长最小.因为圆心（3，0）到直线的距离为d
＝ ＝2 ，圆的半径为1，故切线长的最小值为 ＝ ＝ .
（x－2）2＋（y＋3）2＝13

三、解答题
13. 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线l：y＝x＋b，当b分别为何值时，圆与直线l相交、相切
或相离？
解：圆x2＋y2＝2的圆心坐标为（0，0），半径r＝ .
圆心到直线l的距离d＝ .
当d＜r，即－2＜b＜2时，直线l与圆相交；
当d＝r，即b＝－2或b＝2时，直线l与圆相切；
当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线l与圆相离.
14. 从圆（x－1）2＋（y－2）2＝4外一点P（3，3）向这个圆引切线，求切线的方程.
解：当k存在时，设切线方程为y－3＝k（x－3）.
则圆心到切线的距离d＝ ＝2，
解得k＝－ .
所以切线方程为y－3＝－ （x－3），即3x＋4y－21＝0.
当k不存在时，另一条切线的方程为x＝3.
所以切线方程为3x＋4y－21＝0或x＝3.
15. 已知圆C的圆心与点P 关于直线y＝x－1对称，直线3x＋4y＋16＝0与圆C相交于
A，B两点，且 ＝6，求圆C的方程.
解：设C .
因为圆心C与点P 关于直线y＝x－1对称，
所以PC的中点在y＝x－1上，且直线PC与直线y＝x－1垂直，即满足 解得
故C .
由距离公式可得圆心C到直线3x＋4y＋16＝0的距离d＝ ＝2.
设圆C的半径为r，
由弦长公式得 ＝2 ＝2 ＝6，
解得r＝ ，
所以圆C的方程为2＋2＝13.

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