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BY YUSHEN
第八章　平面解析几何
第三讲　椭圆
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.定义
　　平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数2a（大于 ）的点的轨迹
叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离2c称为焦距，焦距的
一半称为半焦距.
　　椭圆上的任意一点M满足： ＋ ＝2a.
　　注意：（1）椭圆上的点到两焦点距离之和必须大于两定点间的距离；
　　（2）当距离和等于 时，点的轨迹是线段；
　　（3）当距离和小于 时，点的轨迹不存在.
　　2.标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
焦点 （－c，0）和（c，0） （0，－c）和（0，c）
a，b，c的关系 c2＝a2－b2 好题解析＞
　　例1　已知椭圆C的一个焦点坐标为（1，0），且过点（0， ），则椭圆C的标准方程为
（　　 ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
　　【参考答案】由题意可知，椭圆的焦点在x轴，故设其方程为 ＋ ＝1 （a＞b＞0），显然c＝
1，b＝ ，则a2＝b2＋c2＝4，b2＝3，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.故选B.
　　例2　若方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为（　　）
A. B. （－1，＋∞）
C. D. （2，＋∞）
　　【参考答案】因为方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，所以 解得m＞
2，所以m的取值范围是（2，＋∞）.故选D.
对点检测1＞
　　（1）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足2b＝4 的椭圆方程为（　B　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
【解析】由9x2＋4y2＝36可得 ＋ ＝1，所以所求椭圆焦点在y轴上，且c2＝a2－b2＝5.又2b＝4 ，
所以b2＝20，a2＝c2＋b2＝25，故椭圆方程为 ＋ ＝1.
B
　　（2）若方程 ＋ ＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（　D　）
A. （2，3） B. （1，3）
C. （－1，2） D. （－1，1）
【解析】由题可得3－m＞m＋1＞0，解得m∈（－1，1）.
D
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图像
标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，－b） A1（0，a），A2（0，－a），B1（－b，0），B2（b，0）
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，c），F2（0，－c）
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
对称轴 x轴，y轴（长轴长2a，短轴长2b） 焦距 ｜F1F2｜＝2c（c＞0） 离心率 e＝ ＝ （0＜e＜1） a，b，c的关系 c2＝a2－b2 　　注意：①椭圆的焦点一定在长轴上；②椭圆上到焦点的距离最大和最小的点
分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.
好题解析＞
　　例3　已知椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，则下列说法中不正确的是（　　）
A. 焦点在x轴 B. 长轴长为10
C. 短轴长为8 D. 离心率e＝1
　　【参考答案】根据题干信息可知椭圆的离心率为 ＝ ，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为
8.故选D.
　　例4　若焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，则m＝（　　）
A. B. C. D.
　　【参考答案】∵焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，∴ ＝ ，∴m＝ .故选C.
对点检测2＞
　　（1）已知椭圆 ＋ ＝1，则下列说法正确的是（　C　）
A. 有一个顶点为（0，3） B. 长轴长为6
C. 焦点在y轴上 D. 离心率e＝
【解析】∵椭圆 ＋ ＝1，∴焦点在y轴上，顶点为（0，3），（0，－3），（2，0），（－2，0），短
轴长为4，离心率e＝ .
C
　　（2）若椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ ，则k的值为（　D　）
A. B. 8 C. 或14 D. 8或
【解析】∵椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ ，∴ ＝ （焦点在x轴）或 ＝ （焦点在y轴）.当焦点在x轴上时，椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ ，∴ ＝ ，k＋4＞9，∴k＝8；当焦点在y轴上时，椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ ，∴ ＝ ，9＞k＋4＞0，∴k＝ .∴k＝ 或k＝8.
D
　　椭圆的标准方程的求法
　　1. 定义法：根据椭圆的定义，确定a，b，c的值，结合焦点位置可写出椭
圆方程.
　　
　　2. 待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，一般步骤如下：
第一步：做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两
个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
　　第二步：设方程.根据上述判断假设方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）或 ＋
＝1（a＞b＞0），有时候为了解题方便，也可以把椭圆方程设为mx2＋ny2＝
1（m＞0，n＞0，m≠n）的形式.
　　第三步：找关系.根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组.
　　第四步：解方程组，将解代入所设方程，即得所求.
好题解析＞
　　例5　已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭
圆有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（　　 ）
A. B. C. D.
　　【参考答案】因为以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b＜c，即b2＜c2，所以a2－c2＜c2，则
＞ ，所以e2＞ ，即e＞ ，又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围为 .故选A.
　　例6　如图所示，椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，
且 ＝0，则离心率e＝（　　 ）
A. B.
C. D.
　　【参考答案】因为 ＝0，所以FA⊥AB，所以△AFB为直角三角形，又 ＝a， ＝
， ＝a＋c，所以a2＋（ ）2＝（a＋c）2，化简整理可得c2＋ac－a2＝0，则2
＋ －1＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝ 或e＝－ （舍去）.故选A.
对点检测3＞
　　（1）已知椭圆C的短轴长与焦距相等，则离心率为（　B　）
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得b＝c，则a＝ c，e＝ ＝ .
B
　　（2）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），P为椭圆的左顶点，
且 ＝5，则C的离心率为（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】由题意可得｜PF｜＝a＋c＝a＋2＝5，解得a＝3，所以e＝ ＝ .
A
　　求椭圆的离心率（离心率的取值范围）的方法：
　　（1）直接法：若已知a，c可直接利用公式.若已知a，b或者b，c借助a2
＝b2＋c2求出c或者a，再代入公式即可得出.
　　（2）若a，c的值不可求，只需要根据条件得到关于a，b，c的齐次式，结
合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后方程（不等式）两边分别除以a或a2，
转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范
围）.
　　1.椭圆的焦点三角形：椭圆上一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形.
　　2. 在以椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点任意P（x0，y0）（y0≠0）和
焦点F1（－c，0），F2（c，0）为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则有如
下结论：
　　（1）｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a；
　　（2）4c2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜ ｜PF2｜ cos θ；
　　（3）S△PF1F2＝ sin θ；当 ＝b，即P为短轴端点时，
S△PF1F2取得最大值，最大值为bc；
　　（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）；
　　（5）当P为短轴端点时，θ最大.
好题解析＞
　　例7　已知椭圆 ＋ ＝1上有一点P，焦点为F1，F2，则△PF1F2的周长为（　　）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
　　【参考答案】椭圆 ＋ ＝1的焦点在x轴上，且a2＝25，b2＝9，即a＝5，则c2＝a2－b2＝16，因
为P为椭圆上的点，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，又｜F1F2｜＝2c＝8，故△PF1F2的周长为｜
PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜＝18.故选D.
　　例8　已知F1，F2为椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点，点P在椭圆C上，∠F1PF2＝60°，
则 ＝（　　 ）
A. B. 20
C. D. 10
　　【参考答案】由题意可知：a2＝9，b2＝5，则a＝3，b＝ ，c＝ ＝2.由椭圆的定义可得
＋ ＝2a＝6，即2＋2＋2 ＝36①；又 ＝2c＝4，由余弦定理可得：
2＝2＋2－2 cos 60°，则2＋2－ ＝16②.由①－②得
＝ .故选A.
对点检测4＞
　　已知P是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120°，则
△PF1F2的面积为（　C　）
A. B. C. D.
【解析】由椭圆方程可知a＝2，b＝ ，c＝1，∴ ＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得2
＝2＋2－2 cos ∠PF1F2，即2＝2＋4＋2 ①；由椭圆定义得
＋ ＝2a＝4②，联立①②解得 ＝ ，∴S△PF1F2＝ sin ∠PF1F2＝ × ×2×
＝ .
C
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 椭圆 ＋ ＝1的长轴长为（　B　）
A. 4 B. 8
C. 3 D. 6
2. 若椭圆 ＋ ＝1上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（　C　）
A. 31 B. 15
C. 7 D. 1
B
C
3. 已知焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 ，则b＝（　B　）
A. B.
C. 2 D. 3
4. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，
则椭圆的短轴长为（　A　）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 4
B
A
5. 若过椭圆 ＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B两点，则 ＝
（　C　）
A. 4 B. 2 C. 1 D. 4
6. 椭圆 ＋y2＝1的离心率是（　C　）
A. B. C. D.
C
C
7. 若曲线 ＋ ＝1表示椭圆，则k的取值范围是（　D　）
A. k＞2 B. k＜－2
C. －2＜k＜2 D. －2＜k＜0或0＜k＜2
8. 若椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为 ，长轴长为4，则椭圆的标准方程为（　B　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1或 ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1或 ＋ ＝1
D
B
二、填空题
9. 焦点在y轴上，长轴长为8，离心率为 的椭圆的标准方程为 　 ＋ ＝1　.
10. 若方程 ＋ ＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 　 　.
11. 椭圆25x2＋16y2＝1的长轴长为 　 　，焦点坐标为 　 　，离心率为 　 　.
12. 已知两点A（－3，0）与B（3，0），若｜PA｜＋｜PB｜＝10，则P点的轨迹方程是
.
＋ ＝1




＋ ＝1
三、解答题
13. 如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F和一个顶点B，求该椭圆的离心率.
解：对于直线l：x－2y＋2＝0，令x＝0，解得y＝1，所以B ，令y＝0，解得x＝－2，所以
F ，则b＝1，c＝2，所以a＝ ＝ ，则离心率e＝ ＝ ＝ .
14. 求焦点在x轴上，焦距为4，且经过点P 的椭圆的标准方程.
解：由题意得c＝2，又焦点在x轴上，所以焦点为F1 ，F2 ，所以2a＝ ＋ ＝
＋ ＝2 ，所以a＝ ，
b＝ ＝ ＝ ，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
15. 已知椭圆C的中心在坐标原点，点A（0，5），B（3，0）在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
解：（1）因为A（0，5），B（3，0）在椭圆C上，
所以a＝5，b＝3，故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）求椭圆C的焦点坐标和离心率；
解：（2）由椭圆方程可知a＝5，b＝3，c＝4，且焦点在y轴上，所以焦点坐标为（0，±4），离心率e
＝ ＝ .
（3）设椭圆上的一点M与两焦点F1，F2围成了 △F1MF2，求该三角形的周长.
解：（3）因为点M在椭圆上，两焦点分别为F1，F2，所以△F1MF2的周长为｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜
F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 椭圆9x2＋4y2＝36的焦点坐标为（　A　）
A. （0，± ） B. （± ，0）
C. （0，±3） D. （0，±2）
【解析】由椭圆方程9x2＋4y2＝36得椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，所以a2＝9，b2＝4，且焦点在y轴
上，因为c＝ ＝ ，所以焦点坐标为（0，± ）.
A
2. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），且点（0，3）在椭圆上，则椭圆
的标准方程为（　A　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
【解析】由题知，椭圆焦点在x轴上，且b＝3，c＝3，所以a2＝18，b2＝9，标准方程为 ＋ ＝1.
3. 已知焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1的离心率e＝ ，则m＝（　A　）
A. 1 B. ±1 C. 3 D. ±3
【解析】由椭圆焦点在x轴上，知a2＝10，又 ＝ ，所以c＝3，m＝b2＝a2－c2＝1.
A
A
4. 如图所示，已知椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为F1，短轴的一个端点为A，长轴的一个端点为
B，则△ABF1的周长为（　A　）
A. 18 B. 16
C. 14 D. 12
【解析】从图中知：｜AF1｜＝a＝5，｜BF1｜＝a＋c＝5＋1＝6，｜AB｜＝ ＝
＝ ＝7，故周长为18.
A
5. 已知椭圆C： ＋ ＝1 的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，
若△OAB是直角三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率为（　C　）
A. －2 B. －1 C. D.
【解析】过F 作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，故A ，B ，由于三角形
OAB是直角三角形，所以 ＝c，又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，即1－e2＝e，解得e＝ ，因
为0＜e＜1，所以e＝ .
C
6. 在椭圆中，若a，b，c成等差数列，则离心率e＝（　B　）
A. B. C. D.
【解析】因为在椭圆中a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即4b2＝（a＋c）2，所以4（a2－c2）
＝a2＋2ac＋c2，得 ＝ 或 ＝－1（舍去），故离心率e＝ .
7. 椭圆 ＋ ＝1与椭圆 ＋ ＝1（m＞0）具有相同的（　D　）
A. 长轴长 B. 短轴长 C. 离心率 D. 焦距
【解析】由两椭圆方程可知a2－b2＝5相同，所以两椭圆的焦距相同.
B
D
8. 已知椭圆 ＋ ＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则实数m的值为（　D　）
A. 8 B. 7 C. 5 D. 4
【解析】∵椭圆 ＋ ＝1的焦点在y轴上，∴10－m＞m－2＞0，∴2＜m＜6，∵椭圆的焦距2c＝4，
∴c＝2，∴a2＝10－m，b2＝m－2，c2＝a2－b2＝12－2m，∴12－2m＝4，∴m＝4.
D
二、填空题
9. 若P是椭圆 ＋ ＝1上的一点，F1，F2是两个焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面
积为 .
【解析】如图所示：设 ＝m， ＝n，所以 可得mn＝32.所以S△PF1F2＝
mn＝16.
16
10. 已知焦点在x轴上的椭圆C： ＋ ＝1的焦距是4，则离心率e为 　 　.
【解析】∵椭圆C： ＋ ＝1的焦距是4，∴2c＝4，则c＝2，∵椭圆焦点在x轴上，∴a2＝m，b2＝4，
a2＝b2＋c2，则m＝4＋4＝8，∴e＝ ＝ .

11. 如图所示，设F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞0）的左、右焦点，过F2作x轴的垂线
与C交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则a的值为 .
【解析】由椭圆方程可得a2－c2＝2①，因为△ABF1是等边三角形，所以 ＝ tan 30°＝ c，
故A ，将点A代入椭圆方程可得 ＋ ＝1②，由①②可得

12. 已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，则
△ABF2的周长等于 .
【解析】由题意可得△ABF2的周长为｜AB｜＋｜F2A｜＋｜F2B｜＝｜AF1｜＋｜F1B｜＋｜F2A｜
＋｜F2B｜＝4a＝4×3＝12.
12
三、解答题
13. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，焦距为4 ，求该椭
圆的标准方程.
解：由题意得 解得
所以所求椭圆方程为 ＋y2＝1.
14. 已知直线2x＋y－1＝0与椭圆2x2＋y2＝2交与M，N两点.求：
（1）线段MN的中点坐标；
解：设M（x1，y1），N（x2，y2）.
联立方程组
消去y得6x2－4x－1＝0，
所以 又因为
所以y1＋y2＝－2（x1＋x2）＋2＝ .
（1）因为线段MN的中点坐标为 ，所以中点坐标为 .
（2）弦长｜MN｜.
解：设M（x1，y1），N（x2，y2）.
联立方程组
消去y得6x2－4x－1＝0，
所以 又因为
所以y1＋y2＝－2（x1＋x2）＋2＝ .
（2）因为
所以｜MN｜＝ ＝ .
15. 已知斜率为1的直线l过椭圆 ＋ ＝1的右焦点F2，交椭圆于A与B两点，求弦长｜AB｜.
解：∵椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，
∴a2＝3，b2＝2，
∵c2＝a2－b2，
∴c2＝1，即椭圆右焦点坐标为（1，0），
∴直线方程为y＝x－1，
联立 消去x得5y2＋4y－4＝0，
∴y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ，
∴（y1－y2）2＝ ，
由弦长公式得｜AB｜＝ ＝ .

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