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BY YUSHEN
第八章　平面解析几何
第四讲　双曲线
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.定义
　　平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数2a（小于｜F1F2｜）
的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离2c称
为焦距，焦距的一半称为半焦距.
　　双曲线上的任意一点M满足： － ＝±2a（0＜2a＜ ）.
　　注意：（1）双曲线上的点到两焦点距离之差必须小于两定点间的距离；
　　（2）当距离差等于 时，点的轨迹是两条射线；
　　（3）当距离差大于 时，点的轨迹不存在.
　　2.标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
焦点 （－c，0）和（c，0） （0，－c）和（0，c）
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
好题解析＞
　　例1　平面上，到两定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6的点M的轨
迹是（　　 ）
A. 椭圆 B. 直线 C. 双曲线 D. 两条射线
　　【参考答案】因为 ＝6， ＝6，所以点M的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线.
故选D.
　　例2　若方程 ＋ ＝1表示双曲线，则k的取值范围是（　　）
A. （－∞，1） B. （2，＋∞）
C. （1，2） D. （1，＋∞）
　　【参考答案】因为方程 ＋ ＝1表示双曲线，所以（k－1）（k－2）＜0，所以1＜k＜2，所以
k的取值范围是（1，2）.故选C.
对点检测1＞
　　（1）若双曲线C： － ＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上且 ＝
16，则 ＝（　B　）
A. 26或6 B. 26 C. 6 D. 28
【解析】由双曲线方程可得a＝5，b＝12，c＝13.因为 ＝2a＝10，所以 ＝6或26.又
因为c－a＝8＞6，所以｜PF2｜＝26.
B
　　（2）若方程 ＋ ＝1表示实轴在x轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（　A　）
A. （－∞，1） B. （2，＋∞）
C. （1，2） D. （－∞，1） （2，＋∞）
【解析】∵方程 ＋ ＝1表示实轴在x轴上的双曲线，∴ 解得k＜1.
A
　　1.定义法：根据双曲线的定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双
曲线的方程.常用的关系式有：①c2＝a2＋b2；②双曲线上任意一点到双曲线的
两焦点的距离之差的绝对值等于2a.应该特别注意：求轨迹方程时，满足条件
－ ＝2a（0＜2a＜ ）的曲线为双曲线的一支，应该注意取舍.
　　2.待定系数法：
　　（1）一般步骤：
　　①判断：根据已知条件确定焦点的位置；
　　②假设：根据焦点的位置假设双曲线的标准方程（或其他形式的方程）；
　　③列式：根据题意，列出关于a，b，c的方程或方程组；
　　④求解：解方程或方程组得结果.
　　（2）常见的设法：
　　①与双曲线 － ＝1共渐近线的双曲线可设为 － ＝λ（λ≠0）.
　　②若双曲线的渐近线方程为y＝± x，则可设双曲线方程为 － ＝λ
（λ≠0）.
　　③与双曲线 － ＝1共焦点的双曲线的方程可设为 － ＝
1 .
　　④焦点位置不明确时，可设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.
好题解析＞
　　例3　已知a＝2，焦点在x轴上，且分别为F1（－4，0），F2（4，0），则双曲线的标准方
程为（　　）
A. ＋ ＝1 B. － ＝1
C. ＋ ＝1 D. － ＝1
　　【参考答案】因为a＝2，焦点在x轴上，且分别为F1（－4，0），F2（4，0），所以c＝4，所以b
＝ ＝2 ，所以双曲线的标准方程为 － ＝1.故选B.
　　例4　若双曲线的渐近线方程是y＝± x，焦点为（±10，0），则双曲线的标准方程是
（　　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
　　【参考答案】因为双曲线的渐近线方程是y＝± x，焦点在x轴上，所以可设双曲线的方程为 －
＝1（λ＞0）.由焦点为（±10，0）可得9λ＋λ＝102，解得λ＝10，此时双曲线的标准方程为 － ＝1.故
选D.
对点检测2＞
　　（1）若双曲线的渐近线方程为y＝± x，其中一个焦点是（0，2），则双曲线的标准方
程是（　D　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. y2－ ＝1 D. －x2＝1
【解析】因为双曲线的渐近线方程为y＝± x，其中一个焦点是（0，2），故可设双曲线方程为 －
＝1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y＝± x，所以 ＝ ，c＝2，又a2＋b2＝c2＝4，所以a＝
，b＝1，故双曲线的标准方程是 －x2＝1.
D
　　（2）已知x轴上两点A（5，0），B（－5，0），平面内到A，B两点距离之差绝对值为8的
点的轨迹方程是（　B　）
A. ＋ ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
【解析】因为平面内到A，B两点距离之差绝对值为8＜10，所以轨迹方程是以A（5，0），B（－5，0）
为焦点的双曲线，且a＝4，c＝5，所以b＝ ＝3，所以轨迹方程为 － ＝1.
B
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图像
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
几
何 性
质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R
顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
渐近线 方程 y＝± x y＝± x
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
几何 性质 焦距 ｜F1F2｜＝2c（c＞0），c2＝a2＋b2，c＞b＞0，c＞a＞0
轴 对称轴：x，y轴；对称中心：原点； 实轴长：｜A1A2｜＝2a；虚轴长：2b
离心率 e＝ （e＞1），e越大，双曲线开口越开阔
　　1.求双曲线的渐近线的方法：
　　令右边的常数等于0，即令 － ＝0得y＝± x或令 － ＝0得y＝±
x；反之，已知渐近线方程y＝± x 可设双曲线方程为 － ＝λ（λ≠0）.
　　2.求双曲线的离心率（离心率的取值范围）的方法：
　　（1）直接法：若已知a，c可直接利用公式.若已知a，b或者b，c借助c2
＝a2＋b2求出c或者a，再代入公式即可解出.
　　（2）若a，c的值不可求，只需要根据条件得到关于a，b，c的齐次式，
结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后方程（不等式）两边分别除以a或
a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范
围）.
　　（3）双曲线的形状与e的关系：k＝ ＝ ＝ ＝ ，e越
大，它的张口就越大.
好题解析＞
　　例5　已知双曲线C： － ＝1的一条渐近线的斜率为－2，实轴长为4，则C的标准方程
为（　　）
A. y2－ ＝1 B. － ＝1
C. －x2＝1 D. － ＝1
　　【参考答案】由题意知，双曲线C： － ＝1的焦点在y轴上，且2a＝4，得a＝2，又一条渐近线
的斜率为－2，即－ ＝－2，得b＝1，故C的标准方程为 －x2＝1.故选C.
　　例6　 已知双曲线C与双曲线 － ＝1有共同的渐近线，且过点 ，则双曲线C
的标准方程为（　　 ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
　　【参考答案】由题意可设双曲线C的方程为 － ＝m，又双曲线过点 ，可得
－ ＝m＝ ，所以双曲线的标准方程为 － ＝1.故选D.
对点检测3＞
　　（1）双曲线 －y2＝1的渐近线方程是（　A　）
A. y＝± x B. y＝±2x
C. y＝± x D. y＝±4x
【解析】y＝± x＝± x.
A
【解析】由题意可知9＋m＝42，解得m＝7，所以双曲线C的方程为 － ＝1.令 － ＝0 y＝
± x.
　　（2）若双曲线C： － ＝1的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为（　D　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
D
好题解析＞
　　例7　 已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以F1F2为
直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P，且 ＋2 ＝2 ，则此双曲线的离心
率为（　　 ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【参考答案】由题意可得 解得 因为F1F2为圆的直
径，故∠F1PF2＝90°，则2＋2＝2.代入化简可得5a2＋4ac－c2＝0，e＝ ＞1，所以e2
－4e－5＝0，解得e＝5.故选D.
　　例8　已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，双曲线C的右
支上有一点A，A关于原点O的对称点为B，满足∠AF2B＝120°，且 ＝2 ，则双曲线的离心率为（　　 ）
A. 1 B.
C. D. 2
　　【参考答案】根据双曲线对称性可知 ＝2 ＝2 ，又 － ＝2a，则 ＝
2a， ＝4a.因为∠AF2B＝120°，所以∠F1BF2＝60°. cos ∠F1BF2＝ ＝ ，即
4a2＋16a2－4c2＝8a2，化简得c2＝3a2，则e＝ ＝ .故选C.
对点检测4＞
　　（1）双曲线 － ＝1的离心率是（　C　）
A. B. C. D.
【解析】双曲线 － ＝1的离心率是 ＝ .
C
　　（2）如图所示，已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦
点，过点F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的离心率为
（　B　）
A. 2 B. C. 2 D.
B
【解析】由题可得： ＝ sin 30°＝ ，即｜PF1｜＝2｜PF2｜，点P在双曲线右支上，由双曲线的定
义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，故｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝4a，又∵ ＝tan 30°＝ ，即｜
F1F2｜＝ ｜PF2｜＝2 a，故2c＝2 a，∴离心率e＝ ＝ .
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 设非零实数a，b使得曲线 ＋ ＝1是双曲线，则（　C　）
A. a＋b＜0 B. a＋b＞0 C. ab＜0 D. ab＞0
2. 双曲线2y2－x2＝1的一个顶点坐标是（　D　）
A. （2，0） B.
C. （0， ） D.
C
D
3. 已知双曲线x2－ ＝1（b＞0）的一个焦点坐标为（2，0），则其渐近线的方程为（　B　）
A. x± y＝0 B. x±y＝0
C. x±3y＝0 D. 3x±y＝0
4. 若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x－y＋1＝0平行，则此双曲线
的离心率是（　D　）
A. B. 2 C. 3 D.
5. 若双曲线的一个焦点坐标为（0，13），离心率为 ，则双曲线的标准方程为（　D　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
B
D
D
6. 双曲线x2－ ＝1的右焦点F2到右顶点A2的距离为（　A　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知方程ax2－ay2＝b，且a，b异号，则方程表示（　B　）
A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在y轴上的双曲线
C. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的椭圆
8. 已知双曲线 － ＝1的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若 ＝4，则 ＝
（　B　）
A. 3 B. 20 C. 3或17 D. 20或－12
A
B
B
二、填空题
9. 双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 ，虚轴长为 　4 　，渐近线为 　y＝± x　，离心率
为 .
10. 已知双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝ .
11. 已知双曲线的实轴长为6，一个焦点坐标是（0，－4），则该双曲线的标准方程是
.
4
4
y＝± x

－
－
＝1
12. 过双曲线x2－ ＝1的右焦点F2作倾斜角为60°的直线l，交双曲线于A，B两点，则弦
长｜AB｜＝ .
【解析】由双曲线方程得，两焦点坐标分别为F1（－ ，0），F2（ ，0）.∵直线l的倾斜角为60°，
即斜率k＝ ，∴直线l的方程为y＝ （x－ ）.联立直线与双曲线方程 消去
y得x2－6 x＋11＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1＋x2＝6 ，x1x2＝11.
∴｜AB｜＝ ＝2 ＝16.　
16
三、解答题
13. 已知双曲线的上、下焦点分别为F1（0，－3），F2（0，3），P是双曲线上一点且
＝4，求双曲线的标准方程.
解：由题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），则c＝3，2a＝4，a＝
2，所以b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
14. 已知双曲线与椭圆 ＋ ＝1共焦点，它们的离心率之和为 ，求双曲线的标准方程.
解：依题意可知椭圆方程中a＝5，b＝3，
则c＝ ＝4，
∴椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e＝ ，
∴双曲线的焦点为F（0，±4），离心率为2，
在双曲线中，
解得c＝4，a＝2，b＝2 ，
∴所求双曲线的方程为 － ＝1.
15. 求双曲线4x2－9y2＝k的离心率和渐近线方程.
解：当k＞0时，4x2－9y2＝k即为 － ＝1，故离心率e＝ ＝ ，此时渐近线方程为2x±3y＝
0；当k＜0时，4x2－9y2＝k，即为 － ＝1，故e＝ ＝ ，此时渐近线方程为2x±3y＝0.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 渐近线方程是2x－ y＝0和2x＋ y＝0且过点（6，6）的双曲线的标准方程是（　C　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
【解析】由渐近线方程可设双曲线方程为4x2－3y2＝λ ，因为双曲线过点 ，将点代入方程得
λ＝4×62－3×62＝36，所以双曲线方程为4x2－3y2＝36，化为标准方程为 － ＝1.
C
2. 已知双曲线 －y2＝1的右焦点为F，以F为圆心且过坐标原点O的圆与双曲线的一条渐近线
交于点A，则 ＝（　C　）
A. 2 B. 3 C. 2 D.
【解析】依题意得F（2，0），渐近线为x± y＝0，所以F到渐近线的距离为d＝ ＝1，所以｜
OA｜＝2 ＝2× ＝2 .
C
3. 若双曲线的两条渐近线互相垂直，则它的离心率为（　A　）
A. B.
C. 2 D. 2
【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为y＝±x.所以 ＝1，即离心率e＝
＝ .
4. 已知焦点在x轴上的双曲线 － ＝1，离心率为2，则渐近线的斜率为（　B　）
A. ±3 B. ± C. ± D. ±2
【解析】由题可知y＝± x＝± x＝± x， ＝2，所以c＝2a， ＝ ＝ ＝3，即 ＝
± .
A
B
5. 若双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0））的实轴长为8，焦距为10，则双曲线C的渐近线
方程为（　A　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
【解析】因为2a＝8，2c＝10，所以a＝4，c＝5，b＝ ＝3，所以C的渐近线方程为y＝± x.
6. 若双曲线 ＋ ＝1的离心率为2，则实数m＝（　A　）
A. －6 B. －14 C. －4 D. －8
【解析】由已知可得a2＝2，b2＝－m，c2＝2－m，又e2＝ ＝ ＝4，则m＝－6.
A
A
7. 若椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，则双曲线 － ＝1的离心率为（　A　）
A. B. C. D.
【解析】在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）中， ＝ ＝ ；在双曲线 － ＝1中， ＝
＝ ，则离心率e2为 .
A
8. 若ab≠0，则直线ax－y＋b＝0和曲线bx2＋ay2＝ab所表示的只可能是下图中的（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】方程bx2＋ay2＝ab可变为 ＋ ＝1，若表示椭圆，则a＞0，b＞0，从而排除B，D；若表示双
曲线，对于A，则a＜0，b＞0，此时直线y＝ax＋b不符合，从而排除A；对于C，则直线与双曲线的系
数是a＞0，b＜0，是符合条件的.故选C.
C
二、填空题
9. 若双曲线 ＋ ＝1的离心率是方程3x2－10x＋3＝0的根，则实数m的值为 .
【解析】方程3x2－10x＋3＝0的两根分别为3和 .因为双曲线的离心率大于1，所以e＝3，即 ＝ ＝
3，解得m＝－24.
－24
10. 已知F1，F2是双曲线 － ＝1的焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么 ＋ －
的值是 .
【解析】由双曲线方程得2a＝8，如图所示，由双曲线的定义得 － ＝2a＝8①， －
＝2a＝8②，①＋②得 ＋ － ＝16，所以 ＋ － ＝16.
16
11. 已知中心在坐标原点，离心率为 的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为 .
【解析】因为离心率为 的双曲线的焦点在y轴上，所以 ＝ ＝ ，则它的渐近线方程为y＝
± x.
y＝± x
12. 1911年5月，欧内斯特 卢瑟福在《哲学》杂志上发表一篇论文，在这篇文章中，他描述了用
α粒子轰击0.000 04 cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能
够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟
福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径.则该双曲线的离心率为 ，若α粒子的路径经
过点（10，5），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心为 cm.

5
【解析】由图知，双曲线的渐近线的倾斜角为45°，所以 ＝1，所以e＝ ＝ ；由渐近线的倾斜角知双曲线为等轴双曲线，故设双曲线方程为 － ＝1，则 － ＝1，得a＝5 .
三、解答题
13. 过双曲线x2－ ＝1的左焦点F1作倾斜角为 的直线与双曲线相交于A，B两点，求弦长｜
AB｜.
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
由双曲线方程x2－ ＝1可知：左焦点坐标为（－2，0），又因为倾斜角为 ，即k＝1，所以该直线方程
为y＝x＋2.
联立方程组
消去y得2x2－4x－7＝0.
所以x1＋x2＝2，x1x2＝－ .
所以｜AB｜＝ ＝6.
14. 设F1，F2为双曲线 －y2＝1的两个焦点，若点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，求
△F1PF2的面积.
解：由双曲线的方程得2a＝4，2b＝2，2c＝2 .
由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝±4，
两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜ ｜PF2｜＝16.
∵∠F1PF2＝90°，
∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝20，
∴｜PF1｜ ｜PF2｜＝ ＝2，
∴S△F1PF2＝ ｜PF1｜ ｜PF2｜＝1.
15. 求与双曲线 － ＝1共渐近线且过点A（2 ，－3）的双曲线的标准方程.
解：设与双曲线 － ＝1共渐近线的双曲线的方程为 － ＝λ（λ≠0）.
∵点A（2 ，－3）在双曲线上，
∴λ＝ － ＝－ .
∴所求双曲线的方程为 － ＝－ ，
即 － ＝1.

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