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BY YUSHEN
第八章　平面解析几何
第五讲　抛物线
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.定义
　　平面内到一个定点F和一条定直线l（不经过F点）的距离相等的点的轨迹
称为抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.
　　2.标准方程
　　（1）顶点在原点，焦点在x轴的正半轴的抛物线的标准方程为y2＝2px（p
＞0）.
　　（2）顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线的标准方程为y2＝－2px
（p＞0）.
　　（3）顶点在原点，焦点在y轴的正半轴的抛物线的标准方程为x2＝2py（p
＞0）.
　　（4）顶点在原点，焦点在y轴的负半轴的抛物线的标准方程为x2＝－2py
（p＞0）.
好题解析＞
　　例1　平面上，若动点P到定点F（－3，0）的距离与到y轴的距离相等，则点P的轨迹是
（　　 ）
A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 射线
　　【参考答案】点P的轨迹满足抛物线的定义.故选A.
　　例2　已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到抛物线的焦点距离为8，到y轴
的距离为6，则p＝（　　 ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
　　【参考答案】由抛物线定义可知：8＝6＋ ，所以p＝4.故选C.
对点检测1＞
　　已知抛物线x2＝8y的焦点是F，若抛物线上的点P到F的距离为4，则点P到x轴的距离为
（　A　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】设点P（x0，y0），因为抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，所以由抛物线定义可得抛物线上的
点P到F的距离为y0＋2＝4，所以y0＝2，所以点P到x轴的距离为2.
A
　　1.定义法
　　根据抛物线的定义，确定p的值，再结合焦点位置，求出抛物线的标准方
程.标准方程有四种形式，要注意选择.
　　2. 待定系数法
　　（1）根据抛物线的焦点在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，
然后根据条件确定关于p的方程，解出p，最后写出标准方程.
　　（2）当焦点位置不能确定时，有两种方法解决：一种是分情况讨论，注意
对四种形式的标准方程进行讨论；另一种是设方程为y2＝mx（m≠0）或x2＝
my（m≠0）.
好题解析＞
　　例3　准线方程为y＝2的抛物线的标准方程为（　　 ）
A. x2＝4y B. x2＝－4y C. x2＝8y D. x2＝－8y
　　【参考答案】由题意可设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由其准线方程为y＝2，则有 ＝2，解
得p＝4，则抛物线方程为x2＝－8y.故选D.
　　例4　已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A是抛物线C上一点，
AD⊥l于点D. 若AF＝2，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为（　　 ）
A. y2＝8x B. y2＝4x C. y2＝2x D. y2＝x
　　【参考答案】如图所示，设抛物线的准线与x轴交点为M. 抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为
F ，准线l：x＝－ .由抛物线的定义可得 ＝ ，又∠DAF＝60°，所以△DAF为等边三
角形，所以 ＝ ＝2，∠DFM＝60°，所以在Rt△DFM中， ＝2 ＝2p＝2，则p＝1，
所以抛物线C的方程为y2＝2x.故选C.
对点检测2＞
　　若抛物线的顶点在原点，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，求抛物线的标
准方程.
解：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐标为
（0，－3）或（4，0）.
当抛物线的焦点坐标为（0，－3）时，设方程为x2＝－2py（p＞0），则 ＝3，所以p＝6，
故抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当抛物线的焦点坐标为（4，0）时，设方程为y2＝2px（p＞0），则 ＝4，所以p＝8，
故抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
图像
标准方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点 坐标原点（0，0） 离心率 e＝1 好题解析＞
　　例5　若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线 － ＝1的右焦点重合，则p＝（　　 ）
A. B. 3 C. D. 6
　　【参考答案】根据题意，由双曲线 － ＝1可得a2＝6，b2＝3，则c2＝a2＋b2＝9，所以c＝3，所
以双曲线右焦点坐标为（3，0），因此可知抛物线y2＝2px的焦点坐标为（3，0），所以 ＝3，即p＝6.
故选D.
　　例6　对于抛物线y＝ x2，下列说法错误的是（　　）
A. 开口向上 B. 焦点坐标为（0，2）
C. 焦点到准线的距离为4 D. 准线方程为y＝－4
　　【参考答案】抛物线y＝ x2，即x2＝8y，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为（0，2），焦点到准
线的距离为4，准线方程为y＝－2.故选D.
对点检测3＞
　　（1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x＝－1，则p＝（　D　）
A. B. C. 1 D. 2
　　（2）若抛物线y2＝2px过点（1，1），则此抛物线的焦点坐标是（　A　）
A. B. C. D.
【解析】将点（1，1）代入抛物线方程，得1＝2p，解得p＝ ，所以抛物线的焦点坐标是 .
D
A
　　1.定义：过焦点的直线与抛物线相交所形成的线段，称为抛物线的焦点弦.
　　2. 焦点弦长的求法：
　　设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则：
　　对于抛物线y2＝2px（p＞0）， ＝x1＋x2＋p；
　　对于抛物线y2＝－2px（p＞0）， ＝p－（x1＋x2）；
　　对于抛物线x2＝2py（p＞0）， ＝y1＋y2＋p；
　　对于抛物线x2＝－2py（p＞0）， ＝p－（y1＋y2）.
　　3.通径：垂直于对称轴的焦点弦称为通径，抛物线的通径长为2p.
　　4. 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B
（x2，y2），α为弦AB的倾斜角，则：
　　（1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
　　（2） ＝ ， ＝ ；
　　（3）弦长 ＝x1＋x2＋p＝ ；
　　（4） ＋ ＝ ；
　　（5）以弦AB为直径的圆与准线相切；
　　（6）以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
　　（7）过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p（通径）.
好题解析＞
　　例7　直线l过抛物线y2＝8x的焦点，且与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，
若x1＋x2＝4，则｜MN｜＝（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
　　【参考答案】因为直线l过抛物线y2＝8x的焦点，且与抛物线交于M（x1，y1），N（x2，y2）
两点，x1＋x2＝4，又抛物线的准线方程为x＝－2，所以x1＋2＋x2＋2＝｜MN｜，所以｜MN｜＝8.
故选B.
　　例8　已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线于
A，B两点，若 ＝32，则p＝（　　 ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　【参考答案】由题意知F ，直线AB的方程为y＝x－ ，代入抛物线C的方程得2＝
2px，即x2－3px＋ ＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1＋x2＝3p，x1x2＝ .根据抛物线性质
可知： ＝ ＋x1， ＝ ＋x2，所以 ＝ × ＝32，整理得： ＋
（x1＋x2）＋x1x2＝32，所以可得 ＋ 3p＋ ＝32，解得p＝4.故选D.
对点检测4＞
　　（1）若抛物线x2＝ y上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（　B　）
A. B. C. 0 D.
【解析】抛物线x2＝ y的准线方程是y＝－ .设点M的纵坐标是y.因为抛物线上一点M到焦点的距离为
1，所以点M到准线的距离为1，即y＋ ＝1，解得y＝ .
B
　　（2）若抛物线y2＝4x上的一点P到x轴的距离为2 ，则点P到焦点的距离为（　A　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【解析】抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.因为抛物线y2＝4x上的一点P到x轴的距离为2 ，将
＝2 代入抛物线方程得x＝3，则点P到准线的距离为3＋1＝4，所以点P到焦点的距离为4.
A
　　（3）已知斜率为 的直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，并与抛物线交于A，B
两点，且 ＝8，则p的值为（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F ，根据题意可设直线方程为y＝ ，与抛物
线联立方程组并消去y得32＝2px，整理得3x2－5px＋ ＝0，所以x1＋x2＝ ， ＝x1＋x2
＋p＝ ＝8，解得p＝3.
C
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 如果抛物线y2＝2px的准线方程为直线x＝1，那么焦点坐标为（　A　）
A. （－1，0） B. （2，0）
C. （3，0） D. （1，0）
2. 已知抛物线y2＝mx的准线方程为x＝ ，则抛物线方程为（　B　）
A. y2＝6x B. y2＝－6x C. y2＝－3x D. y2＝3x
3. 设抛物线y2＝8x上一点P的横坐标为4，则点P到该抛物线焦点的距离为（　C　）
A. 12 B. 8 C. 6 D. 4
A
B
C
4. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点，交抛物线于A，B两点，且线段
AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为（　C　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 10
5. 已知双曲线 － ＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到渐近线的
距离为（　A　）
A. B. 3 C. 5 D. 4
C
A
6. 如图所示，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线x2＝－8y，已知水利人员在某个时刻测得水
面宽 ＝8 m，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（　D　）
A. 8 m B. 6 m C. 4 m D. 2 m
7. 设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点（k，2）与焦点F的距离为4，
则k的值是（　D　）
A. 2或－2 B. 4 C. －2 D. 4或－4
D
D
8. 如图1所示为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，以图1为模型，建立如图2
所示的平面直角坐标系xOy，已知该卫星接收天线的口径AB＝a m，深度MO＝b m，信号处理
中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，则该抛物线的方程为（　A　）
A. y2＝ x B. y2＝ x
C. x2＝ y D. x2＝ y
A
二、填空题
9. 抛物线x2＝12y上的点到焦点的距离的最小值为 .
10. 若抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为 .
11. 平面内过点A（－2，0），且与直线x＝2相切的动圆的圆心轨迹方程是 .
12. 若线段AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦（过焦点），且｜AB｜＝4，则AB中点的横坐标
是 .
【解析】因为AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以｜AB｜＝x1＋x2
＋p＝4，则AB中点的横坐标是 ＝ .
3
2
y2＝－8x

三、解答题
13. 已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时，水面宽为8 m.水面升高1 m后，水面宽是多少？
解：建立如图所示的平面直角坐标系，则B（4，－2），设拱桥满足的抛物线方程
为x2＝－2py，因为点B（4，－2）在抛物线上，所以4p＝16，解得p＝4，所以抛
物线方程为x2＝－8y，当y＝－1时，x＝±2 ，所以此时的水面宽为4 m.
14. 已知抛物线y2＝2px 的顶点为O，焦点坐标为 .
（1）求抛物线方程；
解：（1）∵y2＝2px的焦点坐标为 ，∴ ＝ ，p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.
（2）过点 且斜率为1的直线l与抛物线交于P，Q两点，求线段 的值.
解：（2）由题得直线l的方程为y＝x－1，设P（x1，y1），Q ，联立方程组 消
去x得y2－2y－2＝0，∴Δ＝12＞0，y1＋y2＝2，y1y2＝－2，∴ ＝ ＝
× ＝ × ＝2 .∴线段 的值为2 .
15. 已知抛物线y2＝2ax的准线与圆C：（x＋1）2＋y2＝4相切，求抛物线的标准方程.
解：由题可知抛物线y2＝2ax的准线方程为x＝－ ，因为准线与圆相切，所以 ＝2，解得a＝－2
或a＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x或y2＝12x.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知抛物线y2＝mx的准线经过点A（1，2），则实数m＝（　A　）
A. －4 B. 4 C. －8 D. 8
【解析】由题可知抛物线的准线为x＝1，m＝－1×4＝－4.
A
2. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是抛物线y2＝2px上的三点，点F是抛物
线y2＝2px的焦点，且 ＋ ＝2 ，则（　B　）
A. x1＋x3＞2x2 B. x1＋x3＝2x2
C. x1＋x3＜2x2 D. x1＋x3与2x2的大小关系不确定
【解析】抛物线y2＝2px的焦点F ，准线方程为x＝－ ，由抛物线的定义及 ＋ ＝
2 ，得 ＋ ＝2 ，所以x1＋x3＝2x2.
B
3. 若抛物线x2＝2py 上一点M的坐标为 ，则点M到焦点的距离为（　B　）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
【解析】∵M 在抛物线上，∴4＝2p，解得p＝2，∴点M到焦点的距离为1＋ ＝2.
4. 已知抛物线E的焦点在y轴上，E上一点C的纵坐标为 ，且点C到抛物线E的焦点的距离为
2，则抛物线的标准方程为（　C　）
A. x2＝－4y B. x2＝4y C. x2＝2y D. x2＝－2y
【解析】抛物线E的焦点在y轴上，E上一点C的纵坐标为 ，且点C到抛物线E的焦点的距离为2，设抛
物线的方程为x2＝2py（p＞0），∴2＝ ＋ ，解得p＝1，∴抛物线的方程为x2＝2y.
B
C
5. 若抛物线y2＝2px上到焦点距离为3的点的横坐标为－1，则抛物线的准线方程是（　B　）
A. x＝－2 B. x＝2 C. x＝－4 D. x＝4
【解析】由题可知抛物线的焦点在x轴负半轴上，由点到焦点的距离等于到准线的距离得 ＋ ＝
3，解得p＝－4，所以y2＝－8x，准线为x＝2.
6. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂
足为A， ＝3，则直线AF的斜率为（　B　）
A. B. － C. D. －
【解析】由题意得F（1，0），l：x＝－1.因为 ＝3，所以xP＋1＝3，∴xP＝2.因为点P在第一象
限，所以yP＝2 ，则A（－1，2 ），故直线AF的斜率为 ＝－ .
B
B
7. 已知F是抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上，点Q在抛物线的准线上，若 ＝2 ，
则 ＝（　A　）
A. B. 4 C. D. 3
【解析】如图所示，设抛物线的准线和对称轴的交点为K. 过点P作准线的垂线，垂足为M，则 ＝
.由△QFK∽△QPM，得 ＝ ，即 ＝ ，所以 ＝3.故 ＝3， ＝ ，所以
＝ ＋ ＝ .
A
8. 已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到点（0，1）的距离与到抛物线准线的距离之和的
最小值是（　D　）
A. 0 B. C. 1 D.
【解析】由y2＝4x可知该抛物线的焦点坐标为F（1，0），设A（0，1），准线方程为l：x＝－1，因为
P是抛物线y2＝4x上一动点，所以点P到抛物线准线的距离等于PF，当A，P，F三点在同一条直线上
时，点P到点（0，1）的距离与到抛物线准线的距离之和最小，最小值为AF＝
＝ .
D
二、填空题
9. 若三个点M（3，2 ），N（2，2 ），Q（3，－2 ）中恰有两个点在抛物线y2＝2px
上，则该抛物线的方程为 .
【解析】由抛物线的对称性知：M（3，2 ），Q（3，－2 ）在y2＝2px上，∴6p＝24，可得p＝
4，即抛物线的方程为y2＝8x.
y2＝8x
10. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，A为抛物线C上的一点，若 ＝8，则直线FA的倾斜
角为 .
【解析】由抛物线方程知：F .设A ，则 ＝x0＋2＝8，解得x0＝6，∴ ＝48，解得y0
＝±4 ，∴直线FA的斜率为 ＝ 或 ＝－ .∵直线倾斜角的范围为 ，∴直线FA的倾
斜角为 或 .
或
11. 已知直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝ .
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），联立方程组 消去y
得k2x2－（4k＋8）x＋4＝0，则x1＋x2＝ ＝2x0＝4，解得k＝2或k＝－1，又Δ＝（4k＋8）2－
4k2×4＞0，解得k＞－1，所以k＝2.
2
12. 已知抛物线C：y2＝－12x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A（－5，2），则
＋ 的最小值为 .
【解析】如图所示，设抛物线C的准线为l，过P作PC⊥l于C，过A作AB⊥l于B. 因为 ＝
，所以当A，P，C三点共线时， ＋ 取得最小值，故 ＋ 的最小值为｜AB｜＝
＋ ＝8.
8
三、解答题
13. 已知抛物线的准线方程为x＝ .
（1）求抛物线的标准方程；
解：（1）因为抛物线的准线方程为x＝ .
所以 ＝ ，即p＝3，且开口向左.
所以抛物线的标准方程为y2＝－6x.
（2）过焦点F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，求△AOB的面积.
解：（2）如图所示，过焦点F作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，所以通径｜AB｜＝2p＝
6，｜OF｜＝ .
所以S△AOB＝ ×｜AB｜×｜OF｜＝ ×6× ＝ .
14. 已知抛物线y2＝6x，过点P（4，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直
线方程.
解：设该弦所在直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，可得 ＝6x1， ＝6x2，
两式作差得（y1－y2）（y1＋y2）＝6（x1－x2），
又因为P（4，1）是A，B的中点，
所以y1＋y2＝2，代入上式可求得斜率k＝3，
所以直线l的方程为3x－y－11＝0.
15. 过抛物线y2＝4x的焦点，且斜率为2的直线l交抛物线于A，B两点.
（1）求直线l的方程；
解：（1）由抛物线的方程y2＝4x，可得其焦点F（1，0），
∴斜率为2的直线l的方程为y＝2（x－1），即2x－y－2＝0.
（2）求线段AB的长度.
解：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组
消去y得x2－3x＋1＝0，Δ＝9－4＝5＞0.
∴x1＋x2＝3.
又p＝2.
∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ya－1＝0.若l1⊥l2，
则a＝（　D　）
A. －2 B. － C. D. 2
【解析】因为l1⊥l2，所以 2×1 ＋ （－1）×a＝0，解得a＝2.
2. （2025 安徽文化素质分类考试）点（3，－1）到直线x－2y＋1＝0的距离为（　A　）
A. B. C. D.
【解析】点到直线的距离d＝ ＝ .
D
A
3. （2025 安徽文化素质分类考试）双曲线 － ＝1的渐近线方程为（　A　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
【解析】焦点在x轴上的双曲线标准方程为 － ＝1，其渐近线方程为y＝ ± x.由题意得a＝2，b＝
3，代入得渐近线y＝± x.
A
4. （2025 安徽文化素质分类考试）以点（－1，2）为圆心，与y轴相切的圆的方程是
（　D　）
A. （x－1）2＋（y＋2）2＝4 B. （x＋1）2＋（y－2）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1 D. （x＋1）2＋（y－2）2＝1
【解析】以点（－1，2）为圆心，与y轴相切的圆的半径r＝1，所以圆的方程为（x＋1）2＋（y－
2）2＝1.
D
5. （2025 安徽文化素质分类考试）设F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦
点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段AF2的中点在直线y＝x上.该椭圆上的一点P满足｜
PA｜＝｜PF2｜，若△APF1的周长为6，则（　B　）
A. a＝2，b＝1 B. a＝2，b＝
C. a＝2，b＝ D. a＝ ，b＝1
【解析】由题意得椭圆与y轴正半轴交点为A（0，b），焦点F1（－c，0），F2（c，0），因为线段
AF2的中点M 在直线y＝x上，所以 ＝ ，即b＝c，则a2＝b2＋c2＝2b2，即a＝ b.由
△APF1的周长为6，得｜AP｜＋｜PF1｜＋｜AF1｜＝6.因为｜PA｜＝｜PF2｜，所以｜PF2｜＋｜PF1｜
＋｜AF1｜＝6.由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，因为｜AF1｜＝｜
AF2｜，所以｜AF1｜＝a，故周长为2a＋a＝3a＝6，解得a＝2，则b＝ .
B
6. （2024 安徽文化素质分类考试）已知线段P1P2的中点坐标为（1，2）.若点P1（－1，0），
则点P2的坐标为（　B　）
A. （0，1） B. （3，4）
C. （1，1） D. （－3，－2）
【解析】设P2（x，y），则1＝ ，2＝ ，解得x＝3，y＝4.
7. （2024 安徽文化素质分类考试）已知直线l1：2x－3y－1＝0，l2：ax＋6y＋1＝0.若
l1∥l2，则a＝（　D　）
A. 9 B. －9 C. 4 D. －4
【解析】因为l1∥l2，所以 ＝ ≠ ，解得a＝－4.
B
D
8. （2024 安徽文化素质分类考试）以点（1，－1）为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
（　C　）
A. （x－1）2＋（y＋1）2＝4 B. （x＋1）2＋（y－1）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x＋1）2＋（y－1）2＝2
【解析】以点（1，－1）为圆心，所以圆的方程可设为（x－1）2＋（y＋1）2＝r2，又圆过坐标原点
（0，0），所以（0－1）2＋（0＋1）2＝r2＝2，所以圆的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝2.
C
9. （2024 安徽文化素质分类考试）椭圆 ＋ ＝1的离心率为（　A　）
A. B. C. D.
【解析】由题意可得：a2＝4，b2＝3，所以a＝2，c＝ ＝1，所以椭圆的离心率e＝ ＝ .
10. （2024 安徽文化素质分类考试）点（3，1）到直线y＝x－4的距离为（　A　）
A. B. 2 C. 3 D. 6
【解析】直线方程可化为x－y－4＝0.由点到直线的距离公式可知点（3，1）到直线x－y－4＝0的距离
为d＝ ＝ .
A
A
11. （2024 安徽文化素质分类考试）已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点，且与该抛物线交于A，
B两点.若线段AB的中点到直线x＝－1的距离等于3，则直线l的斜率为（　B　）
A. ±1 B. ± C. ± D. ±2
【解析】设A，B两点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B中点坐标为 ，则
－（－1）＝3，解得x1＋x2＝4.抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），设直线方程为y＝k（x－
1）.将直线方程代入抛物线方程，消去y可得［k（x－1）］2＝4x，即k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，则
x1＋x2＝ ＝4，则k2＝2，则k＝± .
B
12. （2023 安徽文化素质分类考试）已知点M（0，2），N（－6，－4），则线段MN中点的坐
标是（　D　）
A. （3，1） B. （－3，1）
C. （3，－1） D. （－3，－1）
【解析】线段MN中点的坐标为 ＝（－3，－1）.
D
13. （2023 安徽文化素质分类考试）过三点A（0，0），B（－4，0），C（0，－2）的圆的方
程是（　C　）
A. （x＋2）2＋y2＝5 B. x2＋（y＋1）2＝5
C. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝5
【解析】设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将点A，B，C代入，则有F＝0，16－4D＋F
＝0，4－2E＋F＝0，解得D＝4，E＝2，F＝0，故圆的一般方程为x2＋y2＋4x＋2y＝0，可化为（x
＋2）2＋（y＋1）2＝5.
C
14. （2023 安徽文化素质分类考试）已知直线l1：y＝－2x＋1，l2：y＝kx－1.若l1⊥l2，则k
＝（　B　）
A. － B. C. －2 D. 2
【解析】因为l1⊥l2，所以－2k＝－1，解得k＝ .
B
15. （2023 安徽文化素质分类考试）若直线y＝x＋b与圆x2＋y2－2y－1＝0相交，则b的取值
范围是（　A　）
A. －1＜b＜3 B. －1≤b≤3
C. －3＜b＜1 D. －3≤b≤1
【解析】圆x2＋y2－2y－1＝0的圆心坐标为（0，1），半径r＝ .圆心（0，1）到直线y＝x＋b（可化
为x－y＋b＝0）的距离d＝ ＝ .因为直线与圆相交，所以d＜r，即 ＜ ，
＜2，解得－1＜b＜3.
A
16. （2023 安徽文化素质分类考试）椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的长轴两端点到同一个焦点
的距离分别为9和1，则该椭圆的标准方程为（　A　）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋y2＝1
【解析】椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的长轴两端点到同一个焦点的距离分别为9和1，即a＋c＝9，a
－c＝1，则a＝5，c＝4，则a2＝25，b2＝a2－c2＝9，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
A
17. （2023 安徽文化素质分类考试）设F1，F2是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的两个焦
点，B是虚轴的一个端点.若∠F1BF2＝ ，则该双曲线的渐近线为（　D　）
A. y＝±2x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
【解析】∠F1BF2＝ ，由双曲线的对称性可知∠OBF2＝ （O为坐标原点）.在Rt△OBF2中，OB＝
b，OF2＝c，tan∠OBF2＝ ＝ ＝ ，则b＝ c，a＝ ＝ c，则该双曲线的渐近线y＝
± x＝± x.
D

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