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(共49张PPT)
BY YUSHEN
第九章　立体几何
第一讲　平面的基本性质
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在3道，其中有1题相对较难.了解柱、锥、球的相关概念及它们所具有的简单性质；掌握柱、锥、球的侧面积、表面积、体积公式，并能运用公式解决实际问题；理解实物或空间图形的三视图，掌握空间图形的直观图的斜二测画法；了解空间点、线、面之间的位置关系的定义，并能用文字语言、图像语言和符号语言来描述；理解和应用平面的三个基本性质及三个推论；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质定理，并能借助定理解决实际问题；了解异面直线的概念，并掌握求异面直线所成角的方法；了解直线与平面所成角的概念，并掌握求直线与平面所成角的方法；了解二面角及其平面角的概念，并掌握求二面角的平面角的方法.本章难点为平行与垂直关系的判定和所成角的平面角确定. 2023年 2024年 2025年
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在3道，其中有1题相对较难.了解柱、锥、球的相关概念及它们所具有的简单性质；掌握柱、锥、球的侧面积、表面积、体积公式，并能运用公式解决实际问题；理解实物或空间图形的三视图，掌握空间图形的直观图的斜二测画法；了解空间点、线、面之间的位置关系的定义，并能用文字语言、图像语言和符号语言来描述；理解和应用平面的三个基本性质及三个推论；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质定理，并能借助定理解决实际问题；了解异面直线的概念，并掌握求异面直线所成角的方法；了解直线与平面所成角的概念，并掌握求直线与平面所成角的方法；了解二面角及其平面角的概念，并掌握求二面角的平面角的方法.本章难点为平行与垂直关系的判定和所成角的平面角确定. 第20题 第21题 第28题 第21题 第23题 第28题 第8题
第25题
第27题
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在3道，其中有1题相对较难.了解柱、锥、球的相关概念及它们所具有的简单性质；掌握柱、锥、球的侧面积、表面积、体积公式，并能运用公式解决实际问题；理解实物或空间图形的三视图，掌握空间图形的直观图的斜二测画法；了解空间点、线、面之间的位置关系的定义，并能用文字语
言、图像语言和符号语言来描述；理解和应用平面的三个基本性质及三个推论；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质定理，并能借助定理解决实际问题；了解异面直线的概念，并掌握求异面直线所成角的方法；了解直线与平面所成角的概念，并掌握求直线与平面所成角的方法；了解二面角及其平面角的概念，并掌握求二面角的平面角的方法.本章难点为平行与垂直关系的判定和所
成角的平面角确定. 分值 12分 12分 12分
3
【考点知识梳理】
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位置关系 符号表示 公共点 图形表示
点与直线的 位置关系 点A在直线l上 A∈l 有且只有一个
点B在直线l外 B l 无 点与平面的 位置关系 点A在平面α内 A∈α 有且只有一个
点B在平面α外 B α 无 位置关系 符号表示 公共点 图形表示 位置关系
直线与直线
的位置关系 平行 a∥b 无
相交 a b＝O 有且只有一个
异面 无
位置关系 符号表示 公共点 图形表示 位置关系
直线与平面
的位置关系 直线在平面内 a α 无数个
相交 a α＝A 有且只有一个
平行 a∥α 无
位置关系 符号表示 公共点 图形表示 位置关系
平面与平面
的位置关系 平行 α∥β 无
相交 α β＝a 无数个
好题解析＞
　　例1　若点M在直线a上，a在平面α内，M，a，α间的关系可记为（　　）
A. M∈a，a∈α B. M∈a，a α
C. M a，a α D. M a，a∈α
　　【参考答案】因为点M在直线a上，a在平面α内，所以M，a，α间的关系可记为M∈a，a α.故
选B.
　　例2　如图所示，下列符号关系表示错误的是（　　）
A. P l B. A α，l α C. AP α＝P D. AP∥l
　　【参考答案】由题图可知，A，B，C正确，直线AP与l不可能平行.故选D.
对点检测1＞
　　若点A在直线l上，直线l在平面α内，则点A、直线l、平面α之间的关系可以表示为
（　A　）
A. A∈l α B. A∈l∈α C. A l α D. A l∈α
【解析】因为点A在直线l上，直线l在平面α内，所以A∈l，l α.
A
　　1.公理1：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（不共线的三点确定一个平面）.
　　2. 公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
　　3.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线.
　　注意：三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.
　　4. 由公理1和2得到的三个推论：
　　（1）推论1：经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面.
　　（2）推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.
　　（3）推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
好题解析＞
　　例3　下列能确定一个平面的是（　　）
A. 一条直线和一个点
B. 三条两两相交的直线
C. 两条相交直线
D. 四条长度相等且首尾相连的线段
　　【参考答案】当点在直线上时，这条直线和这个点不能确定一个平面；当三条直线交于同一个点时，
这三条直线不能确定一个平面；两条相交直线能确定一个平面；四条长度相等且首尾相连的线段不能确定
一个平面，比如空间四边形.故选C.
　　例4　一条直线和直线外的三点所确定的平面个数是（　　 ）
A. 1或3 B. 1或4
C. 3或4 D. 1或3或4
　　【参考答案】当直线外三点与直线共面，此时可确定1个平面；当直线外三点只有两点与直线共面，
此时可确定3个平面；当直线外三点任意两点都不与直线共面，此时可确定4个平面.综上所述，一条直线和
直线外的三点所确定的平面个数是1或3或4.故选D.
对点检测2＞
　　（1）下列四个命题，正确的个数为（　B　）
　　①空间的三点确定一个平面；②两两相交的三条直线确定一个平面；③梯形确定一个平面；
④圆心和圆上两点确定一个平面.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
　　（2）下列命题中正确的是（　A　）
A. 三角形一定是平面图形
B. 空间三点可以确定一个平面
C. 四条边都相等的四边形是平面图形
D. 若A，B，C，D四点既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
A
　　平面基本定理的应用主要解决三类问题：
　　1. 证明点共线问题的常用方法：
　　（1）基本性质法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公
共点，再根据基本性质证明这些点都在交线上.
　　（2）同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
　　2.证明线共点问题的常用方法：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直
线经过该点.
　　3. 证明点、直线共面问题的常用方法：
　　（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
　　（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平
面β，最后证明平面α，β重合.
好题解析＞
　　例5　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点.求证：
　　（1）E，C，D1，F四点共面；
　　【参考答案】证明：（1）连接EF，CD1，由正方体的性质可知EF∥CD1，
∴EF，CD1可以确定一个平面CEFD1，∴E，C，D1，F四点共面.
　　（2）CE，D1F，DA三线共点.
　　【参考答案】证明：（2）延长D1F，CE相交于点Q，∴Q∈FD1，Q∈CE，又FD1 平面ADD1A1，CE 平面ABCD，∴Q∈平面
ADD1A1，Q∈平面ABCD，∴Q在平面ADD1A1与平面ABCD的交线AD
上，∴CE，D1F，DA三线共点.
　　例6　如图所示，已知平面α，β，且α β＝l.设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，
CD β，求证：AB，CD，l三线共点.
　　【参考答案】证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两条腰，所以AB，
CD必定相交于一点.设AB CD＝M. 又因为AB α，CD β，所以M∈α，M∈β，所以M∈α β.又因为
α β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l三线共点.
对点检测3＞
　　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，回答下列问题：
　　（1）平面AB1 平面A1C1＝ .
　　（2）平面A1C1CA 平面AC＝ .
A1B1
AC
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【考题精选集萃】
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基础考题＞
一、单项选择题
1. 下列说法正确的是（　C　）
A. 空间中两条直线确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 过一条直线的平面有无数个 D. 相交于一点的三条直线一定共面
2. 过平面外两点并且与这个平面平行的平面有（　D　）
A. 2个 B. 1个 C. 0个 D. 0个或1个
C
D
3. 如果两条直线可以确定一个平面，那么这两条直线的位置关系是（　D　）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交
4. 若平面α与平面β相交，则它们有 　　　　个公共点.（　D　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无数
D
D
5. 在空间中，下列命题正确的是（　C　）
A. 对边相等的四边形一定是平面图形
B. 四边都相等的四边形一定是平面图形
C. 有一组对边平行的四边形一定是平面图形
D. 有一组对角相等的四边形一定是平面图形
6. 若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线可以确定 　　　　个平面.（　A　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 1或3
C
A
7. 下列图形不一定是平面图形的是（　B　）
A. 三角形 B. 四边形
C. 圆 D. 梯形
8. 若直线上有一个点在平面外，则（　C　）
A. 直线上至少有一个点在平面内 B. 直线上所有点都在平面外
C. 直线上至多有一个点在平面内 D. 直线上有无穷多个点在平面内
B
C
二、填空题
9. 三条互相平行的直线可以确定 个平面.
10. 若平面α与平面β相交于直线l，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在
.
11. 若平面与平面相交，必有 条公共直线.
12. 直线l上至少有 个点在平面α内，则直线l在平面α内或称平面α经过直线l，记
作 .
1或3
l
上
1
2
l α
三、解答题
13. 根据下列各点、直线和平面之间的位置关系，画出相应的图形并用符号表示下列语句：
（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；
解：（1）如图所示，A∈α，B α.
（2）点A在直线m上，直线m在平面α内；
解：（2）如图所示，A∈m，m α.
（3）平面α与平面β相交于直线l.
解：（3）如图所示，α β＝l.
14. 将下列符号语言转化为图形语言：
（1）a α，b α＝A，A a；
解：（1）
（2）α β＝c，a α，b β，a∥c，b c＝P.
解：（2）
15. 判断下列说法是否正确，并说明理由.
（1）两两相交的三条直线在同一个平面内；
解：（1）错误.因为两两相交的三条直线可以确定1或3个平面.
（2）已知A，B，C三点在平面α内，D点不在平面α内，则A，B，C，D四点不共面；
解：（2）错误.若A，B，C共线，直线与直线外一点确定一个平面.
（3）四边形和梯形都是平面图形.
解：（3）错误.空间四边形不是平面图形，梯形有一组对边平行，所以梯形是平面图形.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 如果两条直线a和b没有公共点，那么直线a与b的位置关系是（　B　）
A. 共面 B. 平行或异面
C. 异面 D. 平行
【解析】两条直线没有公共点，有两种情况：平行或异面.
B
2. 如果两条直线可以确定一个平面，那么这两条直线（　D　）
A. 一定平行 B. 一定相交
C. 不可能垂直 D. 平行与相交都有可能
【解析】基本性质的两个推论：两条相交直线可以确定一个平面；两条平行直线可以确定一个平面.
D
3. 在空间4个点中，若任意3点都不共线，则可以确定平面的个数是（　C　）
A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 无数
【解析】在空间4个点中，若任意3点都不共线，则可以确定平面的个数是1或4个，如图所示.
C
4. 三条直线两两相交，可以确定 　　　　个平面.（　C　）
A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 无数
【解析】如图所示，三条直线两两相交，可以确定1或3个平面.
C
5. 异面直线是（　D　）
A. 没有公共点的两条直线 B. 不相交的两条直线
C. 在两个不同平面内的两条直线 D. 不同在任何一个平面内的两条直线
D
6. 若三个平面两两相交，则它们的交线（　B　）
A. 最多4条，最少3条 B. 最多3条，最少1条
C. 最多3条，最少2条 D. 最多2条，最少1条
【解析】如图所示，三个平面两两相交，则它们交线的条数是最多3条，最少1条.
B
7. 下列命题正确的是（　C　）
A. 两个平面相交，有时只有一个交点
B. 三个点一定能确定一个平面
C. 不在同一直线上的四个点不一定能确定一个平面
D. 两条直线一定能确定一个平面
【解析】选项A，两个平面相交，交点有无数个，且都在一条直线上，所以该选项不正确；选项B，不共线
的三点确定一个平面，所以该选项不正确；选项C，不在同一直线上的四个点不一定能确定一个平面，所以
该选项正确；选项D，两条相交或平行直线可以确定一个平面，两条异面直线不能确定一个平面.
C
8. 下列命题正确的是（　A　）
①若空间四点共面，则必有三点共线；②若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；③若空间
四点中存在三点共线，则此四点共面；④若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面.
A. ②③ B. ①②③
C. ①② D. ②③④
【解析】①④列举反例：如平行四边形.
A
二、填空题
9. 四条线段首尾相连得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线 时，才是一个
平面图形.
10. 相交于一点的三条直线一共可以确定 个平面.
11. 已知α β＝l，m α，n β，m n＝P，则P l.
12. 若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是 .
【解析】∵A∈α，B α，C α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系
是相交.
相交
1或3
∈
相交
三、解答题
13. 如图所示，对于长方体ABCD－A1B1C1D1，回答下列问题：
（1）直线AC是否在平面ABCD内？
解：（1）AC 平面ABCD.
（2）A，A1，C，C1四点是否在同一平面内？
解：（2）因为AA1∥CC1，所以A，A1，C，C1四点是在同一平面内.
（3）过直线AD和点B1的平面有多少个？
解：（3）过直线AD和点B1的平面只有一个.
14. 如图所示，直线l1 l2＝A，l2 l3＝B，l1 l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：方法一（纳入平面法）：
∵l1 l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2 l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二（辅助平面法）：
∵l1 l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2 l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
15. 判断下列说法的正误并说明理由.
（1）两组对边相等的四边形是平行四边形；
解：（1）错误.空间四边形可以对边相等，但它不是平面图形.
（2）两条相交直线可以确定一个平面；
解：（2）正确.
（3）过一条直线的平面有无数个；
解：（3）正确.
（4）两个平面只能有一个公共点.
解：（4）错误.若两平面平行，则没有交点；若两平面相交，交点在一条直线上，有无数个公共点.

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