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BY YUSHEN
第九章　立体几何
第二讲　直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.两直线平行的概念：在同一平面内不相交的两条直线.
　　2. 平行线的传递性：平行于同一条直线的所有直线都互相平行
　　注意：一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线；相交或
平行的两条直线称为共面直线.
好题解析＞
　　例1　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，则BD1与A1B1的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 相交或异面
　　【参考答案】因为BD1与A1B1既不平行又不相交，所以BD1与A1B1异面.故选C.
　　例2　如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，E，F，G，H分别为AB，
BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH一定是 （　　）
A. 矩形 B. 正方形
C. 菱形 D. 空间四边形
　　【参考答案】∵E，F，G，H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，EF＝GH＝ AC，EH＝FG＝ BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH是菱形.故选C.
对点检测1＞
　　（1）若AA1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA1平行的棱共有 　　　条.（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　（2）若直线a∥b，b∥c，且a与c不重合，则直线a与c的位置关系是（　C　）
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 不能确定
C
C
　　线线平行的判定方法：
　　（1）定义法：在同一平面内不相交的两条直线互相平行.
　　（2）利用三角形的中位线平行于第三边或平行四边形的对边互相平行.
　　（3）利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相
交，那么这两条交线互相平行.
　　（4）利用平行线的传递性：平行于同一条直线的两直线平行.
　　1.概念：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平
面平行.
　　2.判定定理：
文字语言 如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直
线与这个平面平行
符号语言 a α，b α，a∥b b∥α（线线平行 线面平行）
图形语言
注意：应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺
一不可.
　　3.性质定理：
文字语言 如果一条直线与一个平面平行，那么经过这条直线的任一平面和
这个平面的交线与这条直线平行
符号语言 a∥α，b β，α β＝b a∥b（线面平行 线线平行）
图形语言
好题解析＞
　　例3　过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（　　 ）
A. 不存在 B. 只有一个 C. 有无数个 D. 不能确定
　　【参考答案】过直线l外两点作与l平行的平面，如果两点所在的直线与直线l相交，则这样的平面不
存在；如果两点所在的直线与直线l平行，则这样的平面有无数个；如果两点所在的直线与直线l异面，则
这样的平面只有一个.故选D.
　　例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC与平面A1AC1的位置关系为
（　　）
A. 直线在平面内
B. 直线与平面相交但不垂直
C. 直线与平面相交且垂直
D. 直线与平面平行
　　【参考答案】由正方体ABCD－A1B1C1D1的性质得：平面A1AC1即为平面A1ACC1，直线BC与平面
A1ACC1交于点C，∴直线BC与平面A1AC1的位置关系为相交但不垂直.故选B.
对点检测2＞
　　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与平面AB1C的位置关系是
（　A　）
A. 线面平行
B. 线面相交但不垂直
C. 线面垂直
D. 线在面内
A
【解析】由于ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以AA1∥CC1，AA1＝CC1，那么四边形AA1C1C为平行四边
形，所以A1C1∥AC，由于AC 平面AB1C，A1C1 平面AB1C，可得A1C1∥平面AB1C.
　　证明线面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，解题的思路是利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式等证明两直线平行.
　　1.概念：如果两个平面没有公共点，那么就称这两个平面平行.
　　2. 判定定理：
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个
平面互相平行
符号语言 a，b β，a b＝P，a∥α，b∥α α∥β（线面平行 面面平行）
图形语言
　　3.性质定理：
性质1 性质2
文字语言 如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么这两条交线互相
平行 如果两个平面平行，那么其中一
个平面内的任何一条直线都平行
于另外一个平面
符号语言 α∥β，α γ＝a，β γ＝b a∥b（面面平行 线线平行） α∥β，a β a∥α
（面面平行 线面平行）
图形语言
　　4.面面平行的推论：
文字语言 如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条
相交直线，那么这两个平面互相平行
符号语言 a，b α，a1，b1 β，a b＝P，a1 b1＝P1，a∥a1，
b∥b1 α∥β（线线平行 面面平行）
图形语言
好题解析＞
　　例5　已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）
A. 若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C. 若m，n垂直于同一平面，则m与n平行
D. 若α，β垂直于同一平面，则α与β垂直
　　【参考答案】垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，因此选项A，选项D错误；平行于同
一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，因此选项B错误；垂直于同一平面的两条直线平行，因此选项
C正确.故选C.
　　例6　已知六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.
　　【参考答案】证明：因为六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体，
　　所以四边形A1BCD1是矩形，所以A1B∥D1C，
　　又因为A1B 平面A1BD，D1C 平面A1BD，所以D1C∥平面A1BD.
　　同理可证B1D1∥平面A1BD，
　　因为D1C 平面CB1D1，B1D1 平面CB1D1，且B1D1 D1C＝D1，所以平面A1BD∥平面
CB1D1.
对点检测3＞
　　（1）已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面.现给出下列6个命
题，其中正确的是 .
①a∥c，b∥c a∥b；②c∥γ，b∥γ a∥b； ③c∥α，c∥β α∥β；
④α∥γ，β∥γ α∥β； ⑤c∥α，a∥c a∥α； ⑥a∥γ，α∥γ a∥α.
①④
　　（2）如图所示，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是
（　A　）
A. 平面E1FG1与平面EGH1
B. 平面FHG1与平面F1H1G
C. 平面F1H1H与平面FHE1
D. 平面E1HG1与平面EH1G
【解析】如图所示，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E EG＝E，H1E，
EG 平面EGH1，∴平面E1FG1∥平面EGH1.
A
　　1. 判定面面平行的常用方法：
　　（1）面面平行的定义，即判断两个平面没有公共点；
　　（2）面面平行的判定定理或推论；
　　（3）垂直于同一直线的两个平面平行；
　　（4）利用平行平面的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两
个平面平行.
　　2.谨记空间平行关系之间的转化
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 垂直于同一条直线的两条直线（　D　）
A. 平行 B. 异面
C. 相交 D. 平行、相交或异面
2. 若平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是（　D　）
A. 相交 B. 平行
C. 重合 D. 不确定
D
D
3. 已知直线m，n，平面α，如果m∥n，m∥α，那么n与α的关系为（　D　）
A. 相交 B. 平行
C. 在平面内 D. 平行或在平面内
4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是（　A　）
A. 平面A1B1C1∥平面ACD
B. 平面BDC1∥平面B1D1C
C. 平面B1D1D∥平面BDA1
D. 平面ADC1∥平面AD1C
D
A
5. 已知平面α与平面β平行，且a α，下列四种说法正确的个数为（　C　）
①a与β内的所有直线都平行；②a与β内的任意两条直线都不可能垂直；③a与β无公共点；
④a与β内的无数条直线平行.
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
C
6. 下列结论正确的是（　C　）
A. 两条不平行的直线确定一个平面
B. 若直线a平行于平面α，则直线a平行于平面α内的所有直线
C. 过直线a外一点可以作无数条直线与a异面
D. 若直线a，b与平面α所成角相等，则a∥b
7. 对于直线m和平面α，β，若m α，则“m∥β”是“α∥β”的（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
C
B
8. 下列条件中，能判断两个平面平行的是（　A　）
A. 一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
B. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C. 一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D. 一个平面内的一条直线平行于另一个平面
A
二、填空题
9. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB平行的棱有 条，异面的棱有 条.
10. 过平面外一点可以作 条直线与已知平面平行，可以作 个平面与已知平面平行.
11. 如果直线a，b是异面直线，那么空间中与a，b都平行的平面有 个.
12. 平行于同一条直线的两个平面的位置关系是 .
3
4
无数
1
无数
平行或相交
三、解答题
13. 如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
求证：
（1）四边形EFGH为平行四边形；
证明：（1）在△ABD中，E，H分别是边AB，AD的中点，所以EH∥BD且EH＝ BD，
同理可证FG∥BD且FG＝ BD，
∴EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
（2）直线BD平行于平面EFG.
证明：（2）由（1）可知BD∥FG，
∵FG 平面EFG，BD 平面EFG，
∴BD∥平面EFG.
14. 如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点.求证：EF∥平面BCD.
证明：连接BD，在△ABD中，
因为E，F分别是AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
又因为BD 平面BCD，EF 平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
15. 如图所示，已知空间四边形PABC，连接PB，AC，且D，E，F分别是棱PA，PB，PC
的中点.
求证：平面DEF∥平面ABC.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又因为DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理EF∥平面ABC.
又因为DE EF＝E，DE 平面DEF，EF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知直线l上有两个点到平面α的距离相等，则（　D　）
A. l α B. l∥α
C. l与α相交 D. 以上均有可能
【解析】如果直线在平面内或平行于平面，直线上各点到平面的距离都相等，但直线与平面相交时，直线
上也会有两个点到平面的距离相等.
D
2. 设直线m∥平面α，直线n在平面α内，则（　D　）
A. m∥n B. m与n异面
C. m与n相交 D. m与n平行或异面
【解析】空间两直线的位置关系：平行，相交，异面.由题意可知m与n不可能相交.
3. 如果一个平面与两个平行平面都相交，那么它们的交线（　C　）
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 以上都有可能
【解析】面面平行的性质定理：若两个平行平面与第三个平面相交，则交线平行.
D
C
4. 夹在两平行平面间两条等长的线段，其所在直线（　D　）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 以上都有可能
【解析】由题意可知，所在直线平行、相交、异面都有可能.
D
5. 下列命题正确的是（　C　）
A. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行
B. 过平面外一条直线有且只有一个平面与这个平面平行
C. 过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行
D. 过平面外一点可以作无数个平面与这个平面平行
【解析】由面面平行的定理可知两条相交直线确定一个平面.过平面外一点，有且只有一个平面内的两条相
交直线可以分别平行于已知平面内的两条相交直线，从而得到过该点有且只有一个平面与已知平面平行.
C
6. 若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，则a与b的交点有（　A　）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或无数个
【解析】∵α∥β，且直线a α，∴直线a∥β，又∵直线b β，∴直线b∥α，则a与b可能是平行或者异面，∴直线a，b的交点有0个.
A
7. 已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①α β＝a，b α a∥b或a，b相交；②α∥β，m α，n β m∥n；
③m∥n，m∥α n∥α；④α β＝a，a∥b b∥α或b∥β.
其中正确命题的序号是（　B　）
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【解析】①若α β＝a，b α，所以a，b α，则a∥b或a，b相交；②若α∥β，m α，n β，则m，n
没有交点，是平行还是异面不确定；③若m∥n，m∥α，则n与α平行或在平面内都有可能；④若α β＝
a，a∥b，则b∥α或b∥β都有可能.
B
8. 若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面的位置关系是（　C　）
A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 不能确定
【解析】若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行或相交都有可能.
C
二、填空题
9. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E和F分别是棱B1C1和CC1的中点，则EF与
A1D的位置关系是 .
10. 若直线a，b与平面α，β满足α∥β，a∥α，b∥β，则a，b的位置关系是
.
11. 已知直线a∥b，则经过直线a且平行于直线b的平面有 个.
12. 若平面α∥β，β∥γ，则α与γ的位置关系是 .
【解析】平行平面具有传递性.
平行
平行、相交或异
面
无数
平行
三、解答题
13. 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点.
求证：CM∥平面A1PN.
证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵M，N分别为A1C1，AC的中点，
∴A1M∥CN且A1M＝CN.
∴四边形A1NCM为平行四边形.
∴CM∥A1N.
又∵CM 平面A1PN，A1N 平面A1PN，
∴CM∥平面A1PN.
14. 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D，求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
证明：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴BD∥B1D1.
又∵B1D1 平面AB1D1，BD 平面AB1D1，
∴BD∥平面AB1D1.
同理可证BC1∥平面AB1D1.
又∵BD BC1＝B，
∴平面AB1D1∥平面C1BD.
15. 如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN∥平面PAD.
证明：如图所示，设O为CD的中点，连接ON，OM.
在△PCD中，因为O，N分别为CD，PC的中点，
所以ON∥PD.
在平行四边形ABCD中，因为O，M分别为CD，AB的中点，
所以OM∥AD.
所以平面MON∥平面PAD.
又因为MN 平面MON，
所以MN∥平面PAD.

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