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BY YUSHEN
第九章　立体几何
第三讲　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
　　2. 异面直线的判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不
经过该点的直线是异面直线.
　　3.异面直线所成角的定义：已知空间中两条异面直线a，b，在空间中任取
一点O，过点O作直线a∥a1，b∥b1，我们把a1与b1所成的角，叫做异面直线
a，b所成的角.
　　 　
　　注意：（1）异面直线所成角的大小与点O的位置没有关系.
　　（2）求异面直线所成角，要作平行线，把异面直线转化为相交直线.
　　4. 异面直线所成角的范围是 .
好题解析＞
　　例1　下列关于异面直线的说法正确的是（　　）
A. 异面直线夹角的范围是（0°，90°］
B. 在两个平面内的直线称为异面直线
C. 异面直线夹角可以等于180°
D. 异面直线夹角的范围是（0°，180°］
【参考答案】异面直线夹角的范围（0°，90°］，所以C，D选项错误；不同在任何一个平面内的
两条直线称为异面直线，所以B选项错误.故选A.
　　例2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与CD所成的角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
　　【参考答案】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AB∥DC，所以∠B1AB就是AB1与CD所成的角，所
以AB1与CD所成的角为45°.故选B.
对点检测1＞
　　（1）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与B1D1所成的角是（　D　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】由题意可知直线A1C与B1D1互相垂直，故所成的角为90°.
D
　　（2）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1和A1B1的中点，则直线
MN与直线CC1所成的角等于（　B　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】因为AA1∥CC1，所以直线MN与直线CC1所成的角等于直线MN与直线AA1所成的角，即
∠A1MN. 在△MA1N中，因为M，N分别是AA1和A1B1的中点，所以A1M＝A1N，故∠A1MN＝45°.
B
　　1.平面的垂线：如果一条直线l和一个平面α内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直，直线l叫做平面α的垂线，交点O叫做垂足.
　　2. 平面的斜线：如果一条直线m和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点B叫做斜足，如上图.
　　3.射影：从斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，如上图中的OB.
　　4. 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线和这个平面所成的角.如上图，∠ABO即为直线m与平面α所成的角.
　　特别地，当直线与平面平行时，规定所成的角为0°；当直线与平面垂直时，规定所成的角为90°.
　　5. 直线与平面所成角的范围是 .
好题解析＞
　　例3　若直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　）
A. 20° B. 70° C. 90° D. 110°
　　【参考答案】因为l∥m，所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，所以m与α所成的角等于
70°.故选B.
　　例4　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝ ，则A1C与平
面ABCD所成角的大小为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
　　【参考答案】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AC，由长方体的性质知AA1⊥底面
ABCD，∴∠A1CA是AC1与底面ABCD所成的角.∵AA1＝AD＝1，AB＝ ，∴AC＝ ＝
＝ ，在Rt△ACA1中，tan∠A1CA＝ ＝ ＝ ，∵∠A1CA∈ ，∴∠A1CA＝
30°.故选A.
对点检测2＞
　　如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC中点，则直线D1M与平面
ABCD所成角的正切值为（　C　）
C
【解析】连接DM，则DM即为D1M在底面的射影，∴∠DMD1即为D1M与平面ABCD 所成的角，
tan∠DMD1＝ ＝ ＝ .
　　1.半平面：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中每一部分都叫做
一个半平面.
　　2. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条
直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.如图所示，以直线l为
棱，两个半平面分别为α，β时，二面角记为α－l－β.
　　3.二面角的平面角：如图所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，分别
在半平面α与β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的最小正角
叫做二面角的平面角.平面角∠AOB就是二面角α－l－β的大小.
　　（1）当二面角的两个半平面重合时，二面角为0°.
　　（2）当二面角的两个半平面合成一个平面时，二面角为180°.
　　（3）平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两个平面垂直.
　　4. 二面角平面角的范围是［0，π］.
好题解析＞
　　例5　 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角B－A1C1－B1的正切值为（　　）
B. 1
　　【参考答案】如图所示，取A1C1的中点O，连接BO，B1O. 因为四边形A1B1C1D1是正方形，所以
B1O⊥A1C1.易知BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即为所求二面角的平面角.在正
方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BB1⊥OB1.OB1＝ ×2 ＝ .在Rt△B1OB中，tan∠B1OB＝ ＝
＝ .故选C.
　　例6　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1与平面D1DBB1所成二面角的平面角的大
小为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
　　【参考答案】如图所示，由于AB⊥BB1，BD⊥BB1，则由二面角的定义可得，面A1ABB1与平面
D1DBB1所成二面角的平面角即为∠ABD，又△ABD为等腰直角三角形，则∠ABD＝45°.故选B.
对点检测3＞
　　（1）下列说法中，错误的是（　A　）
A. 过一条直线的两个平面所成的角叫做二面角
B. 二面角的大小是根据它的平面角的大小来衡量的
C. 二面角的平面角的大小范围是［0°，180°］
D. 二面角的平面角为90°时，两平面垂直
【解析】二面角的定义是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.其中这条直线叫做二面角的棱，这两
个半平面叫做二面角的面，所以选项A错误，其余均正确.
　　（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AD－C的大小是（　B　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
A
B
【解析】由正方体的性质易知AD⊥DC，AD⊥DC1，则∠C1DC为二面角C1－AD－C的平面角.又因为
四边形DCC1D1是正方形，所以∠C1DC＝45°，即二面角C1－AD－C的大小是45°.
　　求二面角大小的方法：
　　（1）定义法：在棱上任取一点，分别在两个半平面内引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角.
　　（2）垂面法：作一个与棱垂直的平面，该垂面与二面角的两个半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.
　　（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
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【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 如果空间两条直线成90°角，那么它们（　B　）
A. 一定相交 B. 一定不平行
C. 不可能异面 D. 以上都不对
B
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，AA1的中点，则直线MN与
DD1所成的角为（　B　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
B
3. 已知二面角α－l－β的平面角为30°，P∈α，点P到平面β的距离为10，则点P到直线l的距
离为（　B　）
A. 10 B. 20
C. 30
4. 如图所示，正方形A1BCD折成直二面角A－BD－C，则直线AC与平面BCD所成角为
（　B　）
A. 90° B. 45°
C. 60° D. 30°
B
B
5. 已知长方体对角线长为2，底面矩形的长、宽分别为 ，1，则该长方体的对角线与底面所成
角为（　A　）
A. 30° B. 60°
C. 15° D. 45°
A
6. 如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
则EF和AB所成的角是（　C　）
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
C
7. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，BB1＝5，则对角线DB1与平面ABCD
所成的角为（　B　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
8. 把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，则二面角的
大小为（　D　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
B
D
二、填空题
9. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1与BC1是 直线，所成角的度数为 .
10. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，则异面直线A1E与B1C1所成的角大小
为 .
11. 异面直线所成角的范围是 　 　，斜线和平面所成角的范围是 　 　，二面角的
范围是 .
12. 已知30°的二面角的一个面内有一点A，它到棱的距离为8，那么它到另一个面的距离
是 .
异面
45°
90°



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三、解答题
13. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1和B1C1的中点.求：
（1）直线AD与EF所成角的大小；
解：如图所示.
（1）在正方体中，因为AD∥B1C1，
所以异面直线EF与AD所成的角，即为直线EF与B1C1所成的角.
又因为E，F分别是A1B1和B1C1的中点，
所以△B1EF为等腰直角三角形，即直线EF与B1C1所成的角为45°，
所以异面直线EF与AD所成的角为45°.
（2）直线B1C与EF所成角的大小.
解：（2）在正方体中，因为EF∥AC，
所以异面直线EF与B1C所成的角，即为直线AC与B1C所成的角.
在正△AB1C中，AC与B1C所成的角为60°，所以异面直线EF与B1C所成的角为60°.
14. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AD1和BD的中点，求MN和底
面ABCD所成的角的大小.
解：如图所示，在△ACD1中，因为M，N分别为AD1与AC的中点，所以MN∥CD1.
所以直线MN与平面ABCD所成的角，即为直线CD1与平面ABCD所成的角.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为DD1⊥平面ABCD，所以直线CD1与平面ABCD所成的角为∠D1CD.
因为△D1CD为等腰直角三角形，所以∠D1CD＝45°.
故直线MN与平面ABCD所成的角为45°.
15.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝a，AA1＝ a，P是CC1的中点.求二面
角P－BD－C的大小.
解：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OP. 由题意可知：OC⊥BD，△BPD是等腰三角形，
∴PO⊥BD.
∴∠POC就是二面角P－BD－C的平面角，设为θ.
在Rt△POC中，tan θ＝ ＝ ＝ .
∵θ∈ ，∴θ＝60°.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与CD1所成的角为（　C　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】如图所示，因为CD1∥A1B，所以异面直线CD1与BC1所成的角即为直线
A1B与BC1所成的角.又因为△A1BC1为正三角形，所以∠A1BC1＝60°，所以异面
直线CD1与BC1所成的角为60°.
C
2. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与B1D1所成的角是（　D　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】因为可证B1D1⊥平面CC1A1，所以B1D1⊥A1C.
D
3. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝2 ，则对角线BD1与底面ABCD所
成的角是（　C　）
【解析】如图所示，在Rt△BDD1中，tan∠DBD1＝ ＝ ＝ ，∴∠DBD1＝
.
C
4. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，所有面对角线中与直线AC1异面的共有（　B　）
A. 4条 B. 6条 C. 8条 D. 10条
【解析】如图所示，在正方体的12条面对角线中，有6条面对角线是与对角线AC1相
交的，有6条面对角线是与对角线AC1是异面直线.
B
5. 在正方体A1B1C1D1－ABCD中，平面A1BC1与底面ABCD所成二面角的正切值是（　D　）
B. 2 C. 3
【解析】如图所示，因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以平面A1BC1与底面
ABCD所成的二面角即为平面A1BC1与底面A1B1C1D1所成的二面角.因为
OB⊥A1C1，B1D1⊥A1C1，所以平面A1BC1与底面A1B1C1D1所成的角即为
∠BOB1.设正方体的棱长为1，所以BB1＝1，OB1＝ .在Rt△BOB1中，tan∠BOB1
＝ ＝ ＝ .
D
6. 在60°的二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面的距离是9 cm，则这个点到棱的距离
是（　A　）
C. 10 cm D. 5 cm
【解析】如图所示，由题意知，在Rt△AOB中，∠AOB＝60°，AB＝9 cm，所
以AO＝ ＝6 cm.
A
7. 已知正四棱锥的底面边长是棱锥高的2倍，则侧面与底面所成的二面角为（　C　）
【解析】如图所示，SE为棱锥的高，连接BC中点F，则侧面与底面所成的二面角
为∠SFE，令底面边长为2，则SE为1，易知EF为1，则在直角三角形SEF中，易
知∠SFE＝ ，即侧面与底面所成的二面角为 .
C
8. 在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 ，其余棱长都是2，则二面角A－BD－C的大小为
（　A　）
【解析】如图所示，取BD的中点E. ∵△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AE⊥BD，
CE⊥BD，∴∠AEC就是二面角A－BD－C的平面角.∵AE＝CE＝AC＝ ，∴∠AEC＝ .
A
二、填空题
9. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则直线A1B与直线C1D所成角的大小为 .
【解析】因为A1B∥CD1，所以异面直线CD1与C1D所成的角即为直线A1B与C1D所成的角.又因为
C1D⊥CD1，所以异面直线A1B与C1D所成的角为90°.
90°
10. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面中心，则O1A与上底面A1B1C1D1所成角的正
切值为 .
【解析】如图所示，因为直线AA1⊥平面A1B1C1D1，所以直线A1O1与AO1的夹角
∠AO1A1即为直线AO1与底面A1B1C1D1所成的角.设正方体的棱长为1，所以A1A1
＝1，O1A1＝ .在Rt△AOA1中，tan∠AO1A1＝ ＝ .

11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为 .
【解析】如图所示，因为AD1∥BC1，所以异面直线AD1与A1B所成的角即为直线
A1B与BC1的夹角.又因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1BC1＝60°.所以异面直线
AD1与A1B所成的角为60°.
60°
12. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则二面角D1－AB－D的大小为 .
【解析】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为D1A⊥AB，
DA⊥AB，所以二面角D1－AB－D的平面角即为∠D1AD. 又因为△D1AD为等
腰直角三角形，所以∠D1AD＝45°.故二面角D1－AB－D的平面角为45°.
45°
三、解答题
13. 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝1.求直线AC1与平面
A1B1C1D1所成角的正弦值.
解：如图所示，连接A1C1.
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴∠AC1A1就是直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角.
又∵AC1＝ ＝3，
∴ sin ∠AC1A1＝ ＝ ，
故直线AC1与平面A1B1C1D1所成的角的正弦值为 .
14. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D，F分别是棱AB，A1C1的中点.
（1）求证：DF∥平面BCC1B1；
解：如图所示.
（1）取B1C1中点H，连接FH，BH.
由题意可知：FH∥A1B1且FH＝ A1B1，
又∵AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴FH∥BD且FH＝BD，
∴四边形BHFD是平行四边形，
∴DF∥BH，
又∵DF 平面BCC1B1，BH 平面BCC1B1，
∴DF∥平面BCC1B1.
（2）求DF与平面ABC所成角的正切值.
解：（2）取AC的中点E，连接EF，DE，在直棱柱中，FE⊥平面ABC，
∴∠EDF就是DF与平面ABC所成的角，
在Rt△DEF中，tan∠EDF＝ ＝2.
15. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角C1－BD－C的平面角的正切值.
解：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接AC交BD于点O，连接C1O.
∵C1O⊥BD，CO⊥BD，
∴∠C1OC即为二面角C1－BD－C的平面角.
设正方体的边长为1，在Rt△C1OC中，
∵OC＝ ，CC1＝1.
∴tan∠C1OC＝ ＝ .

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