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BY YUSHEN
第九章　立体几何
第四讲　直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.两直线垂直的定义：空间中当两条直线所成的角为90°时，称这两条直线
互相垂直，若直线m与直线n垂直，记作m⊥n.
　　2. 两直线垂直的关系：相交或异面.
好题解析＞
　　例1　设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是
（　　 ）
A. m⊥α，n∥β，α⊥β B. m⊥α，n⊥β，α∥β
C. m α，n⊥β，α∥β D. m α，n∥β，α⊥β
　　【参考答案】对于A，m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m，n平行或相交或为异面直线，无法得出
m⊥n，因此错误；对于B，m⊥α，n⊥β，α∥β，可得m∥n，无法得出m⊥n，因此错误；对于C，
m α，n⊥β，α∥β，由线面垂直的性质定理可得m⊥n，因此正确；对于D，m α，n∥β，α⊥β，可得
m，n平行或相交或为异面直线，无法得出m⊥n，因此错误.故选C.
　　例2　若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的
（　　 ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
　　【参考答案】由l⊥α，m∥α，可推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或m α，必要
性不成立.故选A.
对点检测1＞
　　在下列四个正方体中，能得出直线AB与CD所成角为90°的是（　A　）
A. B.
C. D.
A
【解析】对于A，作出AB的平行线EF，如图①所示，由正方
体的性质知EF⊥CD，∴AB⊥CD，故A正确；对于B，作出
过AB的等边三角形截面ABE，如图②所示，将CD平移至内
侧面，可得CD与AB所成角等于60°，故B不成立；对于C，
D，将CD平移至经过B点的侧棱处，可得AB与CD所成角都
是锐角，故C和D均不成立.
　　1.概念：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称
这条直线和这个平面垂直，记作l⊥α.
　　2. 判定定理：
文字语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线
与这个平面垂直
符号语言 a，b α，a b＝O，a⊥l，b⊥l l⊥α（线线垂直 线面垂直）
图形语言
　　推论1：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么也垂直于另
一个平面.
　　推论2：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂
直于这个平面.
　　3.性质定理：
性质1 性质2
文字语言 如果一条直线与一个平面垂
直，那么这条直线与这条平面
内的所有直线都垂直 如果两条直线都垂直于同一个平
面，那么这两条直线互相平行
符号语言 l⊥α，m α l⊥m（线面垂
直 线线垂直） a⊥α，b⊥α a∥b（线面垂直
线线平行）
图形语言
　　4.证明线面垂直的方法：
　　（1）利用线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都
垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
　　（2）利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直
线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直.
　　（3）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也
垂直于这个平面.
　　（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另
一个平面.
好题解析＞
　　例3　如果直线l与平面α内两条相交直线都垂直，那么直线l与平面α的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 垂直 C. 斜交 D. 直线在平面内
　　【参考答案】如果直线l与平面α内两条相交直线都垂直，那么结合直线与平面垂直的判定定理，直线
l与平面α的位置关系是垂直.故选B.
　　例4　如图所示，正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，已知△A′DE是
△ADE绕直线DE翻折过程中的一个图形，试证明：直线DE⊥平面A′FG.
　　【参考答案】证明：因为△ABC 为等边三角形，AF为BC边上的中线，所以BC⊥AF，又知DE是
△ABC的中位线，所以DE∥BC，所以DE⊥AF，所以DE⊥FG，根据翻折的性质可知，
DE⊥A′G，又因为A′G FG＝G，所以DE⊥平面A′FG.
对点检测2＞
　　（1）下列四个命题中，正确命题的个数是（　B　）
　　①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
　　②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
　　③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
　　④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥a.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】在判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相
交（即平行），即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直，但直线垂直于平面内任意
一条直线，能判断直线与平面垂直.所以③④两个命题正确.
B
　　（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　D　）
A. 平面DD1C1C
B. 平面A1DB
C. 平面A1B1C1D1
D. 平面A1DB1
【解析】连接A1D，DB1.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.
D
　　1.概念：两个平面相交，如果所成的二面角是直角，那么就称这两个平面互
相垂直.
　　2. 判定定理：
文字语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相
垂直
符号语言 l⊥α，l β α⊥β（线面垂直 面面垂直）
图形语言
　　3.性质定理：
文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直
线垂直于另一个平面
符号语言 α⊥β，α β＝a，l⊥a，l β l⊥α（面面垂直 线面垂直）
图形语言
　　4.证明面面垂直的方法：
　　（1）定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面
角，将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.
　　（2）定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个
平面的垂线，把问题转化成证明线面垂直加以解决.
　　注意：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个
平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中作交线
的垂线即可.
好题解析＞
　　例5　 如图所示，在四面体S－ABC中，若AB＝CB，AS＝CS，M是AC的中点，则下列
说法正确的是（　　）
A. 平面ABC⊥平面ABS
B. 平面ABS⊥平面BSC
C. 平面ABC⊥平面BSM，且平面ASC⊥平面BSM
D. 平面ABC⊥平面ASC，且平面ASC⊥平面BSM
　　【参考答案】因为AB＝CB，AS＝CS，M是AC的中点，所以SM⊥AC，BM⊥AC，所以AC⊥
平面BSM，所以平面ABC⊥平面BSM，且平面ASC⊥平面BSM. 故选C.
　　例6　若平面α⊥平面β，且α β＝l，则下列命题中正确的个数是（　　）
　　①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线；
　　②平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线；
　　③平面α内的任一直线必垂直于平面β；
　　④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
　　【参考答案】如图所示，以正方体ABCD－A′B′C′D′为载体说明.设平面ADD′A′为α，
平面ABB′A′为β，两个平面的交线为AA′为l.对于①③，平面α内的直线如AD′与平面β内的直线如
AB′相交且夹角为60°，因此①③的命题均不正确；对于②，AD⊥AB，则AD垂直于与AB平行的直
线，所以②的命题正确；对于④，由平面与平面垂直的性质定理可知，④的命题是正确的.故选B.
对点检测3＞
　　（1）下列命题正确的是（　D　）
A. 若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的无数条直线，则a⊥β
B. 若平面α⊥β，则α内的直线垂直于平面β
C. 若平面α⊥β，且a β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D. 若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α
【解析】A项，平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥β，故A错误；B项，由面面垂
直的性质定理知，只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故B错误；C项，平面α⊥β，且α β＝l，
则只有过α内一点P与直线l垂直的直线在α内时才垂直于β，故C错误；D项，a与平面α内的任意一条直线
都垂直可以推出a⊥α，故D正确.
D
　　（2）如图所示，在三棱锥A－BCD中，已知AD⊥BC，AD⊥CD，则（　B　）
A. 平面ABC⊥平面ADC
B. 平面ADC⊥平面BCD
C. 平面ABC⊥平面BDC
D. 平面ABC⊥平面ADB
B
【解析】因为AD⊥BC，AD⊥CD，BC CD＝C，BC，CD 平面BCD，所以AD⊥平面BCD，又
AD 平面ADC，所以平面ADC⊥平面BCD.
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AC垂直的棱的条数是（　B　）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. 已知α表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（　D　）
A. 若l⊥n，m⊥n，则l∥m B. 若l⊥n，m⊥n，则l⊥m
C. 若l∥α，m∥α，则l∥m D. 若l⊥α，m⊥α，则l∥m
B
D
3. 已知直线m，n和平面α满足m∥α，n⊥α，则m和n的位置关系一定是（　C　）
A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面
4. 下列四个命题中正确的是（　B　）
①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一条直线
的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行.
A. ①②④ B. ①④ C. ① D. ①②③④
C
B
5. 若平面α⊥β，α β＝l，且点P∈α，P l，则下列说法错误的是（　D　）
A. 过点P且垂直于α的直线平行于β B. 过点P且垂直于l的直线在α内
C. 过点P且垂直于β的直线在α内 D. 过点P且垂直于l的平面平行于β
6. “直线m与平面α内无数条直线垂直”是“直线m与平面α垂直”的（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
D
B
7. 下列四个命题中错误命题的个数有（　C　）
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c
满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异
面直线.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
C
8. 已知三条不同的直线m，n，l，三个不同的平面α，β，γ，则下列四个命题中正确的是
（　A　）
A
二、填空题
9. 若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内 直线.
10. 已知直线l，平面α，β，若l⊥α，l⊥β，则α β.
11. 在二面角α－l－β内有一点A，过点A作AB⊥α于点B，AC⊥β于点C，若∠BAC＝50°，
则此二面角的大小为 .
12. 已知直线PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且PD＝AB＝4 cm，BC＝3 cm，则PA
＝ cm.
所有（或任意一条）
∥
130°

三、解答题
13. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，AB的中点.求证：
（1）AC⊥平面B1BDD1；
证明：（1）∵正方形对角线互相垂直，∴AC⊥BD.
在正方体中，BB1⊥平面ABCD，且AC 平面ABCD，∴AC⊥BB1.
又∵BD BB1＝B，BD，BB1 平面B1BDD1，
∴AC⊥平面B1BDD1.
（2）BD⊥A1C；
证明：（2）∵BD⊥AC，BD⊥AA1，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，∴BD⊥A1C.
（3）EF⊥A1C.
证明：（3）∵EF∥BD，∴EF⊥A1C.
14. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，且PA＝PC，PB＝
PD，O是AC与BD的交点.求证：PO⊥平面ABCD.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴O是AC与BD的中点.
∵在△PAC中，PA＝PC，∴PO⊥AC.
∵在△PBD中，PB＝PD，∴PO⊥BD.
∵AC BD＝O，
∴PO⊥平面ABCD.
15. 如图所示，已知△ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝3，D为BC的
中点.
（1）求证：BC⊥平面PDA；
解：（1）证明：∵△ABC是正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
∵PA AD＝A，∴BC⊥平面PDA.
（2）求二面角P－BC－A的大小.
解：（2）∵BC⊥平面PDA，∴BC⊥PD.
∴∠PDA即为二面角P－BC－A的平面角.
∵等边△ABC的边长为2，∴AD＝ ＝ .
∵PA＝3，∴在Rt△PAD中，tan∠PDA＝ ＝ .
∴∠PDA＝60°.
即二面角P－BC－A的大小为60°.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 给出下列命题：
①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③经过空间任意一
点有且仅有一条直线与已知平面垂直.
其中正确命题的个数为（　C　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】由空间中线线、线面垂直的性质可知②③正确.
C
2. 设a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的个数为
（　B　）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a⊥α，a∥β，则α⊥β；
④若a α，b β，则a，b一定是异面直线.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】①正确，是空间直线平行定理；②错误，垂直于同一条直线的两直线可能平行，相交，异面；③
正确，是平行平面的性质定理；④错误，可能是异面直线.
B
3. 如图所示，已知△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，E为BC的中点，下列判断不正确的
是（　D　）
A. BC⊥平面PAE
B. 平面PAE⊥平面ABC
C. PE⊥BC
D. AE⊥平面PBC
【解析】∵BC⊥AE，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE，∴平面PAE⊥平面ABC.
D
4. 已知直线a，b，平面β，则下列说法正确的是（　D　）
A. 若a∥β，b∥β，则a∥b B. 若a∥β，a⊥b，则b⊥β
C. 若a⊥β，a⊥b，则b∥β D. 若a⊥β，b β，则a⊥b
【解析】由线面垂直的定义可知，若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意一条直线.
D
5. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1，∠BB1A＝60°，则异面直线AB1与DC所成角的度数为
（　A　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
A
6. 如图所示，已知PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，则下列说法不正确的是（　D　）
A. AC⊥PD
B. ∠PAD是二面角P－AB－C的平面角
C. 平面PBC⊥平面PDC
D. ∠ABC是二面角A－PB－C的平面角
【解析】∵AB，BC都与棱PB不垂直，∴∠ABC不是二面角A－PB－C的平面角.
D
7. 如图所示，在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，在该四面体的四个面中，任取
两个作为一对，其中互相垂直的共有（　C　）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【解析】由面面垂直的判定定理可得互相垂直的面有3对：平面DAB⊥平面ABC，平面DAC⊥平面
ABC，平面DAB⊥平面DAC.
C
8. 从120°的二面角内的一点到两个半平面的距离都是6，则这个点到棱的距离为（　A　）
D. 12
【解析】如图所示，PA⊥α，PB⊥β，∠ACB＝120°，PA＝PB＝6，由已知可
得∠APB＝60°，PC⊥l，∴∠APC＝30°，∴在Rt△APC中，PC＝ ＝
4 ，即点P到棱的距离是4 .
A
二、填空题
9. 若平面α∥β，直线l⊥α，则l β.
10. 如图所示，已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的是 .
【解析】由题意可知：AP⊥平面PBC PA⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB.
⊥
①②③
11. 已知直线l⊥平面α，则经过l且垂直于α的平面有 个.
【解析】由面面垂直的性质定理可知：经过直线l的任何一个平面都与平面α垂直.
12. 已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的 条件. （填
“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【解析】由l⊥α，α∥β可得l⊥β.∵m β，∴l⊥m.但由l⊥m可知，α与β可能平行也可能相交.
无数
充分不必要
三、解答题
13. 如图所示，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝1，AD
＝ .
（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴异面直线PB与CD所成的角即为直线PB与AB所成的角∠PBA.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
∵PA＝AB＝1，
∴△PAB是等腰直角三角形.
∴∠PBA＝45°，
即异面直线PB与CD所成的角为45°.
（2）求二面角P－CD－A的大小.
解：（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵在矩形ABCD中，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
∴∠PDA是二面角P－CD－A的平面角.
∵在Rt△PAD中，PA＝1，AD＝ ，
∴tan∠PDA＝ ＝ .
∴∠PDA＝30°，
即二面角P－CD－A的大小是30°.
14. 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.求证：AC1⊥平面A1BD.
证明：如图所示，连接AC，
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.
∵在正方形ABCD中，BD⊥AC，AC CC1＝C，
∴BD⊥平面ACC1.
∴AC1⊥BD.
同理可得AC1⊥A1D，∵A1D BD＝D，∴AC1⊥平面A1BD.
15. 如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥PB交PB于点D. 求
证：
（1）平面PBC⊥平面PAB；
证明：（1）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB.
（2）AD⊥PC.
证明：（2）由（1）知平面PBC⊥平面PAB，
又因为平面PBC 平面PAB＝PB，AD⊥PB，AD 平面PAB，
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC.

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