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BY YUSHEN
第九章　立体几何
第五讲　柱、锥、球及其简单的组合体的结构特征及面积、体积的计算
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个平面多边形围成的封闭
的几何体叫做多面体 一个平面图形绕着它所在平面内
的一条定直线旋转所形成的的曲
面称为旋转面，封闭的旋转面所
围成的几何体称为旋转体
图形
类别 多面体 旋转体
相关概念 面：围成多面体的各个多边形 棱：相邻两个面的公共边 顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
常见分类 棱柱、棱锥 圆柱、圆锥、球
好题解析＞
　　例1　下列几何体是多面体的是（　　）
A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球
　　【参考答案】正方体是多面体，圆柱、圆锥、球是旋转体.故选A.
　　例2　下列命题正确的个数是（　　 ）
　　①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以等腰三角形的底边
上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；③半圆面绕其直径所在
直线旋转一周形成球；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　【参考答案】①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②③④
正确.故选C.
对点检测1＞
　　下列几何体中不是旋转体的是（　D　）
A. B. C. D.
D
　　1.概念：有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体叫做棱柱，互
相平行的面叫做棱柱的底面，其余面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱
柱的侧棱，两个底面间的距离叫做棱柱的高.
　　2.棱柱的分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱
柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
　　正棱柱有下列性质：
　　（1）两个底面是平行且全等的正多边形；
　　（2）侧面都是全等的矩形；
　　（3）侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等.
　　3. 直棱柱面积公式和体积公式：
　　S直棱柱侧＝Ch；
　　S直棱柱表＝Ch＋2S底；
　　V直棱柱＝S底h.
　　其中，C为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高，S底为直棱柱的底面积.
好题解析＞
　　例3　如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为
6的直角三角形，则此三棱柱的表面积为（　　 ）
　　【参考答案】D是棱AA1的中点，设AD＝A1D＝x，AB＝A1C1＝y，则BD＝C1D＝ ，
BC1＝ .由题意可知： 即 解得
所以三棱柱的表面积为S表＝3×4×2 ＋2× ×（2 ）2＝24 ＋4 .故选B.
　　例4　所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（　　）
C. 6
　　【参考答案】由题意可知，直三棱柱的所有棱长都为2，则高h＝2，底面正三角形的面积为S＝
×22＝ ，所以该直三棱柱的体积为V＝Sh＝2 .故选B.
对点检测2＞
　　已知一个正三棱柱的底面边长为 ，且侧棱长为底面边长的2倍，则该正三棱柱的体积为
（　D　）
【解析】因为正三棱柱的底面边长为 ，所以底面面积为S＝ × × × sin 60°＝ ，高与侧棱
长相等为2 ，所以该正三棱柱的体积为V＝ ×2 ＝ .
D
　　1.概念：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形
有一个公共顶点的多面体叫做棱锥.多边形叫做棱锥的底面（简称底），其
余各面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面
的距离叫做棱锥的高.
　　2.正棱锥：底面是正多边形，其余各面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱
锥.正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高.
　　正棱锥有下列性质：
　　（1）各条侧棱的长相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形；
　　（2）顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高；
　　（3）正棱锥的高、斜高与斜高在底面的投影构成一个直角三角形.正棱锥的
高、侧棱与侧棱在底面的投影也构成一个直角三角形.
　　3.正棱锥面积公式：
　　S正棱锥侧＝ ch′；
　　S正棱锥表＝ ch′＋S底.
　　其中，c为正棱锥的底面周长，h′为正棱锥的斜高，S底为正棱锥的底面积.
　　4. 棱锥的体积公式：体积V棱锥＝ S底h（h为棱锥的高，S底为棱锥的底
面积）
好题解析＞
　　例5　每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是（　　）
　　【参考答案】每条棱长均为4的正三棱锥的表面积是4× ×4×4× ＝16 .故选C.
　　例6　已知正四棱锥P－ABCD，底面边长为2，体积为 ，则这个四棱锥的侧棱长为
（　　）
B. 2
　　【参考答案】如图所示，因为正四棱锥P－ABCD底面边长为2，所以底面积为S＝4.设正四棱锥的高
为h，由体积V＝ Sh＝ ×4h＝ ，解得h＝ ，即OP＝ .在正方形ABCD中，OB＝ BD＝
×2 ＝ .所以侧棱长为 ＝ ＝ .故选C.
对点检测3＞
　　（1）若一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为
（　B　）
B. 2 D. 3
【解析】设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为 S，故二者的体积之比为 ＝
＝2.
B
　　（2）已知侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积是
（　A　）
【解析】如图所示，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，
∵△ABC为等边三角形，AB＝a，∴PA＝PB＝PC＝ a，∴表面积
为 ×a2＋ ×2×3＝ a2＋ a2＝ a2.
A
　　1.概念：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的封闭几何体
叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的底
面；平行于轴的边旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面，平行于轴的边叫做母线；两
个底面间的距离叫做圆柱的高.
　　2. 圆柱的面积公式和体积公式：
　　S圆柱侧＝2πrh；
　　S圆柱表＝2S底＋S圆柱侧＝2πr2＋2πrh；
　　V圆柱＝S底h＝πr2h.
　　其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高，S底为圆柱的底面积.
好题解析＞
　　例7　以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（　　）
A. 2π B. 4π C. 8π D. 16π
　　【参考答案】由题意可知，所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体，所以几何体的表面积为S＝
2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh＝16π.故选D.
　　例8　设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积为V1，V2，若它们的侧面积相等，且
＝ ，则 ＝（　　）
　　【参考答案】设甲、乙两个圆柱的底面圆半径分别为r1，r2，由题意可得 ＝ ＝ ，所以甲、乙
两个圆柱的底面圆半径满足 ＝ ，所以甲、乙两个圆柱的底面圆周长满足 ＝ ＝ .又因为甲、乙两
个圆柱的侧面积相等，所以甲、乙两个圆柱的高满足 ＝ ，所以甲、乙两个圆柱的体积满足 ＝ ＝
× ＝ .故选C.
对点检测4＞
　　（1）已知底面直径和高相等的圆柱的底面积为16π，则该圆柱的体积为（　B　）
A. 64π B. 128π C. 16π D. 32π
【解析】∵圆柱的底面积为16π，∴圆柱的底面半径r＝ ＝4.∵圆柱的底面直径和高相等，∴高h＝2r＝
8.∴圆柱的体积V＝16π×8＝128π.
B
　　（2）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值
是（　A　）
【解析】设圆柱的底面圆半径为r，则2πr＝2，解得r＝ ，∴S侧＝4，S底＝πr2＝ ，∴ ＝ ＝
＝ .
A
　　1.概念：以直角三角形的一条直角边为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几
何体叫做圆锥.这条轴叫做圆锥的轴；另一条直角边旋转形成的圆面叫做底面；
斜边旋转形成的曲面叫做侧面；这条斜边叫做侧面的母线；母线与轴的交点叫做
顶点；顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高.
　　2. 圆锥的面积公式和体积公式：
　　S圆锥侧＝ cl＝πrl；
　　V圆锥＝ S底h＝ πr2h.
　　其中，c为圆锥底面圆的周长，l为圆锥的母线，S底为圆锥的底面积，r为
圆锥的底面半径，h为圆锥的高.
好题解析＞
　　例9　己知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（　　）
A. π
　　【参考答案】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径为r，有πr2＝1，令圆锥母线长为l，有S表＝πr2＋
πrl＝3，则πrl＝3－πr2＝2，因此 ＝ .显然圆锥侧面展开图扇形弧长即为底面圆周长c＝2πr，圆锥侧面
展开图扇形所在圆的半径为l，所以圆锥侧面展开图的圆心角为α＝ ＝ ＝π.故选A.
　　例10　圆锥的母线与底面所成角为60°，侧面积为8π，则其体积为（　　）
　　【参考答案】如图所示，因为圆锥的母线与其底面所成角大小为60°，所以∠SAO＝60°.由题意设
圆锥的底面圆半径为r，则其母线长为l＝2r，高为h＝ ＝ r.又因为圆锥的侧面积为8π，所以
S侧＝πrl＝2πr2＝8π.解得r＝2，h＝2 ，所以圆锥的体积为V＝ πr2h＝ π.故选C.
对点检测5＞
　　若圆锥的高h和底面半径r满足h∶r＝2∶1，且圆锥的体积为18π，则圆锥的表面积为
（　D　）
【解析】因为圆锥的高h和底面半径r满足h∶r＝2∶1，所以h＝2r，又圆锥的体积V＝18π，即 πr2h＝
πr3＝18π，解得r＝3，所以h＝6，母线长l＝ ＝ ＝3 ，则圆锥的表面积S＝πrl＋πr2
＝π×3×3 ＋π×32＝9π＋9 π.
D
　　1.概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴旋转一周，所形成的曲面叫做球
面；球面围成的几何体叫做球体，简称球；半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫
做球的半径.
　　2.球的相关概念：经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的大圆；不经过球
心的平面截球面所得的圆叫做球的小圆；经过球面上两点的大圆在这两点间的一
段劣弧（指不超过半个大圆的弧）的长度叫做两点的球面距离.
　　3. 球的面积公式和体积公式：
　　S球＝4πR2；
　　V球＝ πR3.
好题解析＞
　　例11　已知某球的表面积为16π，则下列说法中正确的是（　　 ）
　　【参考答案】设球的半径为R，则S球＝4πR2＝16π，解得R＝2，所以球的体积V＝ πR3＝ π.
故选B.
　　例12　把一个铁制的底面半径为4，侧面积为 π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁
球的半径为（　　）
　　【参考答案】因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为 π，设圆柱的高为h，则有：S侧＝2πrh＝
8πh＝ π，解得h＝ ，则圆柱的体积V＝πr2h＝ π.设球的半径为R，则 πR3＝ π，解得R＝2.故
选C.
对点检测6＞
　　（1）若一个球的表面积为12π，则球的半径为（　B　）
A. 2 D. 3
【解析】由球的表面积公式S＝4πR2可得12π＝4πR2，解得R＝ .
　　（2）用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（　C　）
C. 8π
【解析】设球的半径为R，则截面圆的半径为 ，那么截面圆的面积为S＝（R2－1）π＝π，解得
R2＝2，故球的表面积S＝4πR2＝8π.
B
C
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 下列命题中，正确的个数是（　B　）
①若直四棱柱的侧面都是全等的矩形，则它是正四棱柱；②若直四棱柱的底面是正方形，则它是
正四棱柱；③若四棱锥的侧棱长相等，则它是正四棱锥；④若棱锥的底面是正方形，则它是正四
棱锥.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
2. 下列几何体中，为旋转体的是（　C　）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
C
3. 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为1，M，N分别是棱A1D1，AB的中点，
则三棱锥M－ANC的体积为（　D　）
4. 把直角三角形绕斜边旋转一周，所得的几何体是（　D　）
A. 圆锥 B. 圆柱
C. 球 D. 共底面的两圆锥组成的组合体
D
D
5. 已知圆柱和圆锥的底面积相等，高相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1∶V2＝（　D　）
A. 1∶3 B. 1∶1 C. 2∶1 D. 3∶1
6. 若圆锥的高等于底面圆的直径，则它的底面积与侧面积的比为（　D　）
C. 1∶2
7. 已知正四棱锥的高为3，底边边长为 ，则该棱锥的体积为（　C　）
A. 6 C. 2
8. 若圆柱的轴截面面积为4，体积为10π，则它的底面圆半径是（　B　）
A. 2π B. 5 C. 4π D. 20
D
D
C
B
二、填空题
9. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为8π的半圆，则该圆锥的体积为 .
10. 已知圆柱的底面半径为3，母线长为6，该圆柱的表面积为 ，体积为 .
11. 已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，该圆锥的表面积为 ，体积为 .
12. 已知球的大圆的周长为4π，则球的表面积为 ，体积为 .
π
54π
54π
12π
π
16π
π
三、解答题
13. 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱，求这个圆柱的体积.
解：①以长6为底面圆周长：
2πr＝6，r＝ ，S＝πr2＝π×2＝ ，h＝3，
∴V＝Sh＝ .
②以宽3为底面圆周长：
2πr＝3，r＝ ，S＝πr2＝π×2＝ ，h＝6，
∴V＝Sh＝ .
14. 已知正三棱锥P－ABC的高为3，侧棱长为5，求该正三棱锥的表面积与体积.
解：如图所示，作PO⊥平面ABC，连接AO交BC于点D.
∴O为△ABC的中心，AO⊥BC，PA＝5，PO＝3.
∴AO＝4.
∴OD＝2，AD＝6，PD＝ ，
∴BC＝4 .
∴S表＝S侧＋S底＝ ×3×4 × ＋ ×（4 ）2＝6 ＋12 .
V＝ S底h＝ ×12 ×3＝12 .
15. 已知球面上三点A，B，C，且AB＝6，AC＝8，BC＝10，球心到截面ABC的距离为
，求该球的表面积与体积.
解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形.∴BC是截面圆的直径.
∴截面圆的半径r＝5.
∵球心到截面ABC的距离d＝ ，
∴球的半径R＝ ＝ ＝6.
∴S球＝4πR2＝4π×62＝144π，
V球＝ πR3＝ π×63＝288π.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 下列说法正确的是（　D　）
A. 长方体一定不是正四棱柱
B. 正四棱柱就是正方体
C. 底面是正多边形的棱柱是正棱柱
D. 一个正棱柱的两个底面是全等的正多边形
【解析】本题考查正棱柱的定义，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱的两个底面是全等的
正多边形.
D
2. 如果一个圆锥的侧面展开图是半圆，那么其母线与底面所成角的大小是（　C　）
【解析】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则2πr＝πl，∴ ＝ ，故母线与底面所成角为 .
3. 若圆锥的轴截面是腰长为4 的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积为（　A　）
B. 32π
【解析】设圆锥底面圆半径为r，则2r＝ ＝8，r＝4，∴S侧＝πrl＝16 π.
C
A
4. 已知侧棱长为a的正四棱锥，底面周长为4a，则这个棱锥的侧面积是（　B　）
5. 若圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别6π和4π的矩形，则圆柱的全面积为（　C　）
A. 24π2＋18π B. 24π2＋8π
C. 24π2＋18π或24π2＋8π D. 24π2＋6π或24π2＋16π
B
C
6. 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比为（　A　）
A. 2∶3 B. 1∶2 C. 3∶2 D. 1∶3
【解析】V球＝ πr3，V圆柱＝πr2×2r＝2πr3，V球∶V圆柱＝2∶3.
7. 各棱长均为2的正三棱锥的表面积是（　C　）
B. 4 D. 16
【解析】S＝4× ×2×2× ＝4 .
8. 把直径是10的一个铁球熔化后，做成直径是2的小球（不计损耗），则可以做成 　　　个小
球.（　C　）
A. 10 B. 100 C. 125 D. 1 000
A
C
C
二、填空题
9. 已知正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则棱锥侧棱与底面所成角的余弦值是 .
【解析】如图所示，作PO⊥底面ABC，连接AO并延长与BC交于点D，则∠PAO即
为侧棱PA与底面所成的角，设正三棱锥的棱长为a，则PA＝a，OA＝ a× ＝
a，所以 cos ∠PAO＝ ＝ .
10. 若圆锥的底面半径为2，高为 ，则其侧面积为 .
【解析】由题意得母线长为l＝ ＝3，所以S侧＝πrl＝6π.

6π
11. 正四棱锥S－ABCD的底面边长为 a，侧棱长为 a，则它的高为 　 a　.
【解析】如图所示，OB＝a，h＝ ＝ a.
12. 若一个球的截面圆的直径为8 cm，球心到该截面距离为3 cm，则球的表面积为 .
【解析】因为球的截面圆的直径为8 cm，所以截面圆的半径r＝4 cm，又因为球心到该截面圆的距离d＝3
cm，所以球的半径R＝ ＝5（cm），所以S表＝4πR2＝100π（cm2）.
a
100π cm2
三、解答题
13. 如图所示，已知一个正四棱锥S－ABCD的高SO和底面边长都是4，求它的侧面积.
解：如图所示，过点O作OE⊥BC于点E，连接SE.
则在Rt△SOE中，SE2＝SO2＋OE2＝16＋4＝20，
所以SE＝2 .
因此S侧＝ ch'＝ ×4×4×2 ＝16 ，
所以此正四棱锥的侧面积是16 .
14. 已知一个直三棱柱ABC－A1B1C1的高为6，底面三角形的边长分别为3，4，5，以上、下底
的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分的几何体的体积.
解：设底面内切圆的半径为R，圆柱的高为h.
由题意可知h＝6，（3＋4＋5）R＝3×4，解得R＝1.
所以直三棱柱的体积V1＝ ×3×4×6＝36，
圆柱的体积为V2＝πR2h＝6π，
所以剩余部分几何体的体积V＝V1－V2＝36－6π.
15. 如图所示，已知一个圆锥和一个棱锥的顶点相同，棱锥的底面是圆锥底面的内接正方形，两
个锥体的高都是 .求棱锥和圆锥的体积之比.
解：设圆锥底面圆半径为r，
∴正方形边长是 r，面积为S＝2r2，
V棱锥＝ Sh＝ ×2r2×h＝ r2h，
V圆锥＝ πr2h＝ r2h，
V棱锥∶V圆锥＝2∶π.
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）半径为R的球的体积为（　D　）
A. 4πR2 C. 4πR3
【解析】球的体积公式为 V ＝ πR3（R为球的半径）.
D
2. （2025 安徽文化素质分类考试）设α，β为两个不同的平面，下列结论成立的是（　C　）
A. 若α内有一条直线与β平行，则α∥β
B. 若α内有一条直线与β垂直，则α∥β
C. 若α，β平行于同一个平面，则α∥β
D. 若α，β垂直于同一个平面，则α∥β
【解析】根据平面与平面平行的判定定理，如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这
两个平面平行.仅α内有一条直线与β平行，不能得出α∥β，α与β也可能相交，所以选项A错误；如果α内有一
条直线与β垂直，根据平面与平面垂直的判定定理可得出α⊥β而不是α∥β，所以选项B错误；根据平行公理，
如果两个平面都平行于同一个平面，那么这两个平面互相平行.所以若α，β平行于同一个平面，则α∥β，选
项C正确；若α，β垂直于同一个平面，α与β可能平行，也可能相交，所以选项D错误.
C
3. （2025 安徽文化素质分类考试）“堑堵”是底面为直角三角形的直棱柱，在我国古代数学著
作《九章算术》中有所记载.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱柱A1AD－B1BC是一
个堑堵.在该堑堵中，E为B1C的中点.若AB＝BC＝4，AA1＝2，则异面直线AE与CD所成的
角的正切值为（　A　）
【解析】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成角即为直线AE与AB所
成角.连接BE，因为E为B1C中点，所以BE＝ BC1＝ B1C＝ × ＝ ，又△ABE为直角三
角形，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为tan∠BAE＝ .
A
4. （2024 安徽文化素质分类考试）某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成，它的直观图如图所示，
已知圆柱的底面直径为8 m，高为4 m，圆锥的母线PB与底面圆的直径AB成45°角，则此粮囤
的容积（单位：m3）为（　A　）
B. 96π C. 128π
【解析】如图所示，母线PB与底面圆的直径AB成45°角，所以圆锥的高等于底面圆半径均为4 m，则V锥
＝ πr2h＝ ，V柱＝πr2h＝64π，所以V＝V锥＋V柱＝ .
A
5. （2024 安徽文化素质分类考试）在空间中，下列结论正确的是（　B　）
A. 垂直于同一直线的两条直线一定平行
B. 垂直于同一平面的两条直线一定平行
C. 平行于同一平面的两条直线一定平行
D. 没有公共点的两条直线一定平行
【解析】A选项错误，两条直线可能平行、相交或异面；C选项错误，两条直线可能平行、相交或异面；D
选项错误，异面直线也没有公共点.
B
6. （2024 安徽文化素质分类考试）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥平面
ABCD，PD＝AB. 若E为PC的中点，则直线AE与平面ABCD所成角的正切值为（　D　）
B. 2
【解析】过E点作EF∥PD，交DC于F点，连接AF. 因为PD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，所
以AF是AE在平面ABCD上的射影，所以∠EAF即为直线AE与平面ABCD所成角的平面角.设PD＝AB
＝2.在△PDC中，E是中点，所以EF是中位线，所以EF＝ PD＝1.在△ADF中，∠ADC＝90°，所以
AF＝ ＝ .在△AFE中，∠AFE＝90°，所以tan∠EAF＝ ＝ ＝ .
D
7. （2023 安徽文化素质分类考试）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线中与BD所
成的角为60°的是（　D　）
A. A1B1 B. A1C1 C. AA1 D. B1C
【解析】A选项错误，A1B1与BD所成的角为45°；B选项错误，A1C1与BD所成的角为90°；C选项错
误，AA1与BD所成的角为90°；D选项正确，将B1C平移到A1D，连接A1B，很容易得到△A1BD是等边
三角形.
D
8. （2023 安徽文化素质分类考试）将一个由扇形和矩形组成的平面图形（图①）绕直线AB旋
转一周，形成的几何体（图②）的体积为（　C　）
A. 7π B. 8π
【解析】圆柱的底面圆半径r为1，高h为2，所以V圆柱＝πr2h＝2π.半球的半径R为1，所以V半球＝ ×
πR3＝ π，所以V＝V半球＋V圆柱＝ π.
C
9. （2023 安徽文化素质分类考试）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，M，
N分别是AB，PC的中点，则下列结论正确的是（　A　）
A. MN∥平面PAD B. PA∥MN
C. MN⊥平面PCD D. PC⊥MN
【解析】在DC上取中点E，连接ME，NE. 因为N，E分别是PC，CD的中点，所以NE是三角形PDC
的中位线，所以NE∥PD. 又NE不在平面PAD内，所以NE∥平面PAD. 同理，ME∥平面PAD. 所以平面
MNE∥平面PAD，所以MN∥平面PAD.
A
10. （2022 安徽文化素质分类考试）如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别
为A′B′，C′D′的中点，则三棱柱BB′E－CC′F的体积为（　C　）
【解析】V三棱柱＝ ×1× ×1＝ .
C
11. （2022 安徽文化素质分类考试）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内切
一个球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等（如图），相传这个图形表达了阿基米德引以为傲的
发现：图中圆柱的体积是球体积的 倍，圆柱的全面积（包括上下底的面积）是球表面积的
倍.已知球的半径为1，则该圆柱的全面积为（　D　）
B. 2π D. 6π
【解析】S球＝4πR2＝4π，则S圆柱＝ S球＝ ×4π＝6π.
D
12. （2022 安徽文化素质分类考试）如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，
则以下判断正确的是（　D　）
A. △ABC是等边三角形
B. △OAB是等腰直角三角形
C. 平面OAB⊥平面ABC
D. 平面OAB⊥平面OBC
D

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