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BY YUSHEN
　　第十章　概率与统计初步
第一讲　概率初步知识
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
2
【考纲多维解读】
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考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在2道，难度不高.要求掌握分类计数原理、分步计数原理的概念，并会解决一些简单实际问题；理解随机事件和概率的概念，掌握概率的简单性质，会求古典概型的概率；理解总体、个体、样本等概念，掌握三种抽样方法；理解均值、标准差、方差的意义和作用，会用样本估计总体；能运用概率与统计初步知识解决实际问题. 2023年 2024年 2025年
第6题 第17题 第13题 第16题 第7题
第22题
分值 8分 8分 8分
3
【考点知识梳理】
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　　1.随机事件
　　在相同条件下，对随机现象进行的观察试验叫做随机试验，随机试验中每一
种可能出现的结果，都称为样本点，所有样本点组成的集合称为样本空间，通常
用Ω表示，如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为随
机事件，通常用简称事件，常用大写英文字母A，B，C等表示.
　　在一定的条件下，必然发生的事件称为必然事件，记作Ω.
　　在一定的条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，记作 .
　　在实验和观察中不能再分的最简单的随机事件，叫做基本事件.
　　2.频率和概率
　　（1）频率：在多次重复实验中某事件发生的次数m与实验的次数n的比
值，即 ，随着试验次数的变化而变化.
　　（2）概率：一般地，在n次重复试验中，如果事件A发生的频率 总稳定
在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.一
旦事件确定，概率是一个确定的值.
　　3.概率的性质
　　（1）P（Ω）＝1，P（ ）＝0.
　　（2）对任意的事件A，均有0≤P（A）≤1.
　　（3）互斥事件：在一次试验中不可能同时发生的事件.
　　（4）和事件：事件A与B的和事件为事件C，记作C＝A B，事件C发生
即事件A与B中至少有一个发生.
　　（5）如果事件A，B是互斥事件，那么有P（A B）＝P（A）＋P
（　B　）.
B
好题解析＞
　　例1　不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从
袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A. 摸出的是3个白球
B. 摸出的是3个黑球
C. 摸出的是2个白球、1个黑球
D. 摸出的是2个黑球、1个白球
　　【参考答案】不可能事件，就是在已知条件下一定不会发生的事件.由题意，白球只有2个，不可能摸
出3个.故选A.
　　例2　 某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的互斥事件为（　　）
A. 至少一次中靶 B. 只有一次中靶
C. 两次都中靶 D. 两次都没有中靶
　　【参考答案】事件“至多一次中靶”包含了“一次中靶，一次未中靶”和“两次均未中
靶”.A，B选项中的事件包含了“一次中靶，一次未中靶”，D选项中的事件包含了“两次均未中
靶”，所以错误.故选C.
对点检测1＞
　　（1）在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品，从中任意抽出3件的必然事件是
（　D　）
A. 3件都是正品 B. 至少有1件是次品
C. 3件都是次品 D. 至少有1件是正品
【解析】在10件同类产品中，其中8件为正品，2件为次品.从中任意抽出3件，则至少有一件为正品.
D
　　（2）“某彩票的中奖概率为 ”意味着（　D　）
【解析】概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生.
D
　　1.古典概型：如果一个随机试验具有以下性质：
　　（1）有限性：样本空间的样本点的总数有限；
　　（2）等可能性：每次实验中样本空间中的各个样本点出现的可能性相等；
　　称这样的随机试验为古典概型.
　　2. 古典概型的概率公式
　　P（A）＝ ＝ .
好题解析＞
　　例3　有3个兴趣小组，甲、乙两人各自只参加其中1个，每位同学参加各小组的可能性相
同，则这两位同学不在同一兴趣小组的概率为（　　）
　　【参考答案】设小组的编号为1，2，3，甲、乙两人各自只参加其中一个，可能为（1，1），（1，
2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9种，其中两位同
学不在同一兴趣小组的为（1，2），（1，3），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），共6种，所以
两位同学不在同一兴趣小组的概率为 ＝ .故选D.
　　例4　无色酚酞溶液是一种常用的酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液的酸碱性，通常情况下
酚酞溶液遇到酸性溶液不变色，遇到中性溶液也不变色，遇到碱性溶液变红色，现有5瓶缺失标
签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞溶液滴入任意
一瓶液体后呈现红色的概率是（　　）
　　【参考答案】本题是一道跨学科题目，需要知晓蒸馏水是中性溶液，白醋溶液、柠檬水溶液是酸性溶
液，食用碱溶液、火碱溶液是碱性溶液，所以将酚酞溶液滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率为 .故选B.
对点检测2＞
　　（1）某团支部30名团员在某月内阅读中国古典名著的时间（单位：小时）统计如表：
阅读时间 ［15，20） ［20，25） ［25，30） ［30，35） ［35，40）
人数 2 8 9 8 3
　　现从这30名团员中随机抽取一名，则抽到的团员是在该月内阅读时间不少于25小时的概率为
（　B　）
【解析】阅读时间不少于25小时，即该月阅读时间大于或等于25小时的共有9＋8＋3＝20（人），故概率为
＝ .
B
　　（2）一枚硬币连续抛掷3次，至少2次正面向上的概率是（　A　）
【解析】一枚硬币连续抛掷3次的情况有：（正正正）、（正正反）、（正反正）、（反正正）、（反反
正）、（反正反）、（正反反）、（反反反），共8种，至少2次正面向上的情况有：（正正正）、（正正
反）、（正反正）、（反正正），共4种，故至少2次正面向上的概率P＝ .
A
　　1. 弄清题意，理清该试验的做法.
　　2. 确定样本空间点的总数，可以采用枚举法、树状图法、列表法，注意不
重不漏.
　　3. 确定事件A发生包含样本点的个数.
　　4. 利用概率公式计算出结果.
4
【考题精选集萃】
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基础考题＞
一、单项选择题
1. 书架上有4本数学书，3本物理书和1本英语书，从中任取1本，取到的是物理书的概率为
（　C　）
2. 抛掷一枚骰子，出现的点是奇数的概率为（　B　）
C
B
3. 现有5件产品，其中3件一等品和2件二等品，从中任取两件，则恰有一件二等品的概率为
（　A　）
4. 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同
颜色运动服的概率为（　A　）
A
A
5. 已知a∈ ，b∈ ，则坐标（a，b）表达不同的坐标点数有
（　B　）
A. 12种 B. 16种 C. 24种 D. 35种
6. 抛掷一颗骰子，观察向上的点数，下列每对事件相互对立的是（　C　）
A. “点数为2”与“点数为3” B. “点数小于4”与“点数大于4”
C. “点数为奇数”与“点数为偶数” D. “点数小于4”与“点数大于2”
B
C
7. 设某厂产品的次品率为0.03，估计该厂8 000件产品中次品的件数为（　C　）
A. 3 B. 160
C. 240 D. 24
8. 不透明口袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2，3，4，6四个数，现从袋中随
机取出两个小球，两个小球上数字之差的绝对值不小于2的概率为（　D　）
C
D
二、填空题
9. 下列四种说法：①事件A发生的概率为P（A）＝1.5；②不可能事件发生的概率为0，必然事
件发生的概率为1；③小概率事件就是不可能事件；④有一批产品的合格率为95％，从这批产品
中抽取100件，必有95件产品合格.其中正确的说法为 .（填序号）
10. 从1，2，3这三个数字中，不放回地随机抽取两个数字组成一个两位数，则组成的两位数是
偶数的概率为 .
②

11. 分别从写着1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽到的第一
张卡片上的数字大于第二张卡片上的数字的概率为 .
12. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和为5的概率为 .


三、解答题
13.100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，问：
（1）从中任取1张，这张卡片上写的数是6的倍数的结果有多少种？
解：（1）根据题意，100张卡片上分别有1，2，3，…，100，其中是6的倍数的情况有6，12，18，…，
96，共有16张卡片上写的数是6的倍数，则从中任取一张，这张卡片上写的数是6的倍数的情况有16种.
（2）从中任取1张，这张卡片上写的数是6的倍数的概率是多少？
解：（2）由第一问可知，一共100张卡片，其中有16张卡片上写的数是6的倍数，故其概率P＝ ＝ .
14. 一颗质地均匀的正方体，它的六个面分别刻有1，2，3，4，5，6点，称为骰子，求下列事件
的概率：
（1）“出现点数为3”的事件；
解：（1） .
（2）“出现点数为3或5”的事件.
解：（2） .
15. 不透明口袋中有5个白球和3个红球，从中任取2个小球，求：
（1）取到的两个球颜色相同的概率；
解：从8个小球中任取2个小球，其结果总数n＝28.
（1）取到的两个球颜色相同所包含的基本事件个数m＝13，所以取到的两个球颜色相同的概率P＝ ＝
.
（2）取到的两个球颜色不同的概率.
解：从8个小球中任取2个小球，其结果总数n＝28.
（2）取到的两个球颜色不同所包含的基本事件个数m＝15，所以取到的两个球颜色不同的概率P＝ ＝
.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 从集合 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合 子集的概率是（　C　）
【解析】集合 的子集共有23＝8个，集合 的子集共有2个，则从 的所有子集中任取
一个，恰是集合 子集的概率为 ＝ .
C
2. 书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率
为（　A　）
【解析】从2本不同的语文书，1本数学书中任意取出2本，共3种取法，恰好都是语文书的取法只有1种，所
以概率为 .
3. 在1，2，3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，事件“这三个数字之和大于5”是
（　A　）
A. 必然事件 B. 不可能事件
C. 随机事件 D. 以上选项均有可能
【解析】这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字之和大于5”一定会发生，是必然事件.
A
A
4. 抛掷两枚骰子，向上的点数之和是11的概率为（　A　）
【解析】因为抛掷两枚骰子出现的点数的结果总数n＝36，其出现点数之和为11的结果个数m＝2，故所求
概率为P＝ ＝ ＝ .
5. 若A，B为互斥事件，P ＝0.4，P ＝0.7，则P ＝（　B　）
A. 0.1 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.7
【解析】∵A，B为互斥事件，∴P ＝P －P ＝0.7－0.4＝0.3.
A
B
6. 将一颗骰子连续抛掷两次，则两次均为偶数的概率为（　B　）
【解析】将一颗骰子连续抛掷两次，共有36种结果，两次均为偶数的结果有（2，2），（2，4），（2，
6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6），共9种，所以两次均为偶数的概
率为 .
B
7. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则
甲或乙被录用的概率为（　D　）
【解析】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，其结果总数n＝10，而甲或乙被录
用所包含的结果数m＝9，所以甲或乙被录用的概率P＝ ＝ .
D
8. 某职校从3名男教师和2名女教师中选派2人下乡支教，则至少有1名女教师被选派的概率是
（　D　）
【解析】从5名教师中选派2名共有10种情况，至少有1名女教师有7种情况，所以至少有1名女教师的概率P
＝ .
D
二、填空题
9. 在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手.若从中任选2人，则选出火
炬手编号相连的概率为 .
【解析】在编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，从中任选2人，基本事件有（1，2），（1，3），（1，
4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个；选出的火炬
手的编号相连包含的基本事件有 ， ， ，共4个；所以选出的火炬手的编号相连
的概率P＝ ＝ .

10. 掷一枚质地均匀的硬币3次，出现正面向上的次数恰好为两次的概率为 .
【解析】连续投掷3次质地均匀的硬币可能出现的结果有（正正正）、（正正反）、（正反正）、（反正
正）、（正反反）、（反正反）、（反反正）、（反反反），其结果总数n＝8，恰好两枚正面向上所包含
的结果数m＝3，故所求概率为P＝ ＝ .

11. 从1，2，3，4四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率
是 .
【解析】从1，2，3，4这四个数中随机取两个数的所有情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，
3），（2，4），（3，4），即基本事件总数n＝6.其中满足一个数是另一个数的两倍的组合为（1，2），
（2，4），即基本事件个数m＝2.故所求概率为P＝ ＝ ＝ .

12. 哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提出了著名的哥德巴赫猜想，其内容是“任一大于2的偶
数都可写成两个质数之和”，如10＝3＋7.在大于10且小于30的所有质数中，随机选取两个不同
的数，其和等于40的概率为 .
【解析】大于10且小于30的所有质数为11，13，17，19，23，29，通过列举可知任选两个数为 ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，有15种选法，其中11＋29＝40，
17＋23＝40，所以和等于40的概率为 .

三、解答题
13. 某校有5名同学准备去当地敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，
B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬
老院的卫生工作.
（1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
解：（1）从这5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：（A，B），（A，C），（A，D），
（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共10种.
（2）设事件M为“抽取的2名同学来自同一班级”，求事件M发生的概率.
解：（2）抽取的2名同学来自同一班的所有可能结果为：（A，B），（A，C），（B，C），（D，
E），共4种，所以事件M发生的概率P（M）＝ .
14. 从0，1，2，3，4这五个数中，任取两个不同的数字构成一个两位数，求这个两位数大于30
的概率.
解：从0，1，2，3，4这五个数中，任取两个不同的数字构成一个两位数，可能有10，12，13，14，20，
21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，其基本事件结果总数n＝16.
其中大于30的两位数共有m＝7个.
所以这个两位数大于30的概率P＝ ＝ .
15. 一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外形状、大小完全相同.
（1）现从袋中一次摸出两个球，若规定：摸出红球得 3 分，摸出白球得 2 分，求得分不低于 5
分的概率；
解：（1）设3个红球分别为红1，红2，红3，2个白球分别为白1，白2.从袋中一次摸出两个球，可能的情况
有：红1红2、红1红3、红1白1、红1白2、红2红3、红2白1、红2白2、红3白1、红3白2、白1白2，共10种，
其中得分不低于5分的情况有：红1红2、红1红3、红1白1、红1白2、红2红3、红2白1、红2白2、红3白1、红
3白2，共9种，故得分不低于 5 分的概率为 .
（2）若从袋子中连续不放回地摸出两个球，摸出的两个球颜色相同，小明获胜；若摸出的两个
球颜色不同，小红获胜.求在第一次摸出白球的情况下，小明获胜的概率.
解：（2）第一次摸出白球，则袋中还剩3个红球和1个白球，根据题意第二次摸出白球小明获胜，第二次摸
球的基本事件总数为n＝4，摸出白球的基本事件数为m＝1，则小明获胜的概率为P＝ ＝ .

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