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BY YUSHEN
　　第十章　概率与统计初步
第二讲　统计初步知识
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.总体：所研究的对象的全体叫做总体.
　　2. 个体：组成总体的每个对象叫做个体.
　　3. 样本：被抽出来的个体的集合叫做总体的样本.
　　4. 样本容量：样本所含个体的数目叫做样本容量.
好题解析＞
　　例1　某校有2 000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名学生
的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）
A. 2 000名学生是总体 B. 每名学生的数学成绩是个体
C. 100名学生是样本 D. 100名学生的数学成绩是样本容量
　　【参考答案】因为考察的对象是2 000名学生的数学成绩，所以2 000名学生的数学成绩是总体，每名
学生的数学成绩是个体，100名学生的数学成绩是样本，样本容量是100.故选B.
对点检测1＞
　　2024年亳州市市初中毕业升学考试的考生人数约为3.2万名，从中抽取3 000名考生的数学成
绩进行分析，在本次调查中，样本指的是（　A　）
A. 3 000名考生的数学成绩 B. 3 000
C. 3.2万名考生的数学成绩 D. 3 000名考生
【解析】样本是3 000名考生的数学成绩.
A
　　1.简单随机抽样：从总体中随机抽取样本的方法叫做简单随机抽样.简单随
机抽样必须保证每个个体被抽到的机会是相同的，也就是说，简单随机抽样是等
概率抽样.抽签法是最常用的简单随机抽样方法.
　　2.系统抽样：当总体所含个数较多时，可将总体分成均衡的几部分，然后按
照预先定出的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体，这样的抽样方法叫做系
统抽样（或机械抽样）.
　　从容量为N的总体中，用系统抽样抽取容量为n的样本，按照下面的步
骤进行：
　　①编号：将总体的N个个体编号为1～N；
　　②确定分段间隔k：将总体平均分成n段，当 为整数时，取k＝ ，当 不
是整数时，取k等于 的整数部分，并随机从总体中剔除N－kn个的个体，对余
下个体重新进行编号并分段；
　　③确定第一个编号：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号l
（l≤k）；
　　④取样：将l加上分段间隔k的1到n－1倍得到余下的样本编号，依次抽取
个体编号为l，l＋k，l＋2k，…，l＋（n－1）k的n个个体组成样本.
　　3.分层抽样：当总体由具有明显差异的几部分组成时，可将总体按差异情况
分成互不重叠的几部分（统计学上称为“层”），然后再从每一层内按各层个体
总数所占比例进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
好题解析＞
　　例2　某校汽修班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容
量为6的样本，已知学号为3，11，19，35，43 的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为
（　　 ）
A. 27 B. 26 C. 25 D. 24
　　【参考答案】根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就是抽取的号码差相等，根据抽出的序号
可知学号之间的差为8，所以在19与35之间还有27.故选A.
　　例3　某校心理辅导室为了解全校同学们的心理状况，将全校80个班依次编号为1到80，现用
系统抽样的方法抽取4个班进行调查，若抽到的编号之和为180，则抽到的最大编号为（　　 ）
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
　　【参考答案】由题意可知，组距为20，设第一组抽到的编号为x，则抽到的编号之和为x＋（x＋
20）＋（x＋40）＋（x＋60）＝120＋4x＝180，解得x＝15，则抽到的最大编号为x＋60＝75.故选C.
对点检测2＞
　　（1）用系统抽样的方法从200名学生中抽取容量为10的样本，将200名学生编号为1～200，
按编号顺序分组，若在第3组抽出的号码为50，则在第一组抽出的号码为（　D　）
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
【解析】 样本间距为200÷10＝20，若在第3组抽出的号码为50，则在第一组抽出的号码为50－2×20＝10.
D
　　（2）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若
采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（　B　）
A. 5，10，15，20，25 B. 3，13，23，33，43
C. 1，2，3，4，5 D. 2，4，6，16，32
【解析】从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，采用系统抽样
方法抽样，组距为10，所以抽出的样本编号是以公差为10的等差数列.
B
好题解析＞
　　例4　某中职学校一年级共有学生2 400人，为了解他们的身体状况，按性别用分层抽样的方
法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高一年级共有女生（　　）
A. 1 140 B. 1 200 C. 1 230 D. 1 260
　　【参考答案】该校一年级共有学生2 400人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，
样本中共有男生42人，则高一年级的女生人数为：2 400× ＝1 140.故选A.
　　例5　甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们
的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙
车间的产品中抽取了3件，则n＝（　　）
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
　　【参考答案】由分层抽样可得 ＝ ，解得n＝13.故选D.
对点检测3＞
　　（1）某中学共有高中学生3 300人，其中高一1 200人，高二1 100人，高三1 000人.为了解该
校高中学生观看“中国诗词大会”电视节目的情况，采用分层抽样的方法从中抽取330人进行调
整，则应抽取的高三学生人数为（　A　）
A. 100 B. 110
C. 120 D. 130
【解析】设抽取的高三学生人数为x，由于分层抽样中，每层中抽取的数量与本层的总数量之比都相等，
都等于样本容量与总体数量的比值，即 ＝ ，解得x＝100，故选应抽取的高三学生人数为100.
A
　　（2）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，采用
分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（　D　）
A. 15，5，25
B. 15，15，15
C. 10，5，30
D. 15，10，20
【解析】设高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为x，y，z.由题意可得 ＝ ＝ ＝ ，所以
x＝15，y＝10，z＝20.
D
　　1.绘制频率分布直方图的方法和步骤
　　（1）求极差：数据中最大值b减去最小值a；
　　（2）确定组距和组数：根据数据的多少确定分组数m，组距d≥ ＝
的最小整数；
　　（3）确定分点；
　　（4）列频率分布表；
　　（5）绘制频率分布直方图：
　　注意：①频率分布直方图的横坐标表示分组情况，纵坐标表示频率与
组距之比；
　　②某一组的频率数值等于该组矩形面积，所有小矩形面积之和为1.
好题解析＞
　　例6　某校举行知识竞赛（满分100分），对全校参赛的1 000名学生的得分情况进行了统
计，把得分数据按［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］分成5组，
得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩在［60，100］内为及格，则下列说法不正确的是
（　　）
A. 图中x的值为0.020
B. 得分在［80，100］内的学生人数为400
C. 得分在［70，80）内的学生人数为350
D. 不及格的学生人数为5
　　【参考答案】对于A，由（0.005＋0.010＋x＋0.030＋0.035）×10＝1，可得x＝0.020，故选项A正
确；对于B，得分在80分及以上的人数的频率为（0.010＋0.030）×10＝0.4，故人数为1 000×0.4＝400，
故选项B正确；对于C，得分在［70，80）人数的频率为0.035×10＝0.35，故人数为1 000×0.35＝350，故
选项C正确；对于D，不及格人数的频率为0.005×10＝0.05，故人数为1 000×0.05＝50，故选项D错误.故
选D.
　　例7　某车间从生产的一批零件中随机抽取了1 000个进行一项质量指标的检测，整理检测结
果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示，若用分层抽样的方法从质量指标在区间［40，
70）的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间［50，60）内的零件应抽取（　　）
A. 30个 B. 40个
C. 60个 D. 70个
　　【参考答案】设质量指标在区间［50，60）内的零件应抽取x个，则 ＝ ，解得x＝
60.故选C.
对点检测4＞
　　一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据绘制了样本的频率
分布直方图如图所示.为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人
中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2 500，3 000］（元）月收入段应抽取的人
数是（　B　）
B
A. 5 B. 25 C. 30 D. 50
【解析】收入在［2 500，3 000］的频率为0.000 5×500＝0.25，频数为0.25×100＝25.
　　1.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据的就叫做这组数据的众数.
　　2. 中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，把处在中间位置的一个数
据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
　　3. 平均数：如果样本有n个数x1，x2，…，xn，那么 ＝ （x1＋x2＋…＋
xn）叫做这n个样本的平均数（或均值），均值反应出这组数据的平均水平.
　　4.样本方差：如果样本由n个数x1，x2，…，xn组成，那么样本的方差为s2
＝ ［（x1－ ）2＋2＋…＋（xn－ ）2］.
　　5. 标准差：s＝ .
好题解析＞
　　例8　已知一组数x1，x2，x3，…，xn的方差为2，则2x1，2x2，2x3，…，2xn和x1＋2，x2
＋2，x3＋2，…，xn＋2这两组数据的方差分别为（　　）
A. 8，2 B. 4，2 C. 4，4 D. 8，4
　　【参考答案】设数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为 ，则2x1，2x2，2x3，…，2xn和x1＋2，x2＋
2，x3＋2，…，xn＋2这两组数据的平均数分别为2 和 ＋2.由题意可知：2＝ ［（x1－ ）2＋（x2－
）2＋（x3－ ）2＋…＋（xn－ ）2］.由2x1，2x2，…，2xn的方差 ［（2x1－2 ）2＋（2x2－
2 ）2＋…＋（2xn－2 ）2］＝ ［（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2］可得2x1，
2x2，…，2xn的方差为8.同理可得x1＋2，x2＋2，x3＋2，…，xn＋2的方差为2.故选A.
　　例9　5名同学的语文和数学成绩如表所示（满分20分）：
语文成绩 12 11 13 15 14
数学成绩 15 16 13 12 14
　　语文和数学成绩的平均数分别为1，2，方差分别为 ， ，则（　　）
A. 1＞2， ＜
B. 1＜2， ＜
C. 1＜2， ＞
D. 1＜2， ＝
　　【参考答案】1＝ ＝13，2＝ ＝14；
　　 ＝ ［（12－13）2＋（11－13）2＋（13－13）2＋（15－13）2＋（14－13）2］＝2.5，
　　 ＝ ［（15－14）2＋（16－14）2＋（13－14）2＋（12－14）2＋（14－14）2］＝2.5.
　　所以1＜2， ＝ .故选D.
对点检测5＞
　　（1）若一组数据x1，x2，x3，…，xn的方差是5，则数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，
3xn－2的方差为（　A　）
A. 45 B. 15
C. 11 D. 5
【解析】因为数据x1，x2，x3，…，xn的方差是5，所以数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，…，3xn－2的方差
为5×32 ＝ 45.
A
　　（2）数据50，51，52，53，54的样本标准差为（　D　）
A. B. 2
C. D.
【解析】数据50，51，52，53，54的平均数为 ＝ ＝52，方差为s2＝ ［（50－52）2
＋（51－52）2＋（52－52）2＋（53－52）2＋（54－52）2］＝ ，标准差为s＝ .
D
　　原数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2，标准差为s，则数据mx1＋
n，mx2＋n，…，mxn＋n的平均数为m ＋n，方差为m2s2，标准差为ms.
基础考题＞
一、单项选择题
1. 该校为了了解高三年级1 600名学生的身高情况，从中随机抽取了100名学生进行测量身高，下
列说法正确的是（　D　）
A. 100名学生是总体 B. 每个学生是个体
C. 1 600名学生的身高是一个个体 D. 样本容量是100
2. 从某班的一次考试中抽取10张数学试卷作为样本，得分分别是86，91，99，72，93，89，
90，85，78，67，则该样本的平均数为（　B　）
A. 86 B. 85 C. 90 D. 80
D
B
3. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个
小长方形面积和的 ，且样本容量为160，则中间一组数据的频数是（　A　）
A. 32 B. 20 C. 40 D. 25
4. 已知一个样本中含有5个数据3，5，7，4，6，则样本方差为（　C　）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 4
A
C
5. 某中学高中有960人，初中有480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法从该校
学生中抽取容量为n的样本，其中高中生是24人，则n＝（　D　）
A. 54 B. 48 C. 42 D. 36
6. 甲、乙、丙、丁四人参加投篮选拔赛，四人的平均成绩和方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均得分 21.4 22.5 22.5 20.3
方差s2 6.6 6.6 2.5 7.2
从这四人中选择一人参加投篮比赛，最佳人选是（　C　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
D
C
7.20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则图中a＝（　A　）
A. 0.005 B. 0.05 C. 0.001 D. 0.01
8. 已知样本数据x1，x2，…，xn的方差为2，则样本数据3x1＋2，3x2＋2，…，3xn＋2的方差为
（　C　）
A. 2 B. 8 C. 18 D. 20
A
C
二、填空题
9. 用抽签法进行简单随机抽样时，抽取的号签 箱中.（填“放回”或“不放回”）.
10. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为3，0.3，则n＝ .
11. 在样本方差公式中，s2＝ ＋…＋ ，则这个公式中n的数值
为 ，样本的均值为 .
不放回
10
15
9
12. 某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3 000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的
高度（单位：cm），将所得数据分为7组：［70，80），［80，90），［90，100），［100，
110），［110，120），［120，130），［130，140］，并绘制了频率分布直方图（如图所
示），根据该图可推测，在这3 000棵树苗中高度小于100 cm的树苗棵数是 .
600
三、解答题
13. 某企业共有1 600名职工，其中老年、中年、青年职工的比例为2∶3∶5，现用分层随机抽样的方法从所有的职工中抽取一个样本容量为200的样本，那么从中年职工中抽取多少人？
解：根据分层随机抽样的方法，即按照一定比例抽取，样本容量为200，根据题意从中年职工中抽取的人数
为200× ＝60.
14. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对
该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为［40，50），
［50，60），…，［80，90），［90，100］.
（1）求频率分布直方图中a的值；
解：（1）由频率分布直方图知：（0.028＋0.022×2＋0.018＋0.004＋a）×10＝1，解得a＝0.006.
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的有多少人.
解：（2）由频率分布直方图可知该企业的职工对该部门评分不低于80的频率为（0.022＋0.018）×10＝
0.4，所以该企业的职工对该部门评分不低于80的人数为0.4×50＝20.
15. 从甲、乙两块小麦地各拔出10株小麦幼苗，分别测得它们的株高如下（单位：cm）
甲：23　31　29　26　22　32　18　27　23　19
乙：27　23　24　28　18　22　33　25　30　20
（1）分别计算甲、乙两块地小麦的平均株高；
解：（1）由题意得，甲＝ ×（23＋31＋29＋26＋22＋32＋18＋27＋23＋19）＝25，乙＝ ×（27＋
23＋24＋28＋18＋22＋33＋25＋30＋20）＝25.
（2）甲、乙两块地小麦中，哪块地的小麦幼苗长得更加整齐？
解：（2） ＝ ［（23－25）2＋（31－25）2＋（29－25）2＋（26－25）2＋（22－25）2＋（32－
25）2＋（18－25）2＋（27－25）2＋（23－25）2＋（19－25）2］＝ ； ＝ ［（27－25）2＋（23
－25）2＋（24－25）2＋（28－25）2＋（18－25）2＋（22－25）2＋（33－25）2＋（25－25）2＋（30－
25）2＋（20－25）2］＝ .因为 ＞ ，所以乙地的小麦幼苗长得更加整齐.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 为了推进课堂改革，提高课堂效率，某中学引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.为
了了解高一年级同学平板使用情况，从高一年级1 210名同学中抽取50名同学进行调查.先用简单
随机抽样从1 210人中剔除10人，剩下的1 200人再按系统抽样方法抽取50人，则在这1 210人中，
每个人被抽取的可能性（　C　）
A. 都相等，且为 B. 不全相等
C. 都相等，且为 D. 都不相等
C
【解析】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分
组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以每个个体被抽到包括两个过程；一是被剔除，二是
被选中，这两个过程是相互独立的，所以每人入选的概率P＝ × ＝ .
2. 在频率分布直方图中，各个小矩形的面积之和等于（　C　）
A. 0.1 B. 10 C. 1 D. 不能确定
【解析】频率分布直方图中各小矩形的面积之和等于频率之和，所以各小矩形的面积之和为1.
3. 某大学图书馆新购进《九章算术》（战国至两汉）、《张丘建算经》（北魏）、《数书九
章》（北宋）、《测圆海镜》（金代）四种不同时期的古代数学著作若干本，已知借阅四种图书
的人数分别为20，10，15，5，现从中用分层抽样的方法选取10人进行问卷调查，则10人中借阅
《张丘建算经》、《测圆海镜》的分别有（　B　）
A. 3人，2人 B. 2人，1人 C. 4人，2人 D. 6人，3人
【解析】依题意可得一共有20＋10＋15＋5＝50（人），则抽取的借阅《张丘建算经》的有10× ＝2
（人），则抽取的借阅《测圆海镜》的有10× ＝1（人）.
C
B
4. 有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋
c ，c≠0，则这两组样本数据的数字特征相同的是（　D　）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 标准差
【解析】记x1，x2，…，xn的平均数为 ，则y1，y2，…，yn平均数为 ＝ ＋c，故平均数不同，由众
数和中位数概念可知，两组数据的众数和中位数也不同，记x1，x2，…，xn的标准差为s，则yn的标准差
也为s，故两组数据的标准差相同.
D
5. 一个频率分布表（样本容量为30）损坏了一部分，若样本中数据在［20，60］上的频率为
0.8，则在［40，60］内的数据共有（　A　）
分组 ［10，20） ［20，30） ［30，40） ∥∥∥∥∥
频数 3 4 5 ∥∥∥∥∥
A. 15个 B. 16个 C. 17个 D. 18个
【解析】［20，60］的频数是0.8×30＝24，24－4－5＝15.
A
6. 在一次射击测试中，甲、乙两名运动员各射击5次，命中的环数分别为：甲：5，10，6，9，
10；乙：7，8，8，9，8.记甲，乙分别为甲乙两名运动员命中环数的平均数，s甲，s乙分别为
甲、乙两名运动员命中环数的标准差，则下列结论正确的是（　C　）
A. 甲＞乙 B. 甲＜乙 C. s甲＞s乙 D. s甲＜s乙
【解析】甲＝8，乙＝8；s甲＝ ［（5－8）2＋（10－8）2＋（6－8）2＋（9－8）2＋（10－8）2］＝
5.5，s乙＝ ［（7－8）2＋（8－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2＋（8－8）2］＝0.5.所以甲＝乙，s甲＞s乙.
C
7. 某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方
图，其中自习时间的范围是［17.5，30］，样本数据分组为［17.5，20），［20，22.5），
［22.5，25），［25，27.5），［27.5，30］.则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时
的有（　D　）
A. 56人 B. 60人 C. 120人 D. 140人
【解析】由频率分布直方图可知，每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（0.16＋0.08＋0.04）
×2.5×200＝140.故选D.
D
8. 高一某班级有男生35人，女生15人，用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个容量为10的样
本，抽出的男生平均体重为70 kg，抽出的女生平均体重为50 kg，估计该班的平均体重是
（　C　）
A. 54 kg B. 60 kg C. 64 kg D. 65 kg
【解析】根据分层抽样的定义可得抽取男生7人，女生3人，男生平均体重为70 kg，女生平均体重为50 kg，
该班的平均体重是 ＝64 kg.
C
二、填空题
9. 甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8，7，9，7，9，乙所中环数的平均数是8，方差为
0.81，那么 成绩较稳定.（填“甲”或“乙”）
【解析】甲＝ （8＋7＋9＋7＋9）＝8， ＝ ［（8－8）2＋（7－8）2＋（9－8）2＋（7－8）2＋（9－
8）2］＝1，∵ ＞ ，所以乙的成绩较稳定.
10. 已知一组数据：4，6，5，8，7，6，则该组数据的方差为 .
乙
2
11. 某校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为［20，
40），［40，60］，［60，80），［80，100］.若低于60分的人数是15，则该班的人数
是 .
【解析】第一组的频率为0.005×20＝0.1，第二组的频率为0.01×20＝0.2，所以总人数为 ＝50.
50
12. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为300，200，400，300件，为检
验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的
产品中抽取的件数为 .
【解析】由题意得用分层抽样的方法从1 200产品中抽取60件进行检验，所以抽取的比例为 ＝ ，所以
应从丙种型号的产品中抽取的件数为400× ＝20.
20
三、解答题
13. 有一样本容量为10的样本试验数据如下：
38，41，39，42，37，34，38，40，35，36.
请计算这个样本的均值、方差和标准差.
解： ＝ （38＋41＋39＋42＋37＋34＋38＋40＋35＋36）＝38；
s2＝ ［（38－38）2＋（41－38）2＋（39－38）2＋（42－38）2＋（37－38）2＋（34－38）2＋（38－
38）2＋（40－38）2＋（35－38）2＋（36－38）2］＝ ；s＝ ＝ .
14. 在某试验中抽取了样本容量为50的样本，数据的分组与各组的频数如下：
［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；
［70，80），15；［80，90），12；［90，100］，8.
（1）列出样本的频率分布表；
解：（1）样本的频率分布表如表所示：
数据分组 频数 频率
［40，50） 2 0.04
［50，60） 3 0.06
［60，70） 10 0.2
［70，80） 15 0.3
［80，90） 12 0.24
［90，100］ 8 0.16
（2）画出频率分布直方图.
（2）频率分布直方图如图所示：
15. 某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解
城镇居民对治理情况的评价和建议，现随机抽取了200名居民进行问卷并评分（满分100分），将
评分结果制成如图所示频率分布直方图，已知图中a，b，c成等比数列，且公比为2.
（1）求图中a，b，c的值；
解：（1）由题意得，c＝4a，b＝2a，有10× ＝1，所以0.045＋4a＋4a
＋2a＋a＝0.1，即11a＝0.055，解得a＝0.005，于是b＝0.010，c＝0.020.
（2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了6个居
民.若从这6个居民中随机选择2个参加座谈，求所抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”
的概率.
解：（2）评分在“50～60”和“80～90”分别有40人和20人.则所抽取的6个居民中，评分在“80～90”一
组有2人，记为A1，A2，评分在“50～60”一组4人，记为B1，B2，B3，B4.从这6人中选取2人的所有基本
事件有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，
B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B2，B3），（B2，
B4），（B3，B4），共15个.其中至少有1个评分在“80～90”的基本事件有9个.则所求的概率P＝ ＝
，即抽取的2个居民中至少有1个评分在“80～90”的概率为 .
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）从1，2，3，4这4个数中任取两个数，则取出的两数之和等
于5的概率是（　B　）
A. B. C. D.
【解析】从4个数中任取两个数，总组合数为6，两数之和为5的组合只有（1，4）和（2，3），组合数为
2，因此概率为 .
B
2. （2025 安徽文化素质分类考试）为了解某市家庭用电量情况，该市统计局随机调查了100户
居民用户2024年的月均用电量.调查数据的频率分布直方图如图所示，其中数据分组区间为
［50，100），［100，150），［150，200），［200，250），［250，300），［300，350］.在
被调查的用户中，月均用电量在区间［100，200）内的户数是（　B　）
A. 40 B. 48 C. 52 D. 60
【解析】月均用电量在区间［100，200）内的户数为：100×（0.003 6＋0.006 0）×50＝48（户）.
B
3. （2024 安徽文化素质分类考试）某校高一年级有210名学生，高二年级有180名学生，高三年
级有150名学生，为了解学生身体状况，该校采用分层抽样的方法抽取n名学生进行体能测试，
若从高二年级抽取了30名学生，则n＝（　C　）
A. 55 B. 65 C. 90 D. 120
【解析】由题意可得： ＝ ，解得n＝90.
C
4. （2024 安徽文化素质分类考试）意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究兔子繁殖问题时，
得到数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之
和，被称为“斐波那契数列”.现从3，5，7，9，11，13，15中任取一个数，则该数是“斐波那
契数列”的项的概率为（　B　）
A. B. C. D.
【解析】3，5，7，9，11，13，15共计7个数，其中有3个数是“斐波那契数列”的项，故其概率为 .
B
5. （2023 安徽文化素质分类考试）古代数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如
下图中的小石子个数1，4，9，16，…被称为“正方形数”.
现从 2，3，4，8，9，12，14 中任取一个数，则取到“正方形数”的概率是（　B　）
A. B. C. D.
【解析】2，3，4，8，9，12，14共计7个数，其中有2个数是“正方形数”，故其概率为 .
B
6. （2023 安徽文化素质分类考试）设一组数据的平均数和标准差分别为 和s，把Vs＝ 称为该
组数据的离散系数.若Vs越大，则该组数据的离散程度越大；若Vs越小，则该组数据的离散程度
越小，调查统计某校学生的身高数据和体重数据，整理得到：身高＝168 cm，s身高＝8.4 cm，
体重＝65 kg，s体重＝6.5 kg.则下列推断正确的是（　A　）
A. 身高数据比体重数据的离散程度大
B. 身高数据比体重数据的离散程度小
C. 身高数据和体重数据的离散程度一样大
D. 身高数据和体重数据的离散程度无法判断
【解析】由题意可知：身高的离散系数Vs＝ ＝20，体重的离散系数Vs＝ ＝10，所以身高数据比体重
数据的离散程度大.
A
7. （2022 安徽文化素质分类考试）袋中有红球、黄球和白球共6个，除颜色外完全相同，从中
任取一球，若取到的红球的概率为 ，是红球或黄球的概率为 ，则袋中黄球的个数为
（　C　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】由题意可知：取得黄球的概率为 － ＝ ，所以袋中黄球的个数为6× ＝2.
C
8. （2022 安徽文化素质分类考试）从一块小麦地里随机抽取100株小麦，测量各株小麦的高度
（单组距位：cm），根据测量的数据得到频率分布直方图如图所示，则样本高度落在区间
［15，20］上的频数为（　B　）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
【解析】由题意可知：样本高度落在区间［15，20］上的频率为1－0.06×5－0.10×5＝0.2，所以其频数为
100×0.2＝20.
B
9. （2021 安徽文化素质分类考试）袋中共有8个除了颜色外完全相同的小球，其中2个红色球，
3个白色球，3个黑色球，现从袋中取一个球，则取到的球不是黑色球的概率为（　C　）
A. B. C. D.
【解析】取到的球不是黑色球的概率为 ＝ .
C
10. （2021 安徽文化素质分类考试）某学校为了了解1 000名新生的体质状况，将这些学生编号
为1，2，…，1 000，用系统抽样方法从这些学生中等距抽取100名进行体质测试，若23号学生被
抽到，则下面编号对应的学生被抽到的是（　C　）
A. 100 B. 107 C. 113 D. 115
【解析】在1 000名学生中抽取100名学生，则组距为10，因为抽到编号为23的学生，所以第一个学生的编
号为3，第二个为13，……，以此可以判断113号被抽中.
C

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