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BY YUSHEN
第六章　数列
第一讲　数列的概念与等差数列
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
　 　
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在2道，难度不高.需要理解数列的有关概念及通项公式的含义，掌握等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，掌握等比数列的定义、通项公式、前n项和公式.本章易错点为容易忽略等差数列公差为0和等比数
列公比为1的情况. 2023年 2024年 2025年
第10题 第13题 第11题 第19题 第9题
第14题
分值 8分 8分 8分
3
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.按照一定的次序排成的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做数
列的项.
　　2. 数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为
数列的首项，an称为数列的第n项，n称为项数.
　　3. 项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列，所有项
均为同一个数的数列称为常数列.
　　4.一般地，当一个数列的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子来表
示时，那么这个式子就称为这个数列的通项公式.
　　5. 数列{an}的前n项和用Sn表示，且满足an＝
好题解析＞
　　例1　不能作为数列2，0，2，0，…的一个通项公式的是（　　）
A. an＝1＋（－1）n＋1 B. an＝1－（－1）n
C. an＝1＋（－1）n D. an＝1－ cos （nπ）
　　【参考答案】经检验C选项所代表的数列为0，2，0，2，…，不能表示数列2，0，2，0，….故选C.
　　例2　已知数列 的前n项和为Sn＝n2＋1，则数列 的通项公式为（　　 ）
　　【参考答案】当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，经检验a1＝2不符
合上式，所以an＝ 故选D.
对点检测1＞
　　（1）已知数列{an}的通项公式是an＝3n－1，则a4＝（　C　）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
【解析】a4＝3×4－1＝11.
　　（2）设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1（n∈N*），则a5＝（　C　）
A. 32 B. 31 C. 16 D. 15
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，所以a5＝25－1＝16.
C
C
　　1.一般地，当一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一
个常数，就称这个数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常
用字母d表示.
　　2. 等差数列{an}的定义用递推关系式表示为an＋1－an＝d（n∈N*）.
　　例3　已知数列 的通项公式是an＝2n－5，下列说法正确的是（　　 ）
A. 该数列是以－5为首项，2为公差的等差数列
B. 该数列是以2为首项，－5为公差的等差数列
C. 该数列是以－3为首项，2为公差的等差数列
D. 该数列是以2为首项，－3为公差的等差数列
　　【参考答案】由an＝2n－5知，a1＝2－5＝－3，d＝an＋1－an＝2.故选C.
好题解析＞
　　例4　在等差数列 中，a3＝5，a4＝8，则a6＝（　　 ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
　　【参考答案】由题意可得：d＝a4－a3＝3，a6＝a4＋2d＝14.故选D.
对点检测2＞
　　已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差d为（　C　）
A. 2 B. 3 C. －2 D. －3
【解析】由等差数列的定义得d＝－2.
C
　　1.等差数列的通项公式为an＝a1＋（n－1）d，或者表示为an＝am＋（n
－m）d（n，m∈N*，n＞m）.
　　2. 等差数列的通项公式是关于n的一次函数，即an＝kn＋b（k，b为常
数，n∈N*）.
　　例5　 在等差数列 中，a1＝5，a5＝13，则通项公式an＝（　　 ）
A. 2n＋3 B. 3n＋2 C. 4n＋1 D. n＋4
　　【参考答案】由题意可得：a5＝a1＋4d＝5＋4d＝13，解得d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝2n
＋3.故选A.
好题解析＞
　　例6　在等差数列 中，若a1＝1，d＝3，则当an＝298 时，项数n＝（　　 ）
A. 98 B. 99 C. 100 D. 101
　　【参考答案】根据通项公式可得an＝a1＋（n－1）d＝3n－2＝298，解得n＝100.故选C.
对点检测3＞
　　（1）已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＋a8＝24，则该数列的公差d＝（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】因为 是等差数列，且a2＝3，a5＋a8＝24，所 解得
B
　　（2）在等差数列{an}中，a1＝2，a2＝ ，则a2 025的值是（　D　）
A. 1 011 B. 1 012 C. 1 013 D. 1 014
【解析】因为a1＝2，a2＝ ，所以d＝a2－a1＝ ，所以an＝a1＋（n－1）d＝2＋ ＝ n＋
，故a2 025＝ ×2 025＋ ＝1 014.
D
　　1.等差数列的前n项和公式为Sn＝na1＋ d或Sn＝ .
　　2. 等差数列的前n项和是一个跟n有关的且不带常数项的二次函数，即Sn
＝an2＋bn（a，b为常数）.
　　例7　在等差数列 中，若a5＝1，S5＝S10，则a1＝（　　）
　　【参考答案】由S5＝S10可得5a1＋ d＝10a1＋ d，得a1＝－7d①；由a5＝1可得a1＋4d＝1
②；联立①②解得a1＝ .故选B.
好题解析＞
　　例8　记Sn为等差数列 的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15，则Sn的最小值为
（　　 ）
A. －16 B. －17 C. －18 D. －19
　　【参考答案】由题意可得S3＝3×（－7）＋ d＝－15，解得d＝2.所以前n项和Sn＝na1＋
d＝n2－8n，当n＝－ ＝4时，Sn最小，最小值为－16.故选A.
对点检测4＞
　　（1）已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7＝5，S7＝21，则S10＝（　A　）
A. 40 B. 35 C. 30 D. 28
A
【解析】由题意可得 解得a1＝1，d＝ ，∴S10＝10×1＋ × ＝40.
　　（2）记Sn为等差数列 的前n项和.若a1＋a2＋a3＝3，S10＝20，则公差为（　C　）
【解析】设等差数列 的公差为d，由a1＋a2＋a3＝3可得3a1＋3d＝3，即a1＋d＝1①；由S10＝20可
得10a1＋45d＝20，即2a1＋9d＝4②，联立①②解得d＝ .
　　（3）在等差数列{an}中，如果S10＝60，那么a1＋a10＝（　B　）
A. 24 B. 12 C. 6 D. 3
【解析】在等差数列 中，S10＝ ＝5（a1＋a10）＝60，则a1＋a10＝12.
C
B
　　1.等差中项：一般地，当三个数a，b，c成等差数列时，b称为a和c的等
差中项，且2b＝a＋c.
　　2. 在等差数列中，若项数满足m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则
对应的项满足am＋an＝ap＋aq.
　　3. 若数列{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，
m∈N*）是公差为md的等差数列.
　　4. 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d.
好题解析＞
　　例9　在等差数列 中，a2＋a5＋a17＋a20＝48，则a11＝（　　 ）
A. 12 B. 14
C. 16 D. 24
　　【参考答案】由等差数列性质可得：a2＋a20＝a5＋a17＝2a11，则有4a11＝48，解得a11＝12.故选A.
　　例10　等差数列 的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为（　　 ）
A. 130 B. 150 C. 180 D. 210
　　【参考答案】由等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即30，70，S3n－100成等差
数列，则（S3n－100）－70＝70－30，得S3n＝210.故选D.
对点检测5＞
　　（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝180，则a5＋a8＝（　B　）
A. 40 B. 30 C. 20 D. 10
【解析】∵S12＝6（a5＋a8）＝180，∴a5＋a8＝30.
　　（2）在等差数列 中，如果a3，a5是方程x2－5x－24＝0的两个根，那么a2＋a6
＝ ，a4＝ .
【解析】由韦达定理得a3＋a5＝5.因为等差数列的项数满足m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则
对应的项满足am＋an＝ap＋aq，所以a2＋a6＝a3＋a5＝5，2a4＝a3＋a5＝5，解得a4＝ .
B
5

好题解析＞
　　例11　 我国古代数学著作《张邱建算经》曾记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增
（即每天增加的数量相同）”.若该女子第1天织布3尺，前21天共织布84尺，则第11天织布
（　　）
A. 3.9尺 B. 4尺 C. 4.9尺 D. 5尺
　　【参考答案】设善织布女子每天织布尺数构成数列{an}，其公差为d，前n项和为Sn，则a1＝3，S21
＝21a1＋ d＝84，整理得a1＋10d＝a11＝4，即第11天织布4尺.故选B.
　　例12　等差数列 的前n项和为Sn，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论不正确的是
（　　 ）
A. d＜0 B. a7＝0
C. S9＞S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
　　【参考答案】由S6＝S7可得a7＝S7－S6＝0，所以B正确；由S5＜S6，可得a6＝S6－S5＞0，则公差d
＝a7－a6＜0，所以A正确；因为S9－S5＝a9＋a8＋a7＋a6＝2（a8＋a7），且a8＝a7＋d＜0，所以S9－
S5＜0，所以C错误；D显然正确.故选C.
对点检测6＞
　　中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题，其意为：现有一根9节的竹子，自上而
下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为多
少？请解答此问题.
解：设竹子每节的容积构成等差数列 ，公差为d，
∵竹子上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，
∴a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
∴ 解得
∴a5＝ ＋4× ＝ ，
∴第5节的容积为 升.
4
【考题精选集萃】
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基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知数列{an}的前4项为2，4，6，8，则该数列的通项公式为（　A　）
A. an＝2n B. an＝2n＋2
C. an＝2n＋1 D. an＝2n－1
2. 在数列 中，已知an＋1－an＝2，a10＝16，则a1＝（　B　）
A. －4 B. －2 C. 0 D. 2
A
B
3. 已知数列 为等差数列，a4＋a5＋a6＝3，则a5的值为（　D　）
A. 3 B. 2 D. 1
4. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a3＋a5＝6，则S5＝（　A　）
A. 10 B. 14 C. 6 D. 22
5. 在等差数列{an}中，若a1＝2，公差d＝3，则S6＝（　C　）
A. 40 B. 48 C. 57 D. 66
D
A
C
6. 在等差数列{an}中，若a2＝－6，a8＝8，则a5＝（　D　）
A. －2 B. 2 C. －1 D. 1
7. 在等差数列 中，a1＋a2＋a3＝2，a4＋a5＋a6＝4，则a10＋a11＋a12＝（　B　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 已知等差数列{an}的前3项分别为a－b，a，a＋b，则该数列的一个通项公式为（　A　）
A. an＝a＋（n－2）b B. an＝a＋（n－1）b
C. an＝b＋na D. an＝b＋（n－1）a
D
B
A
二、填空题
9. 在等差数列{an}中，已知S15＝45，则a8＝ .
10. 在等差数列{an}中，已知a5＝8，a8＝14，则公差d＝ .
11. 记Sn为等差数列 的前n项和，若a1≠0，a2＝4a1，则 ＝ 　 　.
12. 在等差数列{an}中，若a1＝3，a100＝36，则a3＋a98＝ .
3
2

39
三、解答题
13. 判断下列数列是否为等差数列：
（1）an＝3－2n；
解：（1）因为an＋1－an＝［3－2（n＋1）］－（3－2n）＝－2，是常数，所以数列 是以－2为公差
的等差数列.
（2）an＝n2－n.
解：（2）因为an＋1－an＝［（n＋1）2－（n＋1）］－（n2－n）＝2n，不是常数，所以数列 不是
等差数列.
14. 在8与36之间插入6个数，使之成等差数列，求这8个数之和.
解：由题意可得a1＝8，a8＝36，所以S8＝ ＝ ＝176.
15. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝35，a4＝9，求a1和d.
解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝5a3＝35，解得a3＝7，由a4＝9，则公差d＝a4－a3＝9－7＝
2，所以a1＝a4－3d＝9－3×2＝3.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10＝（　B　）
A. 100 B. 120 C. 140 D. 160
【解析】根据等差数列的性质可知，由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝（a3＋a9）＋（a4＋a8）＋（a5＋
a7）＋a6＝7a6＝420，所以a6＝60，则a2＋a10＝2a6＝120.
B
2. 若3，a，27成等差数列，则a＝（　B　）
A. 9 B. 15 C. ±9 D. ±15
【解析】因为3，a，27成等差数列，由等差中项的定义可知2a＝3＋27＝30，解得a＝15.
3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n，则an＝（　A　）
A. 4n－3 B. －4n＋3 C. 2n－1 D. 2n＋1
【解析】∵Sn＝2n2－n，∴当n＝1时，a1＝S1＝2×1－1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n2－n）
－［2（n－1）2－（n－1）］＝4n－3，故an＝4n－3.
B
A
4. 在数列{an}中，若an＋1＝2an＋1，且a1＝1，则a5＝（　D　）
A. 3 B. 7 C. 15 D. 31
【解析】∵an＋1＝2an＋1，且a1＝1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.
5. 已知数列 的通项公式为an＝－2n＋15，则其前n项和Sn取得最大值时，n的值为
（　D　）
A. 1 B. 7或8 C. 8 D. 7
【解析】由an≥0得－2n＋15≥0，解得n≤ .又n∈N*，∴1≤n≤7时，an≥0，当n≥8时，an＜
0 ；则前n项和Sn取得最大值时n的值为7.
D
D
6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目（改编）：把100
个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则
最小的一份为（　A　）
A. 10个 B. 15个 C. 20个 D. 30个
【解析】由题意知
即 解得
∴最小的一份为10个.
A
7. 在等差数列{an}中，a1，a8是方程x2－9x＋7＝0的两个根，则a4＋a5＝（　C　）
A. 7 B. －7 C. 9 D. －9
【解析】∵在等差数列{an}中，a1，a8是方程x2－9x＋7＝0的两个根，∴a4＋a5＝a1＋a8＝9.
8. 在首项是80，公差是－7的等差数列{an}中，与0最接近的项是（　C　）
A. a10 B. a11 C. a12 D. a13
【解析】由a1和d可得an＝－7n＋87，令an＝0，得n＝12 .又a12＝3，a13＝－4，故选C.
C
C
二、填空题
9. 在等差数列{an}中，已知a1＝27，S9＝S17，则数列的前 项和最大.
【解析】∵S9＝S17，∴a10＋a11＋a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＝0，即4（a13＋a14）＝0，∴a13＋a14＝0.又∵a1＝27＞0，∴a13＞0，a14＜0，故前13项和最大.
10. 已知等差数列 的前n项和为Sn，若S3＝6，S9＝27，则S6＝ .
【解析】设S6＝x，由等差数列的性质可得2 ＝S3＋S9－S6，又S6－S3＝x－6，S9－S6＝27－
x，则2 ＝6＋27－x，解得x＝15.
13
15
11. 在等差数列{an}中，前三项分别为x－2，x，2x＋1，则x＝ .
【解析】∵x－2，x，2x＋1成等差数列，∴2x＝（x－2）＋（2x＋1），解得x＝1.
12. 等差数列40，37，34，…中的第一个负数项是第 项.
【解析】an＝40＋（n－1）×（－3）＝－3n＋43，令an＝0，即－3n＋43＝0，解得n＝ ＝14 ，所
以前14项为正数，从第15项开始，各项都为负数.
1
15
三、解答题
13. 已知有三个数成等差数列，它们的和是18，平方和是116，求这三个数.
解：设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
由题意可得
解得 或
所以这三个数分别为4，6，8或者8，6，4.
14. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n－1.
（1）判断23是不是数列{an}的前n项和.如果是，那么23是前几项和？
解：（1）令Sn＝23，即n2＋2n－1＝23，
解得n＝4或n＝－6（舍），所以23是数列的前4项和.
（2）求数列{an}的通项公式.
解：（2）当n＝1时，a1＝S1＝1＋2－1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋2n－1）－［（n－1）2＋2（n－1）－1］＝2n＋1.
当n＝1时，可得a1＝2＋1＝3，与a1＝S1＝2相矛盾，所以an＝
15. 已知数列{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10.
（1）求{an}的通项公式；
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，
所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n（n∈N*）.
（2）求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值.
解：（2）因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有
10项，所以a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋ ×（－6）＝－50.

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