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BY YUSHEN
第七章　平面向量
第一讲　平面向量的概念和加、减、数乘运算
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在2道，难度不高.需要掌握两个非零向量共线、相等、相反的条件；掌握平面向量的线性运算；掌握平面向量的加、减及数乘向量的综合坐标运算；掌握平面向量的内积定义、性质及运算律；掌握平面向量平行、
垂直的充要条件.本章难点为向量内积运算. 2023年 2024年 2025年
第11题 第18题 第4题 第18题 第5题
第18题
分值 8分 8分 8分
3
【考点知识梳理】
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　　1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量.
　　2. 向量的表示方法：常用小写黑体英文字母a，b，…表示或用带箭头的两
个大写英文字母表示，例如 表示以A为起点，B为终点的有向线段， 表
示以B为起点，A为终点的有向线段，如下图所示.
　　3.向量的模：向量的大小叫做向量的长度（或称模）.记作 ， 或
， 等.
　　4. 零向量：模为零的向量，其方向具有任意性，记作0.
　　5. 单位向量：模为1的的向量，非零向量a的单位向量为 .
　　6. 相等向量：模相等且方向相同的两个向量.
　　注意：两向量只有相等或不等，不能比较大小.
　　7. 相反向量：模相等且方向相反的向量.
　　注意：零向量的相反向量为零向量.
好题解析＞
　　例1　给出下列物理量：
　　①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有（　　 ）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
　　【参考答案】速度、位移、力、功、加速度都是既有大小又有方向的量；质量、路程是只有大小没有
方向的量.故选B.
　　例2　给出下列5个命题，其中真命题的个数是（　　 ）
　　①零向量没有方向；②零向量只与零向量相等；③零向量与任何向量共线；④单位向量都相
等；⑤共线的单位向量必相等.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
　　【参考答案】零向量方向具有任意性，不是没有方向，①错误；②③正确；向量相等不仅大小要相
等，方向还要相同，所以④⑤错误.故选C.
对点检测1＞
　　下列关于平面向量的命题中，正确的命题是（　A　）
A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
D. 若两个向量相等，则它们的起点与终点相同
A
　　1.方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量（共线向量），这是判定两
个非零向量平行或共线的一个充要条件.
　　2. 零向量与任何一个向量平行（共线）.
好题解析＞
　　例3　下列不能使a∥b成立的是（　　 ）
A. a＝b
C. a与b方向相反
　　【参考答案】｜a｜＝｜b｜只能说明向量a与向量b的模（长度）相等，但是向量的方向不确定，
不能得出a∥b的结论.故选B.
　　例4　下列说法正确的是（　　 ）
A. 平行向量就是与向量所在直线平行的向量
B. 长度相等的向量叫做相等向量
C. 共线向量是指在一条直线上的向量
D. 向量0与任一向量共线
　　【参考答案】重合的两向量也是平行向量，A错误；相等的向量需要长度相等且方向相同，B错误；共
线向量就是平行向量，只要位置是平行的就行，C错误.故选D.
对点检测2＞
　　如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是
（　C　）
C
　　1.向量的加法运算
　　（1）定义：求两个向量的和的运算.
　　（2）向量加法的三角形法则：已知向量a，b，作 ＝a， ＝b，则
＝a＋b，如图所示：
　　简记口诀：加向量，首尾连；和向量，起点到终点.注意此法则可以推广到
多个向量相加.例如：
　　 ＋ ＋ ＋ ＝ .
　　（3）向量加法的平行四边形法则：设A点为平面内任意一点，作 ＝
a， ＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量 ＝a＋b，如
图所示：
　　简记口诀：起点相同，以这两个向量作为一组邻边作一个平行四边形，经过
公共起点且从公共起点指向另外一个端点.
　　注意：向量加法的平行四边形法则只适用于不共线向量的加法运算.
　　（4）向量加法的运算律：
　　①交换律：a＋b＝b＋a；　②结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
　　2.向量的减法运算
　　（1）定义：求向量a与b的相反向量－b的和的运算叫做向量a与b的差.
　　（2）向量减法的三角形法则：已知向量a，b，作 ＝a， ＝b，则
＝a－b，如图所示：
　　简记口诀：共起点，连终点，箭头指向被减向量.
好题解析＞
　　例5　下列等式成立的是（　　）
　　【参考答案】选项A， － ＋ ＝ ＋ ＝0，故A错误；选项B， ＋ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＋ ＝ ＋0＝ ，故B错误；选项C， － ＋2 ＝ ＋2 ＝3 ，故C错
误；选项D， － － ＝ － ＝ ，故D正确.故选D.
　　例6　设向量a＝ － ＋ － ，b是任意非零向量，则在下列结论中，正确的序
号为（　　 ）
　　①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④ ＜ ＋ ；⑤ ＝ ＋ .
A. ①② B. ①③ C. ①③⑤ D. ③④⑤
　　【参考答案】因为a＝ － ＋ － ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0，所以①③⑤正确.故选C.
对点检测3＞
　　（1）化简：① ＋ － － ；
解：① ＋ － － ＝（ ＋ ）－（ ＋ ）＝ － ＝0.
　　② ＋ ＋ ＋ ；
解：② ＋ ＋ ＋ ＝ ＋（ ＋ ＋ ）＝ ＋0＝ .
　　③ ＋ ＋ ＋ ；
解：③ ＋ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝ ＋0＝ .
　　④ － ＋ ＋ .
解：④ － ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝0.
　　（2）在 ABCD中，若 ＝ ，则必有（　D　）
【解析】因为在 ABCD中，显然 ≠0， ≠0，则 ≠0， ≠0，故A，B错误；因为 ＋
＝ ， － ＝ ，则 ＝ ，即 ABCD的对角线长相等，故 ABCD为矩形；但没有
确定 ， 是否相等，故无法确定是否为正方形，故C错误，D正确.
D
　　1.定义：实数λ与向量a的乘法运算，记作λa.
　　λa的模长和方向规定如下：
　　（1）模长： ＝ ，即λa的模长是a模长的 倍；
　　（2）方向：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
　　当λ＝0或a＝0时，λa＝0，其方向是任意的；
　　当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反.
　　2.对于任意向量a，b及任意实数λ，μ，向量的数乘运算满足如下运算律：
　　（1）（λμ）a＝λ（μa）＝μ（λa）；
　　（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
　　（3）λ（a＋b）＝λa＋λb.
　　3.向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算.
　　4. 平行或共线向量定理：
　　已知向量a，b是两个非零向量，a∥b 存在唯一一个实数λ，使得a＝λb
（λ≠0）.
　　5. 平面向量基本定理：
　　已知两个不共线的非零向量a，b，对于平面内任意向量c，都存在唯一一
个实数对（λ，μ），使得c＝λa＋μb.
好题解析＞
　　例7　化简3（a＋2b）－2（a＋b）的结果为（　　）
A. a＋4b B. a＋b C. 2a＋b D. a－b
　　【参考答案】3（a＋2b）－2（a＋b）＝a＋4b.故选A.
　　例8　在△ABC中，若点D满足 ＝2 ，则 ＝（　　 ）
　　【参考答案】由题意可得 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋
.故选D.
对点检测4＞
　　（1）化简：2 －3 ＝ .
【解析】2（a＋3b－2c）－3 ＝2a＋6b－4c－2a－9b－12c＝－3b－16c.
　　（2）如图所示， ＝a， ＝b，M为AB的中点，则 为（　B　）
－3b－16c
B
【解析】已知 ＝a， ＝b，M为AB的中点，所以 ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝ a－b.
好题解析＞
　　例9　设a，b是不共线向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则k＝（　　 ）
A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
　　【参考答案】因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b），即（8－
λk）a＋（k－2λ）b＝0，因为a，b是不共线向量，所以 解得 或 故
选B.
　　例10　若A，B，C三点共线，O是直线外一点，且 ＝x ＋y ，则x＋y＝
（　　 ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. ±1
　　【参考答案】因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ使得 ＝λ ，即 － ＝λ（ －
），所以 ＝（1＋λ） －λ ，则x＋y＝1.故选C.
对点检测5＞
　　已知向量 ＝a＋5b， ＝－2a＋8b， ＝3 ，则（　D　）
A. A，C，D三点共线 B. B，C，D三点共线
C. A，B，C三点共线 D. A，B，D三点共线
【解析】因为 ＝ ＋ ＝－2a＋8b＋3 ＝a＋5b＝ ，所以A，B，D三点共线.
D
　　共线向量定理的三个应用：
　　（1）证明向量共线：对于向量a与b，若存在唯一实数λ，使得a＝λb
（b≠0），则a与b共线.
　　（2）证明三点共线：若存在唯一实数λ，使得 ＝λ ，则A，B，C三
点共线.
　　（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组），求
参数的值，即待定系数法.
4
【考题精选集萃】
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基础考题＞
一、单项选择题
1. 下列说法正确的是（　C　）
B. 两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量
C. 零向量与单位向量是平行向量
C
2. 有下列三个命题：（　B　）
①互为相反向量的两个向量的模相等；
②若向量 与 是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；
③若 ＝ ，则a＝b或a＝－b.
其中正确结论的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
3. （a＋b）－ （a－b）＝（　D　）
C. a D. b
4. 如图所示，在 ABCD中，下列结论错误的是（　C　）
D
C
5. 如图所示，在 ABCD中，O是AC和BD的交点，则 － ＋ ＝（　B　）
6. 在 ABCD中，已知向量 ＝a， ＝b，则用a，b表示向量 ＋ ＝（　A　）
A. 2a B. 2b
C. 0 D. a＋b
B
A
7. 给出下列四个说法：①若 ＝0，则a＝0；②若a∥b，则 ＝ ；③若a∥b，
b∥c，则a∥c.其中错误的说法是（　D　）
A. ① B. ①②
C. ①③ D. ①②③
D
8. 如图所示，已知在△ABC中，D是边AB的中点，则向量 ＝（　B　）
B
二、填空题
9. 计算： ＋ － ＝ .
10. 设a，b是两个不共线的向量，若向量ka＋b与8a＋kb的方向相反，则实数k＝ .
11. 已知向量 ＝2， ＝8，则 的最大值是 ，最小值是 .
12. 已知M，N是线段AB的三等分点（且M是离A点较近的一个三等分点），对于平面上任意
一点O，用向量 ， 来表示向量 ， ，则 ＝ 　 ＋ 　， ＝ 　 ＋
.

－2
10
6
＋
＋
三、解答题
13. 已知向量a＝ c，b＝ c＋a，求证：a∥b.
证明：∵a＝ c，∴c＝2a，
又∵b＝ c＋a，∴b＝ a，∴a∥b.
14. 如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，O为其中心，分别写出：
（1）向量 的起点、终点和模；
解：（1）向量 的起点为O点、终点为A点，模为2.
（2）与向量 共线的向量；
解：（2）与向量 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， .
（3）与向量 相等的向量.
解：（3）与向量 相等的向量有 ， ， .
15. 已知实数m，n∈R，向量a与b不共线，（m＋n－1）a＋（m－n）b＝0.求实数m，
n的值.
解：由题意得 解得
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知a，b是两个不共线的平面向量，向量 ＝λa＋b， ＝a－μb ，若
∥ ，则有（　C　）
A. λ＋μ＝2 B. λ－μ＝1 C. λμ＝－1 D. λμ＝1
【解析】因为 ∥ ，所以设 ＝k ，因为 ＝λa＋b， ＝a－μb ，所以λa＋b
＝k（a－μb），可得 所以λμ＝－1.
C
2. 如图所示，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则下列说法错误的是（　C　）
【解析】因为 与 是相反向量，所以 ≠ ，所以C不正确.
C
3. 已知点C在线段AB上，且向量 ＝ ，则 ＝（　D　）
【解析】∵点C在线段AB上，且 ＝ ，∴ ＝ （ － ）＝ － ，即 ＝－
，∴ ＝－ .
4. 在△ABC中，设D为边BC的中点，则3 ＋2 ＋ ＝（　B　）
【解析】3 ＋2 ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝2 .
D
B
5. 如图所示，在 ABCD中，E是边BC的中点，若向量 ＝a， ＝b，则 ＝
（　D　）
6. 在四边形ABCD中，若向量 ＝ ＋ ，则一定有（　D　）
A. 四边形ABCD是矩形 B. 四边形ABCD是菱形
C. 四边形ABCD是正方形 D. 四边形ABCD是平行四边形
【解析】由 ＝ ＋ ，又 ＝ ＋ ，得 ＝ ，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形
ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形.
D
D
7. 设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别
为（　D　）
A. 0，0 B. 1，1
C. 3，0 D. 3，4
【解析】由题意可得 解得
D
8. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示
（　B　）
A. 向东北方向航行2 km B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
【解析】如图所示，易知tan α＝ ，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又
＝2（km），故选项B正确.
B
二、填空题
9. 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝ .
【解析】∵向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t（a＋2b）＝ta＋2tb，
∴ 解得实数λ＝ .

10. 已知正方形ABCD的边长为1，设 ＝a， ＝b， ＝c，则 ＝ .
【解析】如图所示，c＝a＋b，从而 ＝2 ＝2.
2
11. 设a，b是不共线的两个向量，已知 ＝2a＋kb， ＝－a＋4b，若A，B，D三点共
线，则实数k的值为 .
【解析】因为 ＝2a＋kb， ＝－a＋4b，由A，B，D三点共线，得 ＝λ （λ≠0），即2a
＋kb＝－λa＋4λb，所以 解得k＝－8.
－8
12. 设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且 ＝4， ＝ ，则
＝ .
【解析】以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法的几何意义可知， ＝ ＋ ，
＝ － .因为 ＝ ，所以 ＝ .又 ＝4，M是线段BC的中点，所以
＝ ＝ ＝2.
2
三、解答题
13. 计算：
（1）3a＋2（3a＋4b）－3（a－b）；
解：（1）3a＋2（3a＋4b）－3（a－b）
＝3a＋6a＋8b－3a＋3b
＝6a＋11b.
（2）4（a＋3b－c）－6（－a－b＋c）.
解：（2）4（a＋3b－c）－6（－a－b＋c）
＝4a＋12b－4c＋6a＋6b－6c
＝10a＋18b－10c.
14. 如图所示，M，N分别是四边形ABCD的边AD和BC的中点，G是MN的中点.求证：
（1） ＝ （ ＋ ）；
证明：（1）∵M，N分别是四边形ABCD的边AD和BC的中点，
∴ 与 ， 与 都是相反向量，
∴ ＝ ＋ ＋ ①，
＝ ＋ ＋ ②.
由①＋②可得 ＝ （ ＋ ）.
（2） ＋ ＋ ＋ ＝0.
证明：（2）∵M，N分别是四边形ABCD的边AD和BC的中点，
∴在△AGD中， ＋ ＝2 ，
在△BGC中， ＋ ＝2 .
又∵G是MN的中点，
∴ 与 是相反向量，
∴ ＋ ＋ ＋ ＝2 ＋2 ＝0.
15. 设e1，e2是两个不共线的非零向量.
（1）若向量a＝λe1＋4e2与b＝e1＋λe2共线，求实数λ的值；
解：（1）∵a，b共线，∴存在实数k，使得a＝kb.即λe1＋4e2＝k（e1＋λe2），
∴λe1＋4e2＝ke1＋kλe2，
∵e1，e2是不共线的非零向量，
∴
∴解得λ＝±2.
（2）若向量 ＝2e1＋ke2， ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，则当k为何值时，A，B，D三
点共线.
解：（2）∵ ＝e1＋3e2， ＝2e1－e2，
∴ ＝ － ＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2，
若A，B，D三点共线，则一定存在唯一实数λ，使 ＝λ .
即2e1＋ke2＝λ（e1－4e2），
∴（λ－2）e1＝（k＋4λ）e2，
∵e1，e2是不共线的非零向量，
∴λ－2＝k＋4λ＝0，
解得λ＝2，k＝－4λ＝－8.
∴当k＝－8时，A，B，D三点共线.

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