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BY YUSHEN
第六章　数列
第二讲　等比数列
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一般地，当一个数列{an}从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同
一个非零常数，那么这个数列就称为等比数列.这个常数就叫做这个等比数列的
公比，一般用字母q来表示.
　　2. 等比数列{an}的定义用递推关系式表示为：an＋1＝qan或者 ＝q
（n∈N*）.
好题解析＞
　　例1　下列条件中，能判定数列是等比数列的是（　　 ）
A. 数列1，2，6，18，… B. 在数列 中， ＝ ＝2
C. 常数列 D. 在数列 中， ＝q（q≠0，n∈N*）
　　【参考答案】选项A， ≠ ，不是等比数列；选项B，仅仅告知前三项的关系，无法判断是否为等比
数列；选项C，如果这个常数列的项为0，就不是等比数列.故选D.
　　例2　下列说法正确的是（　　 ）
A. 等比数列中的某一项可以为 0
B. 等比数列中公比的取值范围是（－∞，＋∞）
C. 若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1
D. 若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
　　【参考答案】根据等比数列的定义可知：数列中的任意一项均不为零，所以选项A错误；公比不能等
于0，所以选项B错误.选项D中，a，b，c可能为0，所以错误.故选C.
对点检测1＞
　　下列不一定是等比数列的是（　B　）
A. an＝ B. an＝a（a是常数）
C. an＝2n－2 D. an＝3n
【解析】对于A，由an＝ ≠0可知数列 是公比等于1的等比数列；对于B，由an＝a（a是常数）可
知，若a＝0，则数列 不是等比数列；对于C，由an＝2n－2得 ＝ ＝2，所以数列 是公比
等于2的等比数列；对于D，由an＝3n得 ＝ ＝3，所以数列 是公比等于3的等比数列.
B
　　等比数列的通项公式为an＝a1qn－1，或者表示为an＝amqn－m（n，
m∈N*，n＞m）.
好题解析＞
　　例3　在等比数列 中，若a1＝32，公比q＝－ ，则a6＝（　　 ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
　　【参考答案】由an＝a1qn－1知，a6＝32×5＝－1.故选B.
　　例4　在等比数列 中，若a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q＝（　　 ）
A. 2 B. 1或－2
C. 1 D. －1或2
　　【参考答案】由题意可得a3＋a4＝a2q＋a2q2＝4，即q2＋q－2＝0，解得q＝1或q＝－2.故选B.
对点检测2＞
　　（1）在等比数列{an}中，已知a4＝2，a7＝ ，则公比q＝（　A　）
A. B. － C. 2 D. －2
【解析】∵a4＝2，a7＝ ，∴ ＝q3＝ ，∴q＝ .
　　（2）在等比数列{an}中，若a3＝－9，a7＝－1，则a5＝（　C　）
A. 3或－3 B. 3 C. －3 D. 9
【解析】设等比数列的公比为q，q4＝ ＝ ，则q2＝ ，∴a5＝a3q2＝－9× ＝－3.
A
C
　　1.等比数列的公比q＝1时，前n项和Sn＝na1.
　　2. 等比数列的公比q≠1时，前n项和Sn＝ ＝ .
好题解析＞
　　例5　 在等比数列 中，a1＝5，q＝2，则该数列前5项和S5＝（　　 ）
A. 155 B. 165 C. 175 D. 185
　　【参考答案】由题意可得：S5＝ ＝ ＝155.故选A.
　　例6　记Sn为等比数列 的前n项和，若S3＝1，S6＝9，则该数列的公比q＝（　　 ）
A. 1 B. －1 C. －2 D. 2
　　【参考答案】若公比q＝1，则S6＝2S3，但9≠2×3，因此q＝1不成立，故假设错误；若公比
q≠1，S3＝ ＝1，所以S6＝ ＝ ＝（1＋q3）S3，则有1＋q3＝
9，解得q＝2.故选D.
对点检测3＞
　　在等比数列 中，a2＝4，a3＝2，则该数列的前4项和S4＝（　D　）
A. 7 B. 12 C. 13 D. 15
【解析】由题意得q＝ ＝ ，所以a1＝8，a4＝1，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝15.
D
　　1.等比中项：一般地，当三个数a，b，c成等比数列时，b称为a和c的等
比中项，且b2＝ac.
　　2. 在等比数列中，若项数满足m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则
对应的项满足am an＝ap aq.
　　3. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍
是等比数列，公比为qm.
　　4. Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
好题解析＞
　　例7　 在各项均为正数的等比数列 中，a7＝9，则log3a2＋log3a12＝（　　 ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
　　【参考答案】由等比数列性质可得a2a12＝ ＝81，所以log3a2＋log3a12＝log3（a2a12）＝log3 ＝
log381＝4.故选C.
　　例8　在等比数列 中，已知a4＋a6＝10，则a7（a1＋2a3）＋a3a9＝（　　 ）
A. 10 B. 20 C. 100 D. 200
　　【参考答案】a7（a1＋2a3）＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝ ＋2a4a6＋ ＝（a4＋a6）2＝100.故
选C.
对点检测4＞
　　在等比数列{an}中，若a1＝4，a3＝8，则a5＝ .
【解析】因为数列是等比数列，所以 ＝a1a5.又因为a1＝4，a3＝8，所以4a5＝64，解得a5＝16.
16
　　1.裂项相消法：数列的结构特点是每一项可分裂为两项.常见的方式有
　　 ＝ ； ＝ .
　　2. 分组求和法：数列的结构特点是若干个等差数列加上（或减去）若干个
等比数列，根据加法的结合律，可以把等差数列部分放在一起相加，等比数列部
分放在一起相加，再把最后的结果相加.
　　3. 错位相减法：数列的结构特点是一个等差数列乘以一个等比数列，利用
数列的结构建立未知量的“方程”，采取“错位相减”的方法求和.
好题解析＞
　　例9　 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（　　 ）
A. B. C. D.
　　【参考答案】 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ .故
选D.
　　例10　数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（　　 ）
A. 2100－101 B. 299－101 C. 2100－99 D. 299－99
　　【参考答案】由数列前n项和可知已知数列通项公式为：an＝ ＝2n－1，则S99＝（2－1）
＋（22－1）＋…＋（299－1）＝2＋22＋…＋299－99＝ －99＝2100－101.故选A.
　　例11　 ＋ ＋ ＋…＋ ＝（　　 ）
A. 5－ B. 5－
C. 5－ D. 5－
　　【参考答案】设题意可设：Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ①，等式两边同时乘上 ，可得： Sn＝
＋ ＋…＋ ＋ ②.由①－②，可得： Sn＝ ＋2 － ＝ － ，可
得Sn＝5－ .故选D.
对点检测5＞
　　（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＝ ，则S5＝（　B　）
A. 1 B. C. D.
【解析】an＝ ＝ － ，所以S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋
－ ＝ .
B
　　（2）已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋n，前n项和为Sn，则S6＝（　D　）
A. 282 B. 70 C. 45 D. 147
【解析】Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝（21＋22＋23＋…＋2n）＋（1＋2＋3＋…＋n）＝ ＋
＝2n＋1－2＋ ，所以S6＝27－2＋ ＝147.
D
　　（3）化简Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是（　D　）
A. 2n＋1＋n－2 B. 2n＋1－n＋2
C. 2n－n－2 D. 2n＋1－n－2
【解析】Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，2Sn＝n×2＋（n－1）×22＋
（n－2）×23＋…＋2×2n－1＋2n②，②－①得：Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－1＋2n＝－n＋ ＝
－n＋2n＋1－2＝2n＋1－n－2.
D
好题解析＞
　　例12　《庄子 天下篇》中有一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.意思就是：一根一尺
（尺，中国古代长度单位）长的木棒，第一天取它的一半，第二天取剩下的一半，第三天再取剩
下的一半，……，则前四天共取的长度是这根木棒的（　　 ）
A. B. C. D.
　　【参考答案】由题意可设：a1＝ ，q＝ ，n＝4.由等比数列前n项和公式得：S4＝ ＝ .
故选D.
　　例13　某植物的快速生长期约有10天，在此期间该植物每天结束时的高度都为前一天结束时
的高度的2倍.已知在快速生长期的第4天结束时，该植物的高度是20毫米，那么它在第7天结束时
的高度为 　　　　毫米.
　　【参考答案】该植物在快速生长期每天结束时的高度构成一个公比为2的等比数列{an}，所以根据题
意可得q＝2，a4＝20，故a7＝20×23＝160，即它在第7天结束时的高度为160毫米.
对点检测6＞
　　一座7层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯
的盏数是（　C　）
A. 190 B. 191 C. 192 D. 193
【解析】设最下面一层灯的盏数是a1，则公比q＝ ，n＝7，由 ＝381，解得a1＝192.
C
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 在等比数列 中，a1＝1，q＝2，an＝16，则n＝（　C　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 在等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S4＝2，S8＝8，则S12＝（　D　）
A. 20 B. 22 C. 24 D. 26
C
D
3. 在等比数列 中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4＝（　A　）
A. 8 B. －8 C. ±8 D. 以上都不对
4. 若数列{an}的通项公式为an＝ ，则S10＝（　B　）
A. B. C. D.
5. 已知在等比数列 中，a1＋a2＝2，a4＋a5＝16，则公比为（　C　）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 2
A
B
C
6. 已知正项等比数列 的前n项和为Sn，a1＝2，a2＋3a3＝4a4，则S5＝（　A　）
A. 10 B. 12 C. 16 D. 32
7. 已知在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝6，则a8＝（　B　）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
8. 等比数列1，2，4，8，…的前200项和为（　A　）
A. 2200－1 B. 1－2200 C. 2199－1 D. 1－2199
A
B
A
二、填空题
9. 在等比数列 中，a1＝1，a4＝8，Sn是 的前n项和，则S5＝ .
10. 如果三个数8，m，2成等比数列，那么m的值为 .
11. 在正项等比数列 中，若a1＝1，a2a4＝81，则数列 的前5项和S5＝ .
12. 一种细菌在培养过程中，每10 min分裂一次，经过1 h，这种细菌可以由一个分裂
成 个.
31
±4
121
64
三、解答题
13. 已知等比数列 的通项公式为an＝3×2n－3，求首项a1和公比q.
解：由题意可得首项为a1＝3×21－3＝ ，其公比为q＝ ＝ ＝2.
14. 在等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1＝1，an＝－243，Sn＝－182.求公比q与项数n
的值.
解：∵ ∴
解得
15. 已知等差数列{an}的公差d不为0，其中a3＝7，a1，a2，a6成等比数列，求数列{an}的通项
公式.
解：因为a1，a2，a6成等比数列，
所以 ＝a1a6，即2＝（7－2d）（7＋3d），
整理得72－14d＋d2＝72＋7d－6d2，
7d2－21d＝0，7d ＝0，d≠0，
所以d＝3，a1＝a3－2d＝7－6＝1，
所以an＝a1＋ d＝1＋3 ＝3n－2.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知公差不为零的等差数列 的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S8＝16，则S10
＝（　C　）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 60
【解析】∵a4是a3与a7的等比中项，∴（a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋6d），化简为2a1＋3d＝0①.∵S8
＝16，∴8a1＋ ×d＝16②，联立方程①②解得a1＝－ ，d＝1，则S10＝10× ＋ ×1＝30.
C
2. 在等比数列 中，若a1＋a2＝ ，a1－a3＝ ，则a4＝（　A　）
A. － B. C. －4 D. 4
【解析】由题意可得 解得 ∴a4＝a1q3＝1×3＝－ .
A
3. 在各项均不相等的等比数列 中，若3a2，2a3，a4成等差数列，设Sn为数列 的前n项
和，则 ＝（　A　）
A. B. C. 3 D. 1
【解析】设等比数列 的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，∴2×2a3＝3a2＋a4，∴4a2q＝3a2＋
a2q2，∵a2≠0，∴q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3，又∵各项均不相等，∴q＝3，∴ ＝ ＝ .
A
4. 若2，x，y，z，18这五个数成等比数列，则y的值为（　B　）
A. 2 B. 6 C. 2 或－2 D. －6或6
【解析】若2，x，y，z，18成等比数列，则 ＝q4＝9，∴q2＝3.又 ＝q2＝3，∴y＝6.
5. 在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝ ，则S5＝（　C　）
A. 15 B. 16 C. D.
【解析】∵在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝ ，∴q3＝ ，∴q＝ ，a1＝8，∴S5＝ ＝ .
B
C
6. 已知等比数列8，－4，2，－1，…，则第10项a10＝（　D　）
A. B. － C. D. －
【解析】由题意可知首项a1＝8，公比q＝ ＝－ ，所以a10＝a1q9＝8×9＝－ .
7. 已知等比数列{an}的前5项和S5＝5，前10项和S10＝15，则S15＝（　C　）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 50
【解析】∵数列{an}为等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，∴S5（S15－S10）＝（S10－S5）2，
∵S5＝5，S10＝15，∴5（S15－15）＝100，∴S15＝35.
D
C
8. 在等比数列{an}中，an＞0，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝（　C　）
A. 8 B. 2＋log35 C. 10 D. 15
【解析】由等比数列的性质可知a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋
log3a10＝log3（a1a2…a10）＝log3（9×9×9×9×9）＝log3310＝10.
C
二、填空题
9. 在等比数列{an}中，a1＝2，a5＝8，则a9＝ .
【解析】等比数列{an}中，a1＝2，a5＝8，则a9＝ ＝ ＝32.
10. 已知数列{an}满足an＋1＝－2an，Sn为其前n项和，若a4＝8，则S4＝ .
【解析】由an＋1＝－2an可得数列{an}是以－2为公比的等比数列，因为a4＝a1q3＝－8a1＝8，则a1＝－
1，所以S4＝－1＋2－4＋8＝5.
32
5
11. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝6，a4＋a5＝48，则数列{an}的前10项和S10＝ .
【解析】∵ ∴
解得 所以S10＝ ＝ ＝2 046.
12. 在等比数列{an}中，若a4a6＋2a5a7＋a6a8＝49，则a5＋a7＝ .
【解析】由等比数列的性质可得a4a6＝ ，a6a8＝ ，∴a4a6＋2a5a7＋a6a8＝（a5＋a7）2＝49，∴a5＋
a7＝±7.
2 046
±7
三、解答题
13. 已知在等比数列{an}中，a2＝4，a5＝32.
（1）求首项a1和公比q；
解：（1）设等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1，
则a2＝4＝a1q，a5＝32＝a1q4，∴q3＝8，∴q＝2，∴a1＝2.
（2）判断256是否为该数列的项，若是，求出是第几项.
解：（2）∵an＝256，∴2×2n－1＝2n＝256＝28，
∴n＝8，∴256是该数列的项，是第8项.
14. 设在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3.
（1）求证：{an＋3}是等比数列；
解：（1）证明：由an＋1＝2an＋3，得an＋1＋3＝2（an＋3），
∵a1＋3＝1＋3＝4≠0，
∴ ＝2，
∴数列 是以4为首项，以2为公比的等比数列.
（2）求{an}的通项公式.
解：（2）由（1）知an＋3＝4×2n－1＝2n＋1，
∴an＝2n＋1－3.
15. 在等比数列{an}中，a1＋a2＝5a2＝ .
（1）求{an}的通项公式；
解：（1）由题可知a1＝1，a2＝ ，则 的公比q＝ ＝ ，所以an＝ .
（2）求数列 的前n项和Sn.
解：（2）由（1）知： an＋2n－1＝ ＋2n－1，所以Sn＝3× ＋2×（1＋2＋…＋
n）－n＝3× ＋2× －n＝1－ ＋n2.
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）设{an}是公比为q的等比数列.若a5＝27a2，则q＝
（　B　）
A. 2 B. 3 C. D.
【解析】由题意得a5＝a2q3＝27a2，解得q＝3.
2. （2025 安徽文化素质分类考试）设{an}是公差为－2的等差数列.若a4＝1，则该数列的前5项
和为（　C　）
A. －12 B. －5 C. 15 D. 17
【解析】由题意得a1＝a4－3d＝1－3× ＝7，所以数列的前5项和S5＝5a1＋ ×d＝5×7＋
× ＝15.
B
C
3. （2024 安徽文化素质分类考试）在等比数列 中，a2＝3，公比q＝3.若此数列的前n和
Sn＝40，则n＝（　B　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】由a2＝3，公比q＝3得a1＝ ＝1.所以Sn＝ ＝ ＝40，解得n＝4.
4. （2024 安徽文化素质分类考试）若数列 的前n项和Sn＝n2＋n，则a2＝（　C　）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】a2＝S2－S1＝（22＋2）－（12＋1）＝4.
B
C
5. （2023 安徽文化素质分类考试）在等差数列 中，a2＝3，a5＝6，则a8＝（　D　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】由等差数列性质可知2a5＝a2＋a8，解得a8＝9.
6. （2023 安徽文化素质分类考试）在等比数列 中，若首项a1＝32，公比q＝－ ，则
的前6项和为（　B　）
A. 22 B. 21 C. 20 D. 19
【解析】由等比数列前n项和公式得S6＝ ＝21.
D
B
7. （2022 安徽文化素质分类考试）在等比数列 中，若a1＋a2＝a3－a1＝3，则a4＝
（　B　）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【解析】由a1＋a2＝a3－a1得：a1＋a1q＝a1q2－a1，整理得q2－q－2＝0，解得q＝－1或q＝2.当q＝
－1时，a1＋a2＝0不符合题意，舍去；当q＝2时，a1＋a2＝3a1＝3，解得a1＝1，则a4＝a1q3＝8.
B
8. （2022 安徽文化素质分类考试）设等差数列 的前n项和为Sn，若S2＝9，S4＝30，则a3
＝（　B　）
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【解析】由题意可得 解得a1＝d＝3，则a3＝a1＋2d＝9.
9. （2021 安徽文化素质分类考试）已知等差数列 的前5项和S5＝5，且a2＝－2，则a4＝
（　B　）
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【解析】由S5＝5a3＝5，可得a3＝1.又a4－a3＝a3－a2＝d，得a4＝4.
B
B
10. （2021 安徽文化素质分类考试）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数
学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成
十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个的频率的比都
等于 ，若记第n个单音的频率为fn，则 ＝（　D　）
A. B. C. D.
【解析】由题意可知： 是一个以q＝ 为公比的等比数列，所以 ＝q6＝ .
D

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