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BY YUSHEN
第七章　平面向量
第二讲　平面向量的数量积和坐标运算
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.平面向量的坐标表示
　　对于任一个平面向量a，都存在着一对有序实数（x，y），使得a＝xi＋
yj（其中i，j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量），则向量a的坐标表示为
a＝（x，y）.
　　2. 用起点、终点坐标表示向量的坐标
　　若M（x1，y1），N（x2，y2），则 ＝（x2－x1，y2－y1）.
　　注意：若起点为坐标原点，终点坐标即为向量的坐标.
　　3.相等向量：相等向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量，即
　　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b
　　4. 若向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋
y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）.　
　　5. 线段中点坐标公式
　　设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M的坐标为（x，y），则
x＝ ，y＝ .
好题解析＞
　　例1　已知向量a＝（1，－2），b＝（－3，4），则2a＋b＝（　　）
A. （－1，0） B. （1，0）
C. （－1，－8） D. （1，－8）
　　【参考答案】向量a＝（1，－2），b＝（－3，4），则2a＋b＝（2－3，－4＋4）＝（－1，0）.故
选A.
　　例2　已知A，B，C三点共线，点A，B的坐标分别为（3，5），（1，－3），若 ＝
2 ，则点C的坐标为（　　 ）
A. （2，－1） B. （－2，－1）
C. （－2，1） D. （2，1）
　　【参考答案】由题意设点C的坐标为（x，y），所以 ＝（1，－3）－（3，5）＝（－2，－
8）， ＝（x，y）－（3，5）＝（x－3，y－5）.由 ＝2 可得 解得
则点C的坐标为（2，1）.故选D.
对点检测1＞
　　（1）已知向量 ＝（2，－6）， ＝（－7，5），则 ＝（　D　）
A. （－9，11） B. （9，－11）
C. （5，1） D. （－5，－1）
【解析】向量 ＝（2，－6）， ＝（－7，5），则 ＝（2，－6）＋（－7，5）＝（－5，－1）.
D
　　（2）已知向量a＝（3，4），b＝（2，－5），c＝（3，1），若 ＝a＋b＋c，且A
（1，1），则向量 的终点坐标为（　A　）
A. （9，1） B. （1，9）
C. （9，0） D. （0，9）
【解析】 ＝a＋b＋c＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0），设终点B的坐标为（x，
y），则（x－1，y－1）＝（8，0），所以 解得
A
　　共线向量的充要条件：a∥b 存在唯一一个实数λ，使得a＝λb（b≠0）
x1y2－x2y1＝0.
好题解析＞
　　例3　 已知向量a＝（x，2），b＝（4，x），若a∥b，则x＝（　　 ）
A. ± B. C. ±2 D. 2
　　【参考答案】因为a∥b，所以x2－2×4＝0，解得x＝±2 .故选C.
　　例4　已知向量a＝（1，1），b＝（2，－1），若（λa＋b）∥（a－2b），则实数λ＝
（　　）
A. B. － C. 2 D. －2
　　【参考答案】由向量a＝（1，1），b＝（2，－1），则λa＋b＝（2＋λ，λ－1），a－2b＝（－
3，3），又（λa＋b）∥（a－2b），则3（2＋λ）＝－3（λ－1），得λ＝－ .故选B.
对点检测2＞
　　已知向量a＝（m，2），b＝（4，－8），若a＝λb，则实数m的值是（　B　）
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
【解析】因为a＝λb，所以a∥b，所以m×（－8）－2×4＝0，解得m＝－1.
B
　　1.向量的夹角
　　①定义：已知两个非零向量a与b，如图所示，作 ＝a， ＝b，则射
线OA，OB所成的最小正角∠AOB＝θ（0°≤θ≤180°）叫做a与b的夹角，
记作〈a，b〉.
　　②当θ＝0°时，a与b共线且同向；当θ＝180°时，a与b共线且反向；当θ
＝90°时，a与b互相垂直.
　　2.向量的内积（又称数量积）
　　定义：两个向量a，b的模与它们夹角的余弦值之积为叫做a与b的内积
（或数量积），记作a b，即a b＝ cos 〈a，b〉.
　　由定义可知零向量与任一向量的内积为0，即0 a＝0.
　　3. 内积的几何意义
　　内积a b等于a的长度 与b在a方向上的射影 cos 〈a，b〉的乘积，
或b的长度 与a在b方向上的射影 cos 〈a，b〉的乘积.
好题解析＞
　　例5　已知｜a｜＝2，｜b｜＝6，且〈a，b〉＝120°，则｜a＋b｜＝（　　）
A. 8 B. 2 C. 64 D. 25
　　【参考答案】∵｜a｜＝2，｜b｜＝6，且〈a，b〉＝120°，∴｜a＋b｜＝
＝2 .故选B.
　　例6　已知a，b均是单位向量，｜a＋b｜＝2，则a b＝（　　）
A. －1 B. 0 C. D. 1
　　【参考答案】已知a，b均是单位向量，则｜a｜＝｜b｜＝1，又｜a＋b｜＝2，则a2＋2a b＋b2
＝4，则2a b＝4－1－1＝2，即a b＝1.故选D.
对点检测3＞
　　若｜a｜＝3，｜b｜＝4，向量a，b的夹角为135°，则a b＝（　B　）
A. －3 B. －6 C. 6 D. 2
【解析】a b＝ cos 135°＝3×4× ＝－6 .
B
　　设向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为向量a，b的夹角.
　　1. 内积：a b＝ cos 〈a，b〉＝x1x2＋y1y2.
　　2. 模：｜a｜＝ ＝ .
　　3. 夹角： cos θ＝ ＝ .
　　4.两非零向量垂直的充要条件：a⊥b a b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
　　5. 运算律
　　（1）交换律：a b＝b a.
　　（2）结合律：（λa） b＝λ（a b）＝a （λb）.
　　（3）分配律：（a＋b） c＝a c＋b c.
好题解析＞
　　例7　已知向量a＝（2，1），b＝（－1，3），则（a＋3b） （a－b）＝（　　）
A. －24 B. －23 C. －22 D. －21
　　【参考答案】依题意，a＋3b＝（2，1）＋（－3，9）＝（－1，10），a－b＝（3，－2），则
（a＋3b） （a－b）＝（－1，10） （3，－2）＝－23.故选B.
　　例8　已知向量a，b满足｜a｜＝2｜b｜＝4，｜a＋b｜＝2 ，则向量a，b的夹角为
（　　）
A. B. C. D.
　　【参考答案】因为｜a｜＝2｜b｜＝4，｜a＋b｜＝2 ，设向量a，b的夹角为θ，所以｜a｜＝
4，｜b｜＝2，所以 ＝2 ，所以16＋2a b＋4＝12，所以a b＝－4，所以 cos θ＝
＝ ＝－ ，因为0≤θ≤π，所以θ＝ .故选D.
对点检测4＞
　　（1）已知平面向量a＝（1，x），b＝（x＋2，－x），若a⊥b，则 ＝
（　A　）
A. 2或5 B. 2或2
C. 2或 D. 或10
【解析】因为a⊥b，所以a b＝0，即x＋2－x2＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，a＝（1，－
1），b＝（1，1），a－b＝（0，－2），故｜a－b｜＝2；当x＝2时，a＝（1，2），b＝（4，－
2），a－b＝（－3，4），故｜a－b｜＝5.
A
　　（2）已知平面向量a＝（1， ），b＝（－ ，x），且a与b的夹角为60°，则x＝
（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 cos 60°＝ ＝ ＝ ＝ ，解得x＝3.
　　（3）已知平面向量a＝（－ ，－1），b＝（－2 ，4），则a b＝（　A　）
A. 2 B. 10
C. －2 D. 2
【解析】a b＝（－ ）×（－2 ）＋（－1）×4＝2.
C
A
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 若向量 ＝ ， ＝ ，则 ＝（　C　）
A. B.
C. D.
2. 若A（1，2），B（－6，x），C（－1，4）三点共线，则x＝（　B　）
A. －2 B. 9 C. 2 D. －9
3. 已知向量a＝（3，－1），b＝（1，－2），则a与b的夹角为（　B　）
A. B. C. D.
C
B
B
4. 已知平面向量a＝（－1，2），b＝（2，x），且a b＝0，则 ＝（　B　）
A. 2 B. C. 20 D. 5
5. 已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m＝（　D　）
A. －8 B. －6 C. 6 D. 8
6. 与向量a＝（12，5）平行的单位向量为（　C　）
A. B.
C. 或 D.
B
D
C
7. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a b＝ ，则向量a与b的夹角为（　B　）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知点M（1，－2），N（4，1），P（m，2），且 ∥ ，则
m＝（　B　）
A. －5 B. 5
C. － D.
B
B
二、填空题
9. 在△ABC中，若 ＜0，则△ABC为 三角形.
10. 已知向量a＝（1， ），b＝（－1，0），则｜a＋3b｜＝ 　 　.
【解析】∵向量a＝（1， ），b＝（－1，0），∴a＋3b＝（1， ）＋3（－1，0）＝（－2，
），∴｜a＋3b｜＝ ＝ .


11. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，向量a与b的夹角为 ，则｜a＋b｜＝ 　 　.
12. 设a＝（1，2），b＝（－2，m），若a⊥b，则2a－b＝ .

（4，3）
三、解答题
13. 已知向量a＝（3，－1），b＝（1，－2），求：
（1）a b；
解：（1）a b＝3×1＋ × ＝5.
（2）（a＋b）2；
解：（2）因为a＋b＝（4，－3），所以（a＋b）2＝42＋2＝25.
（3）（a＋b） （a－b）.
解：（3）由已知可得a－b＝（2，1），则（a＋b） （a－b）＝4×2＋ ×1＝5.
14. 已知向量a＝（1，1），b＝（－1，1），c＝（6，2），且c＝ma＋nb，m，n∈R. 求
实数m，n的值.
解：因为a＝（1，1），b＝（－1，1），c＝（6，2），
所以ma＋nb＝m（1，1）＋n（－1，1）＝（m－n，m＋n）.
又因为c＝ma＋nb，
所以 解得
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形， ＝ ， ＝
.求：
（1） 的值；
解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ＋ ＝ ，则 ＝2×3＋
1× ＝5.
（2） 的模长.
解：（2）因为 ＝ － ＝（－1，－3），所以 ＝ ＝ ，即 的
模长为 .
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知向量a＝（x，1），b＝（1，－2），若a⊥b，则｜a＋b｜＝（　B　）
A. B. C. 2 D. 10
【解析】因为a⊥b，所以a b＝x－2＝0，x＝2，所以a＋b＝（3，－1），｜a＋b｜＝
＝ .
2. 设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a b的值为
（　D　）
A. － B. － C. D.
B
D
3. 已知向量a，b，c均为任意向量，m为任意实数，则下列等式不一定成立的是（　D　）
A. （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） B. （a＋b） c＝a c＋b c
C. m（a＋b）＝ma＋mb D. （a b） c＝a （b c）
【解析】对于A，由向量加法结合律知，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）成立；对于B，由数量积的分配
律知，（a＋b） c＝a c＋b c成立；对于C，由数乘向量的分配律知，m（a＋b）＝ma＋mb成
立；对于D，（a b） c表示一个与c共线的向量，a （b c）表示一个与a共线的向量，而a，c是任
意的，因此（a b） c与a （b c）不一定相等，D错误.
D
4. 若平面向量a，b的夹角为60°，且 ＝2 ，则（　B　）
A. a⊥（b＋a） B. b⊥（b－a）
C. b⊥（b＋a） D. a⊥（b－a）
【解析】a b＝ cos 〈a，b〉＝22 cos 60°＝2，a （b＋a）＝a b＋a2＝52≠0，故A
不正确；b （b－a）＝b2－b a＝0，所以b⊥（b－a），故B正确；b （b＋a）＝b2＋b a＝
22≠0，故C不正确；a （b－a）＝a b－a2＝－32≠0，故D不正确.
B
5. 已知向量a，b满足a＋b＝（2，－4），3a－b＝（－10，16），则a b＝（　C　）
A. －13 B. 13 C. －29 D. 29
【解析】依题意a＋b＝（2，－4），3a－b＝（－10，16），得a＝（－2，3），b＝（4，－7），所
以a b＝－8－21＝－29.
6. 设非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜，则（　A　）
A. a⊥b B. ｜a｜＝｜b｜
C. a∥b D. ｜a｜＞｜b｜
【解析】∵非零向量a，b满足｜a＋b｜＝｜a－b｜，∴（a＋b）2＝（a－b）2，即a2＋b2＋2a b
＝a2＋b2－2a b，整理得4a b＝0，解得a b＝0，∴a⊥b.
C
A
7. 在边长为4的正△ABC中， ＝（　D　）
A. 16 B. －16 C. 8 D. －8
【解析】∵在△ABC中， ， 的夹角为 ，且｜ ｜＝｜ ｜＝4，∴ ＝4×4× cos ＝－8.
8. 已知向量a，b的模｜a｜＝1，｜b｜＝2，若（4a－b）⊥b，则a与b的夹角为
（　D　）
A. 0 B. C. D.
【解析】因为（4a－b）⊥b，所以4a b－b2＝0，所以a b＝1.设a与b的夹角为θ，所以 cos θ＝
＝ ＝ ，因为0≤θ≤π，所以θ＝ .
D
D
二、填空题
9. 已知向量｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a∥b，则a b＝ .
【解析】因为a∥b，所以〈a，b〉＝0或π，所以a b＝ cos θ＝3×5×（±1）＝±15.
10. 已知向量｜a｜＝6，b＝（3，－4），a b＝15 ，则〈a，b〉＝ 　 　.
【解析】因为b＝（3，－4），所以 ＝5.又因为 ＝6，a b＝15 ，所以 cos 〈a，b〉＝ ＝
＝ ，即〈a，b〉＝ .
±15

11. 已知单位向量a，b满足a b＝0，若向量c＝a＋ b，则〈a，c〉＝ 　 　.
【解析】因为a，b是单位向量且满足a b＝0，所以 ＝ ＝1，又因为c＝a＋ b，所以c a＝
a2＋ b a＝1＋0＝1， ＝ ＝2，而 ＝1，所以 cos 〈a，c〉＝ ＝ ＝ ，
〈a，c〉＝ .
12. 已知向量a＝（m，2），b＝（－3，4），且a，b的夹角为锐角，则m的取值范围
为 .
【解析】∵向量a＝（m，2），b＝（－3，4），a与b的夹角为锐角，∴a b＞0，且a，b不共线，
∴m×（－3）＋2×4＞0且 ≠ ，解得m＜ 且m≠－ .


三、解答题
13. 已知向量a，b的夹角为45°，且 ＝1， ＝ ，求 .
解：因为 ＝ ，则2＝4a2－4a b＋b2＝10，可得4×1－4×1× × ＋2＝10，
整理得2－2 －6＝0，解得 ＝3 或｜b｜＝－ （舍），所以 ＝3 .
14. 已知向量a＝（－3，1），b＝（1，－2），c＝（1，1）.
（1）求向量a与b夹角的大小；
解：（1）由题可知a b＝－5，｜a｜＝ ，｜b｜＝ .
所以 cos 〈a b〉＝ ＝－ .
所以向量a与b的夹角为 .
（2）若c∥（a＋kb），求实数k的值.
解：（2）易得a＋kb＝（－3＋k，1－2k）.
因为c＝（1，1），且c∥（a＋kb），
故－3＋k＝1－2k，解得k＝ .
15. 已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝6，a （b－a）＝2.求：
（1）向量a与b的夹角；
解：（1）设向量a与b的夹角为θ，
因为｜a｜＝1，｜b｜＝6，
所以a （b－a）＝a b－a2＝a b－｜a｜2＝a b－1＝2，得到a b＝3，
故a b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝6 cos θ＝3，得到 cos θ＝ .
又θ∈［0，π］，得到θ＝ ，
所以向量a与b的夹角为 .
（2）｜2a－b｜.
解：（2）因为｜2a－b｜2＝4｜a｜2－4a b＋｜b｜2＝4×12－4×3＋62＝4－12＋36＝28，
所以｜2a－b｜＝ ＝2 .
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）已知向量a＝（1，2），b＝（－1，m）.若b＝－a，则
m＝（　D　）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
【解析】因为b＝－a，所以m＝－2.
D
2. （2025 安徽文化素质分类考试）如图，在平行四边形ABCD中， ＝2 ，则 ＝
（　A　）
A. ＋ B. ＋
C. － D. －
【解析】 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ .
3. （2024 安徽文化素质分类考试）已知向量a＝（1，m），b＝（2，4）.若a⊥b，则m＝
（　D　）
A. 2 B. －2 C. D. －
【解析】由a⊥b得：1×2＋m×4＝0，解得m＝－ .
A
D
4. （2024 安徽文化素质分类考试）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，则 ＝
（　D　）
A. － B. － ＋
C. － － D. ＋
【解析】由向量三角形加法法则，可知 ＝ ＋ ；又因为D是BC边的中点，所以 ＝ ，所
以 ＝ ＋ .
D
5. （2023 安徽文化素质分类考试）已知向量a＝（1，2），b＝（－2，m）.若a∥b，则a
＋b＝（　A　）
A. （－1，－2） B. （－1，2）
C. （－3，6） D. （3，－6）
【解析】由a∥b得 ＝ ，解得m＝－4，则a＋b＝（－1，－2）.
A
6. （2023 安徽文化素质分类考试）已知 ＝1， ＝2，a （a＋b）＝0，则向量a与b的
夹角为（　C　）
A. B. C. D.
【解析】由a （a＋b）＝0得a a＋a b＝2＋ cos 〈a，b〉＝0，所以1＋2 cos 〈a，b〉＝
0，解得 cos 〈a，b〉＝－ ，所以〈a，b〉＝ .
7. （2022 安徽文化素质分类考试）在四边形ABCD中， － ＋ ＝（　A　）
A. B. C. D.
【解析】 － ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
C
A
8. （2022 安徽文化素质分类考试）若向量a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，则
＝（　C　）
A. B. C. D. 2
【解析】因为22＝（a＋2b） （a＋2b）＝a 2a＋4a b＋4b b＝ 2＋4 cos 60°＋
42＝1＋4×1×1× ＋4＝7，所以 ＝ .
9. （2021 安徽文化素质分类考试）已知向量a＝（3，－2），b＝（1，2），则a b＝
（　A　）
A. －1 B. 1 C. 4 D. －4
【解析】a b＝3×1＋（－2）×2＝－1.
C
A
10. （2021 安徽文化素质分类考试）在△ABC中，若 ＝ ，则 ＝（　C　）
A. ＋ B. －
C. ＋ D. －
【解析】因为 ＝ ，所以D是BC的三等分点，所以 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ － ）＝ ＋ .
C

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