资源简介

(共48张PPT)
BY YUSHEN
第八章　平面解析几何
第一讲　直线
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在6道，其中1题是压轴题难度较大.需要掌握两点间的距离公式和中点坐标公式；掌握直线经过已知两点或已知倾斜角的直线斜率的计算；根据已知条件求直线方程；掌握两条直线的位置关系及点到直线的距离公式；掌握圆的标准方程和一般方程；掌握直线与圆的位置关系；掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和简单的几何性质.本章易忽略点为直线斜率不存在的情况，难点为椭圆、双曲线、抛物线性质的运用. 2023年 2024年 2025年
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在6道，其中1题是压轴题难度较大.需要掌握两点间的距离公式和中点坐标公式；掌握直线经过已知两点或已知倾斜角的直线斜率的计算；根据已知条件求直线方程；掌握两条直线的位置关系及点到直线的距离公式；掌握圆的标准方程和一般方程；掌握直线与圆的位置关系；掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和简单的几何性质.本章易忽略点为直线斜率不存在的情况，难点为椭圆、双曲线、抛物线性质的运用. 第5题 第7题 第9题 第24题 第26题 第29题 第6题 第10题 第12题 第14题 第26题 第30题 第11题
第13题
第15题
第21题
第30题
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在6道，其中1题是压轴题难度较大.需要掌握两点间的距离公式和中点坐标公式；掌握直线经过已知两点或已知倾斜角的直线斜率的计算；根据已知条件求直线方程；掌握两条直线的位置关系及点到直线的距离公式；掌握圆的标准方程和一般方程；掌握直线与圆的位置关系；掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和简单的几何性质.本章易忽略点为直线斜率不存在的情况，难点为椭圆、双曲线、抛物线性质的运用. 分值 24分 24分 20分
3
【考点知识梳理】
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　　若线段AB的两个端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），线段的中
点坐标为M（x0，y0），则x0＝ ，y0＝ .
好题解析＞
　　例1　已知点A（2，3）和点B（5，7），则线段AB的中点坐标是（　　）
A. （3.5，5） B. （3，4）
C. （7，10） D. （1.5，2）
　　【参考答案】已知点A（2，3）和点B（5，7），则线段AB的中点坐标为 ＝（3.5，
5）.故选A.
　　例2　点A（1，2）关于点C（2，－3）的对称点的坐标为（　　 ）
A. （0，0） B. （3，－8）
C. （－3，－8） D. （－6，8）
　　【参考答案】设点A关于点C的对称点为B，则C为A，B的中点.设点B坐标为（x，y），则有2
＝ ，－3＝ ，解得x＝3，y＝－8.故选B.
对点检测1＞
　　已知A（1，2），B（3，n）的中点P（2，3），则n的值为（　A　）
A. 4 B. 1 C. 5 D. －4
【解析】因为A（1，2），B（3，n）的中点P（2，3），所以2＋n＝6，所以n＝4.
A
　　1.直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，直线l向上的方向与x轴正方向所
成的最小正角α，叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定直线的
倾斜角α＝0°.
　　2. 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
　　3. 直线的斜率：当直线l的倾斜角α≠90°时，倾斜角α的正切值叫做直线的
斜率，用小写字母k表示，即k＝tan α.
　　4. 若P1（x1，y1），P2（x2，y2）为直线上任意两点，当x1≠x2时，直线
的斜率为k＝ .
好题解析＞
　　例3　若直线过两点（－1，1），（2，1＋ ），则此直线的倾斜角是（　　 ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
　　【参考答案】由k＝ ＝ ＝ ，则α＝30°.故选A.
　　例4　下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的是（　　 ）
A. 一条直线倾斜角的范围为［0°，180°］
B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C. 若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α
　　【参考答案】直线倾斜角的范围为［0°，180°），A错误；垂直于x轴的直线无斜率，B错误；α可
能为225°，而倾斜角的范围为［0°，180°），C错误.故选D.
对点检测2＞
　　若一条直线经过两点（1，0）和（2， ），则该直线的倾斜角α是（　B　）
【解析】∵直线经过两点（1，0）和（2， ），∴斜率k＝ ＝ ，则该直线的倾斜角满足tan α＝
.∵α∈［0，π），∴α＝ .
B
形　式 已知条件 方程形式 适用范围
点斜式
方程 直线过点P0（x0，y0）
且斜率为k y－y0＝k（x－
x0） 不含垂直于x轴的直线
斜截式
方程 直线的斜率为k，在y轴
上的截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
一般式
方程 A，B，C为常数，A，
B不同时为零 Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直
线都适用
　　注意：当倾斜角α＝90°时，直线斜率不存在，故没有点斜式和斜截式方程.
　　求直线方程的方法：
　　（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，求出方程中的系
数，写出直线方程.
　　（2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线方程，再根据已知条件构
造关于待定系数的方程（组），再解得系数，最后代入设出的直线方程.
好题解析＞
　　例5　经过点P（1，2），且倾斜角为45°的直线方程为（　　）
A. x－y＋1＝0 B. x－y－1＝0
C. x＋y＋1＝0 D. x＋y－1＝0
　　【参考答案】依题意得，直线的斜率为k＝tan 45°＝1.由点斜式方程可得y－2＝1×（x－1）.化简
得直线的方程为x－y＋1＝0.故选A.
　　例6　已知直线l过点（－1，8），（4，－2），则直线l的方程为（　　）
A. 2x＋y－6＝0 B. 2x－y－6＝0
C. x＋2y－6＝0 D. x－2y－6＝0
　　【参考答案】根据题意，直线l过点（－1，8），（4，－2），则斜率k＝ ＝－2，故直线l
的方程为y－8＝－2（x＋1），变形可得2x＋y－6＝0.故选A.
对点检测3＞
　　（1）过点（0，3）且斜率为4的直线方程为（　A　）
A. y＝4x＋3 B. y＝4x－3
C. y＝－4x＋3 D. y＝3x＋4
【解析】过点（0，3）且斜率为4的直线方程为y－3＝4（x－0），即y＝4x＋3.
　　（2）直线y＋2＝ 的倾斜角及在y轴上的截距分别是（　B　）
【解析】由直线方程得k＝ ，设直线倾斜角为α，则tan α＝ .∵α∈［0，π），∴α＝ .当x＝0时，y＝
－6，所以在y轴上的截距是－6.
A
B
　　1.当两条直线不平行于坐标轴时，两直线位置关系如下：
关系 l1：y＝k1x＋b1， l2：y＝k2x＋b2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2＝A2B1且B1C2＝B2C1
相交 k1≠k2 A1B2≠A2B1
垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
　　2.两条直线平行与垂直的判定方法
　　（1）已知两条直线的斜率存在.
　　①两条直线平行 两条直线的斜率相等且截距不相等.
　　②两条直线垂直 两条直线的斜率之积为－1.
　　（2）已知两条直线的斜率不存在.
　　若两条直线的斜率不存在，当两条直线在x轴上的截距不相等时，两条直线
平行，否则两条直线重合.
　　（3）已知两条直线的一般式方程.设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x
＋B2y＋C2＝0.
　　①l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
　　②l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
　　该方法避免了对斜率是否存在进行讨论.
好题解析＞
　　例7　 已知直线（m－2）x＋4y－5＝0与2x＋my－13＝0平行，则m＝（　　 ）
A. 2或－4 B. －2或4 C. 3或4 D. －2或3
　　【参考答案】由题意可得 ＝ ≠ ，解得m＝－2或m＝4.故选B.
　　例8　已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝（　　 ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
　　【参考答案】由l1⊥l2可得1×a＋1×b＝a＋b＝0.故选D.
对点检测4＞
　　（1）若直线x－y＋2＝0与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则a＝（　A　）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【解析】由题意可得1×a＋（－1）×2＝0，解得a＝2.
　　（2）过点（0，1），且与直线x－y＋2＝0平行的直线方程是（　A　）
A. x－y＋1＝0 B. x－y－1＝0
C. x＋y＋1＝0 D. x＋y－1＝0
【解析】根据题意可设直线方程为x－y＋m＝0，将点（0，1）代入方程得0－1＋m＝0，解得m＝1，所
以直线方程为x－y＋1＝0.
A
A
　　1.两点间的距离公式
　　已知两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则两点间的距离为 ＝
.
　　2.点到直线的距离公式
　　（1）点P0（x0，y0）到直线x＝a的距离d＝ .
　　（2）点P0（x0，y0）到直线y＝b的距离d＝ .
　　（3）点P0（x0，y0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
　　3.两条平行直线间的距离
　　若两条平行直线的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0
（C1≠C2），则它们之间的距离d＝ .
　　注意：若两条平行直线的系数不相等，则先将其化成相等，然后再利
用公式.
好题解析＞
　　例9　 已知点P（－1，2）到直线l：4x－3y＋m＝0的距离为1，则m＝（　　）
A. 15或5 B. 15 C. 10 D. 5
　　【参考答案】P（－1，2）到直线l：4x－3y＋m＝0的距离为d＝ ＝1，解得m＝15或m
＝5.故选A.
　　例10　两条平行直线x－2y－1＝0与x－2y＋1＝0之间的距离是（　　）
　　【参考答案】两条平行直线x－2y－1＝0与x－2y＋1＝0之间的距离d＝ ＝ .故选C.
对点检测5＞
　　（1）若点P（1，3）到直线4x＋3y＋a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（　A　）
A. 2 B. 3 D. 4
【解析】由点到直线的距离公式得d＝ ＝ ＝3，解得a＝2或a＝－28（舍去）.
　　（2）若两条平行直线x－2y＋3＝0，x－2y＋m＝0间的距离是 ，则m＝（　C　）
C. －2或8 D. 7或－11
【解析】两直线间的距离d＝ ，∵平行直线x－2y＋3＝0，x－2y＋m＝0间的距离是 ，
∴ ＝ ，∴3－m＝±5，∴m＝8或m＝－2.
A
C
4
【考题精选集萃】
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基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知点A（3，6），B（－1，2），则线段AB的中点坐标为（　A　）
A. （1，4） B. （2，2）
C. （－5，－2） D. （7，10）
2. 直线 x＋y－5＝0的倾斜角为（　C　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3. 已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为（　D　）
A
C
D
4. 已知直线l1经过A ，B 两点，直线l2的倾斜角为45°，那么l1与l2
（　B　）
A. 平行 B. 垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直
5. 若直线x＋ay＋1＝0与ax＋y－1＝0互相平行，则实数a的值为（　A　）
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
B
A
6. 已知点（3，m）到直线x＋y－4＝0的距离为 ，则m＝（　C　）
A. 3 B. －1 C. 3或－1 D. 2
7. 已知直线y＝（m－3）x＋2的倾斜角为 ，则实数m的值是（　D　）
A. 1 B. －1 C. －2 D. 2
8. 过直线x－y－3＝0与2x－y－5＝0的交点，且与直线3x＋y－2＝0垂直的直线方程是
（　C　）
A. 3x＋y－5＝0 B. 3x－y－1＝0
C. x－3y－5＝0 D. x－3y－1＝0
C
D
C
二、填空题
9. 已知直线l1：（k－3）x＋（4－k）y＋1＝0与l2：2（k－3）x－2y＋3＝0平行，则k的值
是 .
10. 若直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l2：ax－y＋1＝0垂直，则实数a＝ .
3或5
±1
11. 经过点P（3，－4），且横纵截距相等的直线方程为 .
【解析】当截距不为零时，设方程为x＋y＝a，将点（3，－4）代入得a＝－1，故所求方程为x＋y＋1
＝0；当截距为零时，有y＝－ x，即4x＋3y＝0.综上所述，所求直线方程为x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0.
12. 两平行直线3x－4y＋1＝0与x－ y－3＝0间的距离为 .
【解析】由两条平行线的距离公式可得d＝ ＝2.
x＋y＋1＝0或4x＋3y＝0
2
三、解答题
13. 已知直线l在x轴上的截距为－4，它与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程.
解：设直线方程为y－0＝k（x＋4），即y＝kx＋4k，所以直线在x轴截距为－4，在y轴截距为4k，所
以S＝ ×4× ＝8 ＝6，解得k＝± ，所以直线l的方程为3x±4y＋12＝0.
14. 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0），B（3，2），C（1，4），且D为BC边
上的中点.求中线AD的长度.
解：因为B（3，2），C（1，4），所以BC中点D的坐标为（2，3）.又因为A（－2，0），所以｜
AD｜＝ ＝5.
15. 已知直线l经过两条直线x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交点.
（1）若直线l与直线x－2y－1＝0平行，求直线l的方程；
解：（1）联立方程组 解得 即直线x＋2y－5＝0和3x－y－1＝0的交点坐标
为（1，2），因为直线l平行于直线x－2y－1＝0，所以可设直线l的方程为x－2y＋C1＝0 ，
把点（1，2）代入方程得1－2×2＋C1＝0，解得C1＝3，所以直线l的方程为x－2y＋3＝0.
（2）若直线l与直线x－2y－1＝0垂直，求直线l的方程.
解：（2）设直线l的方程为2x＋y＋C2＝0，把点（1，2）代入方程得2＋2＋C2＝0，解得C2＝－4，所以
直线l的方程为2x＋y－4＝0.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 过点P（－1，2），且与直线2x－3y＋1＝0平行的直线方程为（　C　）
A. 2x＋y＝0 B. 3x＋2y－1＝0
C. 2x－3y＋8＝0 D. 2x－3y－5＝0
【解析】设与直线2x－3y＋1＝0平行的直线方程为2x－3y＋C＝0（C≠1），由题意可得，－2－3×2
＋C＝0，即C＝8，所以所求直线方程为2x－3y＋8＝0.
2. 已知直线l1：x－my－1＝0与直线l2：mx－y＋1＝0互相平行，则实数m＝（　B　）
A. ±1 B. 1 C. －1 D. 无法确定
【解析】由 ＝ ≠ ，解得m＝1.
C
B
3. 过点 且与原点距离最大的直线的方程是（　C　）
A. x＋2y－5＝0
C. 2x＋y－5＝0 D. 3x＋y－5＝0
【解析】将点 代入选项，可排除A，D，再根据点到直线的距离公式，答案选C.
4. 若A（3，1），B（－2，m），C（8，11）三点共线，则m＝（　C　）
A. －7 B. －8 C. －9 D. －10
【解析】因为A（3，1），B（－2，m），C（8，11）三点共线，所以kAB＝kAC，即 ＝ ，解
得m＝－9.
C
C
5. 若点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为（　D　）
A. （8，0） B. （－12，0）
C. （－8，0）或（12，0） D. （8，0）或（－12，0）
【解析】设P（m，0），因为P点到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，所以d＝ ＝6，解得m＝8或
m＝－12，故点P坐标为（8，0）或（－12，0）.
6. 两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0之间的距离是（　A　）
【解析】因为两条直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0平行，所以m＝6，直线3x－4y－3＝0可化为直
线6x－8y－6＝0，所以两条平行线间的距离为 ＝ .
D
A
7. 已知点M（－1，0），N（3，4），直线l垂直平分线段MN，则直线l的方程是（　D　）
A. x－y－1＝0 B. x－y＋1＝0
C. x＋y＋1＝0 D. x＋y－3＝0
【解析】由题意得线段MN的中点为P（1，2），又kMN＝ ＝1，故直线l的斜率为－1，其方程
为y－2＝－（x－1），整理得x＋y－3＝0.
8. 经过点（2，0）且倾斜角是直线x－ y＋ ＝0的倾斜角的2倍的直线方程是（　A　）
【解析】由题可得k＝tan α＝ ，α＝30°，所以经过（2，0）的直线的倾斜角为60°，k′＝ ，所以
直线方程为y－0＝ （x－2），整理得 x－y－2 ＝0.
D
A
二、填空题
9. 若直线l经过点A（m，3），B（－1，m），且与直线3x＋y－6＝0垂直，则直线l的方程
为 .
【解析】依题意得， ×（－3）＝－1，解得m＝2，设直线l的方程为x－3y＋c＝0，则2－9＋c＝
0，解得c＝7，则直线l的方程为x－3y＋7＝0.
x－3y＋7＝0
10. 已知直线l经过直线x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交点，且平行于直线x－2y＋4＝0，则
直线l的方程为 .
【解析】∵ 解得 ∴两直线交点坐标为（－1，0），∵直线l的斜率与直线x－
2y＋4＝0相同，∴直线l的斜率k＝ ，∴直线l方程为y－0＝ （x＋1），即x－2y＋1＝0.
x－2y＋1＝0
11. 已知直线l的倾斜角α∈ ，则直线l的斜率的取值范围是 　
.
【解析】因为f（α）＝tan α在 上为增函数，所以f（α）≥f ＝tan ＝ ；因为f（α）＝tan α
在 上为增函数，所以f（α）＜f ＝tan ＝－1，又α＝ 时，直线的斜率不存在，所以直线l
的斜率的取值范围是 .
12. 如果直线l1和l2的斜率分别是一元二次方程x2－4x－1＝0的两根，那么l1和l2的位置关系
是 .
【解析】设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，由已知可得k1k2＝－1，故直线l1和l2的位置关系为垂直.

垂直
三、解答题
13. 设m，n为实数，若直线mx＋ny－1＝0经过第一、三、四象限，求m，n满足的条件.
解：当n＝0时，mx－1＝0，不符合题意；当n≠0时，由mx＋ny－1＝0 y＝－ x＋ ，因为直线
mx＋ny－1＝0经过第一、三、四象限，所以有 因此m，n满足的条件是m＞
0且n＜0.
14. 已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：（a－1）x＋y＋b＝0，且同时满足：①直线l1过点
（－3，－1）；②直线l1与直线l2垂直.求a，b的值.
解：由①得3a－b＝4，由②得a（a－1）＝b，两式联立解得a＝2，b＝2.
15. 已知直线l经过直线4x－2y－1＝0与直线x－2y＋5＝0的交点，且点A（0，4），B（2，
0）到直线l的距离相等，求直线l的方程.
解：联立两直线方程 解得交点坐标为 .设直线l的方程为y－ ＝k（x－2），
又因为点A，B到直线l的距离相等，所以 ＝ ，解得k＝ 或k＝－2，故所求直线l的方程为3x
－2y＋1＝0或4x＋2y－15＝0.

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