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第2章一元二次方程单元检测卷
姓名 __________班级________ 学号_________
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.在下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值是
A. 3 B. 1 C. 或1 D. 3或1
3.已知一元二次方程有两个实数根，，则
A. B. 1 C. D. 5
4.若用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是
A. B. C. D.
5.如图，在高3m，宽4m的长方形墙面上有一块长方形装饰板图中阴影部分，装饰板的上面和左右两边都留有宽度为的空白墙面．若长方形装饰板的面积为，则以下方程正确的是
A. B.
C. D.
6.若，则的值是
A. B. 4 C. 或4 D. 2或4
7.关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数a的取值范围是
A. B. 且 C. D. 且
8.已知关于x的方程是常数，则下列说法中正确的是( )
A. 方程一定有两个不相等的实数根 B. 方程一定有两个实数根
C. 当k取某些值时，方程没有实数根 D. 方程一定有实数根
9.在正数范围内定义一种运算：，如，若，则m的值是
A. 1 B. C. 5或 D. 5
10.一元二次方程M：；N：，其中，，给出以下四个结论：①若方程M有两个不相等的实数根，则方程N也有两个不相等的实数根；②若方程M的两根符号相同，则方程N的两根符号也相同；③若m是方程M的一个根，则是方程N的一个根；④若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根必是，其中正确的结论是
A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.方程的解是 。
12.有下列数值：①；②0；③1；④其中是一元二次方程的根的是 填序号
13.设m是方程的一个根，则的值是 。
14.若关于x的一元二次方程有一根为2024，则一元二次方程必有一根是 .
15.有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程： .
16.如图，在用配方法解一元二次方程时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是、宽是x、面积是40的长方形割补成一个正方形，则m的值是 .
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
17.解方程：
四、解答题（本大题共7小题，共46.0分）
18.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为星辰方程．
判断一元二次方程是否为星辰方程，说明理由．
已知是关于x的星辰方程，若m是此星辰方程的一个根，求m的值．
19.某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，今年南瓜亩产量的增长率是种植面积的增长率的，设南瓜种植面积的增长率为
则今年南瓜的种植面积为 亩；今年南瓜亩产量为 用含x的代数式表示
今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率．
20.已知关于x的一元二次方程有实数根．
求m的取值范围．
设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．
21.阅读下列材料：若设关于x的一元二次方程的两根为，，那么由根与系数的关系得，。因为，所以。于是二次三项式可分解为。这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题：
请用上面方法分解二次三项式。
如果关于x的二次三项式能用上面方法分解因式，求m的取值范围。
若关于x的方程的两个根为c，d，请直接写出关于x的方程的两个根用含a，b的代数式表示。
22.已知关于x的一元二次方程
求证：无论k为何值，该方程总有实数根．
若方程的一个根是另一个根的3倍，求k的值．
23.为了促进销售、扩大市场占有率，某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题。
素材1 某款中央空调每台进价为20000元。
素材2 团购方案：团购2台时，则享受团购价30000元/台，若团购数量每增加1台，则每台再降500元。规定：一个团的团购数量不超过11台。
问题解决 问题当团购3台时，求出每台空调的团购价。 问题设团购数量为x台，请用含x的代数式表示每台空调的团购价。 问题当一个团的团购数量为多少台时，销售部的利润为58500元？
24.如图所示，中，，，
点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，线段PQ能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
若点P沿射线AB方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线CB方向从点C出发以的速度移动，点P，Q同时出发，问几秒时，的面积为？
第1页，共5页答案
1. C 2. D 3. D 4. D 5. B 6. B 7. B
8. D 9. C 10. B
11.
12. ①④
13. 2027
14.
15. 答案不唯一
16. 3
17. 【小题1】
，
【小题2】
，

18. 【小题1】
一元二次方程是星辰方程．理由如下：将代入方程，可得，星辰方程必有一个根，当时，，一元二次方程是星辰方程．
【小题2】
根据题意得①，把代入得②，②-①得，，解得，的值为或

19. 【小题1】
【小题2】
根据题意，列出方程得，整理得，不符合题意，舍去，，答：南瓜亩产量的增长率为

20. 【小题1】
关于x的一元二次方程有实数根，， 解得
【小题2】
关于x的一元二次方程的两个根分别为，，，，，， 即， 整理得，解得，， 由得，的值为

21. 【小题1】
【小题2】
且，。
【小题3】
，。

22. 【小题1】
，无论k为何值，该方程总有实数根．
【小题2】
，，，，解得，，方程的一个根是另一个根的3倍，当时，解得，经检验符合题意；当时，解得，经检验符合题意；综上，或

23. 问题当团购3台时，
每台空调的团购价为元。
问题团购数量为x台，
则每台空调的团购价为
元。
问题根据题意，
得，
整理，得，
解得舍去，。
答：当一个团的团购数量为9台时，销售部的利润为58500元。
24. 【小题1】
不能．理由如下：
设经过x秒，线段PQ能将分成面积相等的两部分，
由题意知，，则，
，
，此方程无解，
线段PQ不能将分成面积相等的两部分．
【小题2】
设t秒后，的面积为分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时
由题意知，整理得，
解得不符合题意，舍去，；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时，
由题意知，整理得，
解得；
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时，
由题意知，整理得，
解得，不符合题意，舍去
综上所述，秒，5秒或秒时，的面积为

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