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北师大版九年级下册数学第二章二次函数单元练习
一、单选题
1．下列函数中是二次函数的有（ ）
A． B．
C． D．
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为
C．当时，随的增大而减小 D．的最小值为
3．如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，若开口向下的抛物线（a≠0）与x轴的一个交点为（-1，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有（ ）
①abc＞0；②2a+b=0；③函数的最大值为-5a；④若关于x的方程无实数根，则-1＜a＜0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若m、n（n＜m）是关于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两个根，且b＜a，则m，n，b，a的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．b＜n＜m＜a D．n＜b＜a＜m
6．根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（ ）
x … 0 1 2 …
y … 2 …
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象经过，，，四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．小明在平面直角坐标系中画了一个二次函数的图像，该图像经过，，三点，若用顶点式表示这个二次函数，正确的是（）
A． B．
C． D．
9．如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形和等腰直角三角形，斜边与在一条直线上，沿射线方向运动（点E从点D出发），设与正方形重叠部分的面积为y．若，则x的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
11．已知二次函数，其二次项系数是_____．
12．已知抛物线过点，则__________．
13．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是____．
14．某初三学生对自己某次实心球训练时不慎脱手，发现实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的关系为，由此可知该考生此次实心球训练的成绩为________米．
15．如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为__________．
三、解答题
16．已知二次函数的图象经过和．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求抛物线的顶点坐标．
17．随着冬季的到来，某商店开始销售一种羽绒服，每件羽绒服的进价为80元，规定销售单价不低于90元，且不高于110元，当销售单价定为90元时，每天可售出300件，销售单价每上涨1元，每天销量减少10件，现商家决定提价销售，设每件羽绒服的销售价为x元，每天羽绒服的销售量为y件
(1)求y与x之间的函数关系式
(2)当羽绒服的销售单价定位多少元时，商家的每天销售羽绒服活动的利润最大？最大利润是多少元？
18．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为A，与x轴的正半轴分别交于点B（b，0），C（c，0）.
（1）当b=1时，求抛物线相应的函数表达式；
（2）当b=1时，如图，E（t，0）是线段BC上的一动点,过点E作平行于y轴的直线l与抛物线的交点为P．求△APC面积的最大值；
（3）当c =b+ n.时，且n为正整数.线段BC（包括端点）上有且只有五个点的横坐标是整数，求b的值.
19．如图① ，菱形中，，动点从点出发，沿折线运动到点停止，动点从点出发，沿线段运动到点停止，它们运动的速度相同.设点出发时，的面积为 .已知与之间的函数关系.如图 ②所示，其中为线段，曲线为抛物线的一部分，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）当时，的面积 （填“变”或“不变”）；
（2）分别求出线段，曲线所对应的函数表达式；
（3）当为何值时，的面积是？
20．定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点，（为自变量取值范围内的任意数），都有点和点关于点成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”．例如：和互为“中心对称函数”．
(1)如果点和点关于点成中心对称，那么三个数，，满足的等量关系是 ；
(2)已知函数：① 和；②和；③和，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）；
(3)已知函数的“中心对称函数”的图象与反比例函数
的图象在第一象限有两个交点，，且的面积为4．
①求的值；
②反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数“的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
(4)已知三个不同的点，，都在二次函数（，，为常数，且）的“中心对称函数”的图象上，且满足．如果恒成立，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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《北师大版九年级下册数学第二章二次函数单元练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B D D D C D B
11．2
12．
13．
14．2
15．
16（1）解：把和代入，
得：，解得：，
∴此抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴此抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
17．（1）解：由题意，得：；
（2）解：设总利润为元，由题意，得：
；
∵，
∴当时，有最大值：元．
∴当羽绒服的销售单价定位元时，商家的每天销售羽绒服活动的利润最大，最大利润是元．
18．（1）当b=1时，将点B（1，0）代入抛物线y=﹣6mx+5中求出m，即可解决问题．
（2）如图1中，直线AC与PE交于点F．切线直线AC的解析式，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）分两种情形①当b整数时，n为整数，可知n=4，c=b+4．则b，b+4是方程x2﹣mx+5=0的两个根，分别代入方程中求解即可，②当b小数时，n为整数，∴n=5，c=b+5为小数，则b，b+5是方程﹣6x+5=0的两个根.
试题解析：（1）当b=1时，将点B（1，0）代入抛物线y=﹣6mx+5中，得m=1，
∴y=﹣6x+5；
（2）如图1中，直线AC与PE交于点F．
当b=1时，求得A（0，5），B（1，0），C（5，0），可得AC所在的一次函数表达式为y=﹣x+5，
∵E（t，0），
∴P （t，﹣6t+5），直线l与AC的交点为F（t，﹣t+5），
∴PF=（﹣t+5）﹣（﹣6t+5）=+5t，
∴==，
∵＜0，
∴当t=时，面积S有最大值；
（3）①当b整数时，n为整数，
∴n=4，c=b+4．则b，b+4是方程﹣mx+5=0的两个根，分别代入方程中，
得﹣mb+5=0①，②，
由①②可得+4b﹣5=0，解得b=1或﹣5（舍）；
或由一元二次方程根与系数的关系得 b（b+4）=5解得b=1或﹣5（舍）．
②当b小数时，n为整数，∴n=5，c=b+5为小数，则b，b+5是方程﹣mx+5=0的两个根，同样可得b=或（舍弃）；
∴b=1或．
19．（1）根据函数图象即可得到结论；
（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，把（1，10）即可得到线段OM的函数表达式为y=10x；设曲线NK所对应的函数表达式y=a（x-3）2，把（2，10）代入得根据得到曲线NK所对应的函数表达式y=10（x-3）2；
（3）把y=5代入y=10x或y=10（x-3）2即可得到结论．
试题解析：（1）由函数图象知，当1＜x＜2时，△BPQ的面积始终等于10，
∴当1＜x＜2时，△BPQ的面积不变；
（2）设线段OM的函数表达式为y=kx，
把（1，10）代入得，k=10，
∴线段OM的函数表达式为y=10x；
设曲线NK所对应的函数表达式y=a（x-3）2，
把（2，10）代入得，10=a（2-3）2，
∴a=10，
∴曲线NK所对应的函数表达式y=10（x-3）2；
（3）把y=5代入y=10x得，x=，
把y=5代入y=10（x-3）2得，5=10（x-3）2，
∴x=3±，
∵3+＞3，
∴x=3-，
∴当x=或3-时，△BPQ的面积是5cm2．
20．（1）解：点和点关于点成中心对称，
，
故答案为：．
（2）解：①令，，
，
和不互为“中心对称函数”，
②令，
，
和互为“中心对称函数”，
③令和，
，
和互为“中心对称函数”，
故答案为：②③．
（3）解：函数的“中心对称函数”是，
如图，令函数与轴，轴的交点分别为，，
令，则，故，
令，则，得，故，
点，为函数与反比例函数的图象在第一象限的两个交点，
设，，
，的面积为4，
，
，
，
，
解得，，
，
，
，
的“中心对称函数”为，
当时，，
，即时，的值最小，
的函数图象在第一象限内最低点坐标为．
（4）解：的“中心对称函数”为，
，都在的图象上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点，的纵坐标相等，
抛物线的对称轴为，即，
，
，
，
令，
当时，随的增大而减小，
时，，即，
恒成立，
．
答案第1页，共2页
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