资源简介

2026 年高三年级模拟考试
数学 参考答案
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A C D A B
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 ACD BD ACD
三、填空题
12．15 13． 2 2 14．31
四、解答题
1
15.解：（1）对于有放回取球，每次摸到红球的概率为 ，·········································· 1分
3
1
且各次抽样结果相互独立，则 X B(3, )，····························································· 2分
3
P(X 2) C2 (1)2 2 2所以 3 ；··········································································5分3 3 9
（2）Y的可能取值为 0，1，2，3，且Y服从超几何分布，········································· 6分
0 3 1 2
P(Y 0) C4C8 14 P(Y 1) C4C8 28 3 ， 3 ，························································ 8分C12 55 C12 55
2 1 3
P(Y C C 2) 4 8 123 ，P(Y 3)
C4 1 3 ，························································· 10分C12 55 C12 55
所以Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
14 28 12 1
P
55 55 55 55
······················································································································11分
E Y 0 14 1 28 2 12 +3 1数学期望 1 ······················································ 13分
55 55 55 55
16.（1）解：因为 a2、b2、c2成等差数列,所以 2b2 a2 c2，········································1分
又a 1,b 2，得 c 7，····················································································2分
a2 b2 c2 1 4 7 1
由余弦定理可得 cosC ，················································· 4分
2ab 2 1 2 2
数学参考答案 第1页（共 7页）
2π
因为0 C π，所有C ················································································· 5分
3
因此 sinC 3 ，································································································6分
2
故 ABC 1的面积为 absinC 1 1 2 3 3 ．·····················································7分
2 2 2 2
（2）证明：
方法一：
sin Asin(B C) sinC sin(A B)，
sin A(sin B cosC cos B sinC) sinC(sin Acos B cos Asin B) ······································· 9分
sin Asin B cosC 2sin AsinC cos B sinC sin B cos A ················································ 11分
设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理和余弦定理得：········································· 12分
1 a2 b2 c2 a2 c2 b2 2 2 2
上式 2 ab 2ac bc
b c a
，································· 14分4R 2ab 2ac 2bc
1
2 22 2b c a2 0，故得证．·······································································15分4R
方法二：
因为 A B C π，所以 sin A sin(B C)， sinC sin(A B)
所以 sin Asin(B C) sinC sin(A B)
sin(B C) sin(B C) sin(A B) sin(A B) ······························································ 8分
(sin B cosC cos B sinC)(sin B cosC cos B sinC) (sin Acos B cos Asin B)(sin Acos B cos Asin B)
······················································································································· 9分
sin2 B cos2 C cos2 B sin2 C sin2 Acos2 B cos2 Asin2 B ··········································· 10分
sin2 B(1 sin2 C) (1 sin2 B) sin2 C sin2 A(1 sin2 B) (1 sin2 A) sin2 B ······················· 11分
sin2 B sin2C sin2 A sin2 B············································································ 12分
2sin2 B sin2C sin2 A·····················································································13分
设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理得：
1
上式 2 2b2 c2 a2 0，故得证．·································································15分4R
17. （1）证明：因为 AD CD , F 为 AC的中点，所以 AC DF ，·······························1分
因为点 E、F分别为棱 AB、AC的中点,所以 EF / /BC，·············································· 2分
又因为 ACB 90 ,所以 AC EF，······································································· 3分
又因为DF EF F ,DF 平面DEF ,EF 平面DEF ,所以 AC 平面DEF，·················· 5分
因为DE 平面DEF ,所以 AC DE；·····································································6分
（2）解：设点D到平面 ABC的距离为 h ,
1 1 1 4 2
由VD ABC S ABC h ( 2 2 2) h ，得 h 2 .··········································8分3 3 2 3
由 AC 2 2,BC 2，得 AB 2 3，即平面 ABC所在截面圆的半径为 3 ,
所以球心为O到平面 ABC的距离为 22 ( 3)2 1 .··················································· 9分
方法一：
由（1）作DH EF 交 EF所在直线于点H，作HG BC交 BC所在直线于点G，连接GD .
因为 EF / /BC， BC 平面DBC，所以 EF / /平面DBC ;
数学参考答案 第2页（共 7页）
所以 EF平行于平面DBC与平面DEF 的交线 l，····················································· 10分
因为 AC 面DEF，DH 平面DEF，所以DH AC ,
又因为DH EF ，所以DH 面ABC ····································································11分
所以 BC DH ，又因为 BC HG，所以 BC 平面DHG，即 l 平面DHG，
所以 HDG为平面DBC与平面DEF 所成的角,······················································· 12分
因为DH 2，HG 2，DH HG，
2 6
所以DG 6 ，所以 cos HDG ·····························································14分
6 3
即平面DBC与平面DEF 6所成角的余弦值为 ·······················································15分
3
方法二：
如图，以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系,
O
F (0,0,0),C(0, 2,0), A(0, 2,0),B(2, 2,0),E(1,0,0),O(1,0,1), ································ 10分
因为 AC 平面DEF，设D(a, 0, 2) ,
由 |OD | 2 , 得 (a 1)2 (2 1)2 2 ,解得 a 1 3 ,················································· 11分

则CB (2,0,0),CD (1 3, 2, 2) ,

设平面 BCD的法向量为 n (x, y, z) , 则

n CB 0
2x 0 x 0
, 即 ，所以 ········································ 12分
n CD 0 (1 3)x 2y 2z 0 y 2z
令 z 1，则 y 2 , 所以 n (0, 2, 1) .·······························································13分

由（1）得平面DEF 的法向量为CA (0, 2 2,0) .······················································14分
因此平面DBC与平面 D EF 所成角的余弦值
为 | cos n,CA |
| n CA | 4 6 .·························································· 15分
| n | |CA | 3 2 2 3
18.解：（1）因为 f x 2 2sin x 2 sin2 x 2 2sin x sin 2x f (x)，···2分
所以 2 为 f x 的一个周期，即 f x 为周期函数；················································ 4分
数学参考答案 第3页（共 7页）
（2）由（1）可知 f x 为以 2 周期的周期函数，所以下面考虑 x [0,2 )的情况，·····5分
f ' x 2cos x 2cos 2x 2(2cos2 x cos x 1) 2(cos x 1)(2cos x 1)，·············· 7分
当0 x 5 或 x 2 5 时， f ' x 0；当 x 时， f ' x 0 ················ 8分
3 3 3 3
所以 f x 在[0, ) 5 5 和 ( , 2 )上为增函数，在 ( , )上为减函数，························ 9分
3 3 3 3
又 f (0) f (2 ) 0, f ( ) 3 3 , f ( 5 ) 3 3 ，············································ 10分
3 2 3 2
3 3 3 3
所以 f x 的最大值为 ，最小值为 ；····················································· 11分
2 2
（3）由（1）（2）可知对于任意的 x R 3 3，都有 f x ，
2
所以 f 2x 3 3 , f 4x 3 3 , , f 2n 1 x 3 3 ，·······································12分2 2 2
因为 f x f 2x f 4x f 2n 1 x
2sin x sin 2x 2sin 2x sin 4x 2sin 4x sin8x 2sin 2n 1 x sin 2n x ········ 13分
3(sin x sin 2x sin 4x sin8x sin 2n 1 x sin 2n x) sin x 2sin 2n x ··········· 14分
3 3
n ········································································································· 15分
2
即
3(sin x sin 2x sin 4x sin8x sin 2n 1 x sin 2n x)
3 3 n sin x 2sin 2n 1 x 3 3 n 3 ······························································16分
2 2
3
即 sin x sin 2x sin 4x sin 2 nx n 1，
2
原式得证.·········································································································17分
19. （1）解：当 p 2时，抛物线的方程为 y2 4x，
直线 l1的斜率为 3，直线 l1的方程为 y 3x，··························································· 1分
4
y 3x x 9 x 0
联立方程组可得 2 ，可得 ，或 ·················································3分
y 4x 4 y 0

y
3
4 4P 所以点 1的坐标为 ， ；················································································ 4分 9 3
数学参考答案 第4页（共 7页）
（2）证明：过原点O作斜率为 p 1的直线 l1，交抛物线C于点 P1，
y2 2px 2p
所以有 ，解得 y1 ，································································ 5分
y ( p 1)x p 1
因为直线 ln 1与抛物线C交于点Qn (xn , yn )、Pn 1(xn 1, yn 1) n 1 ，
yn 2 2pxn 2 2
所以 2 ，两式相减得： yn 1 yn 2p(xn 1 xn )．····························· 6分
yn 1 2pxn 1
yn 1 yn 2p
所以 x x y y ，·················································································7分n 1 n n 1 n
2p y ( y )
又因为直线 l n 1 nn 1的斜率为 p 1，所以 p 1y y x ，·······················8分n 1 n n 1 xn
2p
可得 yn 1 yn (n 1)，p 1
2p 2p
所以数列 yn 是以首项为 ，公差为 的等差数列.·········································9分p 1 p 1
（3）方法一：
设直线 PnPn 1的斜率为 k，所以直线PnPn 1方程为 y yn k x xn ，
y 2 2P P 1 k 2 x x 1 k 2 n 1 yn 1 k 2 yn 1 yn y n 1 yn 则 n n 1 n 1 n ····· 10分2p 2p
2p
2 y 2
yn 1 yn
又由（ ）知 n 1 yn ，所以 PnPn 1 1 k .······························ 11分p 1 p 1
因为点 Pn 2 (xn 2 , yn 2 )到直线 PnPn 1： kx y kxn yn 0的距离
数学参考答案 第5页（共 7页）
kxn 2 yn 2 kxn yd n
k 2 1
k(y 2n 2 y
2
n ) y
2p n 2
yn yn 2 yn k yn 2 yn 2p ··································12分
k 2 1 2p k 2 1
2 k y y 2p
又因为 yn 2 yn 2
2p
n 2 n，所以 d
2 .····································· 13分p 1 p 1 k 1
1 k yn 2 yn 2p yn 1 y
所以 PnPn 1Pn 2的面积 S PnPn 1 d
n
2 p 1 2
k y n 1 yn y n 1 yn 2p2 2
又因为 xn 1 xn yn 1 yn yn 1 yn ，
2p
所以
2p y
y y n 2
yn 2p yn 1 yn
S n 1 n
p 1 2
2p yn 2 yn yn 1 y n 2p y n 2 yn 1
2 2 ····················································· 14分p 1 p 1
2p 2p 2p 4p2
又因为 yn 2 yn 1 ，所以有 S 2 3 ( p 0) ···················· 15分p 1 p 1 p 1 p 1
4p
2
f ' p 4p 2 p 令 f p ( p 0) ，则
.
p 1 3 p 1 4
令 f ' p 0，则 p 2；
当0 p 2时，有 f ' p 0，所以 f p 在 0,2 单调递增；
当 p 2时，有 f ' p 0，所以 f p 在 2, 单调递减；····································· 16分
16 16
综上：当 p 2时，有 f 2 ，所以 PnPn 1Pn 2的面积有最大值，最大值为 .·····17分27 27
方法二：
因为点 Pn (xn , yn )、Pn 1(xn 1, yn 1)、Pn 2 (xn 2 , yn 2 )、Pn 3(xn 3 , yn 3)在抛物线C上，
k y n 3 yn yn 3 yn 2p1 2 2
所以直线 PnPn 3 的斜率 xn 3 xn yn 3 yn yn 3 yn ，
2p
2p
同理可得直线 Pn 1Pn 2 的斜率 k2 y ，····················································· 10分n 2 yn 1
由（2）知数列 yn 是等差数列，所以有 yn yn 3 yn 1 yn 2 ，
即 k1 k2 ，所以直线PnPn 3 与直线 Pn 1Pn 2 平行，
数学参考答案 第6页（共 7页）
所以点Pn 到直线 Pn 1Pn 2 的距离与点Pn 3直线 Pn 1Pn 2 的距离相等，··························· 11分
设点 P 1n 到直线Pn 1Pn 2 的距离为 d ，则 PnPn 1Pn 2的面积 Sn P P d ，2 n 1 n 2
此时有 Pn 1Pn 2P S
1
n 3的面积 n 1 Pn 1Pn 2 d ，即有 Sn S2 n 1
n 1
所以 PnPn 1Pn 2的面积 Sn 是以首项为 S1，公差为 0的等差数列，即有 Sn S1，······· 12分
2p y 2p 2p

由（2）可知，点 P1的纵坐标 1 ，所以点 P的坐标为p 1 1

p 1 2
，
p 1
，

2p 2p 4p
又因为数列 yn 是以首项为 ，公差为 的等差数列，所以 yp 1 p 1 2
，
p 1
8p 4p 18p 6p
所以点 P2的坐标为 ， 2 ，同理可得
P3的坐标为 ，
p 1 p 1
··············13分
p 1 2 p 1
4p
k p 1 p 1直线 P1P3的斜率为 16p ，4
p 1 2
p 1
所以直线 P1P3的方程为 y x
2p 2p p 1 3p 2 ，即 y x ，4 p 1 p 1 4 2 p 1
过点 P2作垂直 x轴的直线，

PP 8p 7 p

则该直线与直线 1 3的交点M 的坐标为 ， 2 ···································· 14分 p 1 2 p 1
16p
所以有 P2M
p
，
x
2 p 1 3
x1 p 1 2
2
即 PPP 1 1 p 16p 4p1 2 3的面积 S1 P2M x3 x1 2

3 ，·················15分2 2 2 p 1 p 1 p 1
2
所以 PnPn 1Pn 2的面积为 S
4p
n ( p 0) p 1 3
f p 4p
2
f ' p 4p 2 p 令 ( p 0) ，则
'
p 1 3 p 1 4 .令 f p 0，则
p 2；

当0 p 2时，有 f ' p 0，所以 f p 在 0,2 单调递增；
当 p 2时，有 f ' p 0，所以 f p 在 2, 单调递减；····································· 16分
16 16
综上：当 p 2时，有 f 2 ，所以 PP P 的面积有最大值，最大值为 .·····17分
27 n n 1 n 2 27
数学参考答案 第7页（共 7页）2026年高三年级模拟考试
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑。
1.已知集合A={-3,-11,3},B={x3=x,则AnB=
A.{-1,0,1}
B.{-1,1}
c.
D.{-1}
1-1
2.在复平面内，复数，一对应的点位于
A,第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.样本数据2,3,5,8,9,10的25%分位数为
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
4.设a>0且a≠1，b>0,下列各项中，能推出log。b>0的一项是
A.a>1且b>1
B.a>1或0C.01
D.05.已知a=(1-1),1b=1,a+2i与a-b互相垂直，则a与i的夹角为
A牙
B胃
x2+2ax+a,x<0
6.已知函数f(x)=
log,x+1)-2,x≥0在R上单调递减，则a的取值范围是
A.(-∞，0]
B.[0,+oo)
C.[-1,1]
D.[-10]
7.已知M为圆P:x2+y2+2x-35=0上的一个动点，定点(1,0)，线段M0的垂直平分线
交线段MP于点N,则N点的轨迹为
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.圆
8.已知函数xx∈R)满足-)=1-f),若函数y=f冈与y=e-e+图象的所
2
有交点为(，y,k2,y2b…,（xnyn),则2x+y)=
A.0
B受
C.m
D.2m
高三数学第1页（共4页)
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.请把正确选项在
答题卡中的相应位置涂黑。
9设双曲线C:女
a京=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为R,B,过B作平行于y轴的直线交
双曲线C于A,B两点，若F=10,AB=12,则下列关于双曲线C的说法正确的是
A.顶点坐标为(2,0)，(-2,0)
B.虚半轴长为4
C.离心率为2
D.渐近线方程为y=士√3x
10.如图，在正方体中，点AB,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点，则满足直线
MN∥平面ABC的是
B
11.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无
论之前投签情况如何，甲每次投篮的命中率均为手，乙每次投篮的命中率均为：
由抽签确定第
1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为，记“第：次投篮的人是甲为事件4，前
3次中甲投篮的次数为X,则以下结论正确的是
AP(闪列-号
B.P(4)=10
crK--贵
D.x)-0
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，15分，请把答案填在答题卡的相应位置上.
■
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,41=1,a4=8,则S,=
13.设点P在曲线y=lnx上，点2在直线y=x+3上，则P2引的最小值为
高三数学第2页（共4页）

展开更多......

收起↑