资源简介

数学
2026.03
（试题卷）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟.
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答
题是无效的.
3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
每小题都给出 A，B，C，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1. 的相反数是（ ）
A.2026 B. C. D.
2.安徽省 2025 年全年地区生产总值约为 5.3 万亿元，其中 5.3 万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3.如图是将两个正方体组合得到的一个几何体，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.设 ， 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知一次函数 （ 为常数）的图象与 轴的负半轴相交， 随 的增大而减小，且
为整数，则当 时， 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在 中， ， ，点 在边 BC 上，满足 .若 ，则 AD
的长是（ ）
A. B.2 C. D.
8. ， ， ， 四个点位于正方形的四个顶点，现在将这四个点用线段连接，则以下四种方案中，所有
线段之和最小的是（ ）
A. B. C. D.
9.已知二次函数 的图像如图所示，对于这个函数有下列四个结论：① ；
② ；③ ；④ ，则结论正确的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已加 ，点 是 轴上的动点，线段 CA 绕点 逆时针旋
转 至线段 CB，点 为平面上的动点，且 ，连接 AB，OB，OP，则下列结论错误的是（ ）
A.OB 的最小值是 B.当 时， 的最大值是 4
C.AC 的最小值是 2 D.当 取到最大值时，
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
11.比较大小： ________ .
12.如图，PA 是 的切线，点 是 上一点，连接 OC， ，连接 PC 并延长 PC 交 于点
，AO 的延长线交 PB 于点 ，若 ， ，则 ________.
13.某生态农场里有番茄苗（生长周期 60 天）、黄瓜苗（生长周期 70 天）、辣椒苗（生长周期 80 天）、茄子
苗（生长周期 90 天）四种菜苗.农民想选两种菜苗搭配种植，生长周期总和为 150 天的组合更利于轮作，随
机选两种菜苗，生长周期和刚好为 150 天的概率为________.
14.对于正整数 ，根据 除以 3 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数 ；若余数为 0，则 ；
若余数为 1，则 ；若余数为 2，则 .这种得到 的过程称为对 进行一次“变换”.对所
得的数 再进行一次变换称为对 进行二次变换，依此类推.例如，正整数 ，根据 4 除以 3 的余数为 1，
由 加，对 4 进行一次变换得到的数为 8，根据 8 除以 3 的余数为 2，由 知，对 4 进行
二次变换得到的数为 15；根据 15 除以 3 的余数为 0，由 知，对 4 进行三次变换得到的数为 5.根
据以上规则，光成下列填空：
（1）对正整数 7 进行二次变换，得到的数为________；
（2）若对正整数 进行三次变换得到的数为 1，则所有满足条件的 的值为________.
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15.先化简，再求值： ，其中 .
16.如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ， 的三个顶
点为格点（网格线的交点）.已知 ， ， .
（1）以原点 为位似中心在第一象限画出 ，使它与 的相似比为 2；
（2）利用格点，在线段 上找一点 ，使得 .
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17.《天工开物》是明代宋应星所著的科技著作，总结了中国古代农业、手工业的生产技术与经验.书中介绍
在较浅的水池和小水沟里没办法安置大型水车，就只能用仅几尺长的拔车.拔车又称手摇龙骨水车或者手控
翻车，发明于明代，是在手摇翻车基础上改进的小型手摇水车，如图 1，其模型如图 2 所示，已知人身高
，支撑杆高 ，人抬车的时候夹角 一般为 ，求拔车的长度 AB 以及拔车支撑
杆与河岸之间 DE 的距离.（结果精确到 0.01，参考数据： ， ， .）
18.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于
， 两点，已知点 的坐标为 .
（1）求 与 的值；
（2）点 为线段 AB 上一动点（可与端点重合），过点 作 轴交 轴于点 ，连接 OC，求
面积的最大值.
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19.安徽省在 2025 年持续推进能源结构优化.某研究机构对全省 2025 年不同能源类型的企业数量进行了抽样
调查，随机抽取了 100 家企业，按能源类型分为五组，部分数据整理如下：
能源类型 传统煤炭 石油化工 天然气 太阳能 风能
分组
企业数量 12 18 30 20
注： 表示该企业年度产值（百万元）.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1） ________；
（2）这 100 家企业产值的中位数落在哪一类能源企业中？
（3）若将传统煤炭和石油化工归为“旧能源”，天然气、太阳能、风能归为“新能源”，且规定新能源企业
平均产值不低于 19 百万元为“结构优化良好”.现分别取各组中值 3，8，13，18，23 作为代表值，试判断
该抽样结果是否达到“结构优化良好”，并说明理由.
20.如图，AB 为 的直径，点 在 上，AD 与过点 的切线垂直，垂足为 ，过点 的切线与 AB
的延长线交于点 ，过点 作 交 AB 于点 .
（1）求证： ；
（2）若点 为 OB 的中点， ，求 BE 的长.
六、（本题满分 12 分）
21.综合与实践
【项目主题】某数学实践小组在研究教材《问题出在哪里》这部分内容的时候，对于斐波那契数列和图形
拼接产生了兴趣.
【项目准备】（1）斐波那契数列知识学习：数列从 0 和 1 开始，之后的每一项都是前两项之和.前几项为：0，
1，1，2，3，5，8，13，21，34，①________，89，144，…
（2）教材《问题出在哪里》内容大致如下：图 1 是一个 的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图 2 中
的矩形.
图 1 面积 ，图 2 面积 ， ，说明图 2 的四个图形之间有缝隙.
（3）构造一个新的图形拼接：图 3 是一个 的正方形，将它剪成四部分后，再拼成图 4 中 的矩形.
图 3 面积 ，图 4 面积 ， ，说明图 4 的四个图形之间有重叠.
（4）依据斐波那契数列进行图形拼接的规律探究：
设斐波那契数列的第 1 项为 ，第 2 项为 ，…，第 项为 ，第 项为 ，则当 为偶数
时，图形拼接之后四个图形之间有②________（填“缝隙”或“重叠”）；
【项目分析】依据斐波那契数列进行图形拼接可能会出现有缝隙或者重叠的现象，那么有没有可能采用另
一种拼法，拼出既没有缝隙也没有重叠的矩形？
（ⅰ）方案一；将图 5 中 的正方形拼接成图 6 中 的矩形，请画出分割线；
（ⅱ）方案二：将边长分别为斐波那契数列 ， ， ， ， 的一组正方形拼接成一个没有缝隙及重
叠的矩形，请在图 7 中给定网格中画出拼接后的矩形及正方形之间的分割线；
正方形的面积和为： ③________；
矩形的面积=正方形的面积和=宽×长 ④________（填数字）；
（ⅲ）方案二规律总结：将边长分别为斐波那契数列 ， ， ， ， ，…， 的一组正方形拼接成
一个没有缝隙及重叠的矩形时，矩形的面积为 ⑤________；
【项目实施】请将上述材料中横线上所缺内容补充完整，并将图形按照要求进行拼接：
①________；②________；③________；④________；⑤________.
七、（本题满分 12 分）
22.如图 1，在 中， ， ，点 是 BC 延长线上一点，连接 AD，将线段 AD
绕点 逆时针旋转 得到线段 AE，连接 DE，CE.
（1）判断 BD 与 CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图 2，延长 BA 交 EC 于点 ，连接 BE， 为 BE 中点，连接 GF.
（ⅰ）当 ， 时，求 GF 的值；
（ⅱ）如图 3，过点 作 交 AD 于点 ，AE 与 GF 交于点 ，若 与 全等，求
.
八、（本题满分 14 分）
23.已知抛物线 ： .
（1）求抛物线 的顶点坐标（用 表示）；
（2）当 时，点 ， 在抛物线上.
（ⅰ）若 ， ，对于某一个实数 ，若 的最小值为 1，求 的最大值；
（ⅱ）若对于任意的 ， ，总存在点 、 使得 轴，求
的取值范围.
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C B A C D C B
10.B 解析：如图 1，过点 作 轴，交 轴于点 ，
易证 ，则 ， ，
则 ， 点 的轨迹为直线 ，由于 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 1 的圆，
令直线 与 轴的交点为点 ，与 轴的交点为点 .
如图 2，当 OB 垂直于直线 ，OB 取到最小值，
由于 ， ，所以 为等腰直角三角形，
则点 为 EF 中点，此时 ， ，A 选项正确；
由于 为等腰直角三角形，所以 ，
的最大值在 AC 取到最大值的时候取到，
当 时，在 时，AC 取最大值为 ，
此时 取到最大值为 ，B 选项错误；
点 是 轴上的动点，则当点 运动到与原点 重合的时候，
AC 取到最小值为 ，C 选项正确；
当 取到最大值时，OP 取到最大值，此时 ；
OB 取到最小值，此时 ，如图 3，过点 作 轴，交 轴于点 ，
易证 ，则 ，则 ，
所以 ，D 选项正确.故选 B.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
11.＞ 12.1 13.
14.（1）21；（2 分）（2）27，5，6.（3 分）
解析：（1）对正整数 7 进行二次变换，得到的数为 21；
（2）设第三次变换前的数为 ，由 ，解得 ；
由 ，解得 ，舍去；由 ，解得 ，
但是 1 除以 3 的余数不为 2，舍去，所以第三次变换前的数为 3；
设第二次变换前的数为 ，由 ，解得 ；
由 ，解得 ，舍去；
由 ，解得 ，2 除以 3 的余数为 2，满足条件，
所以第二次变换前的数为 9 或 2；
设第一次变换前的数为 ，当 时，由 ，解得 ；
由 ，解得 ，5 除以 3 的余数为 2，舍去；
由 ，解得 ，5 除以 3 的余数为 2，满足条件，所以第一次变换前的数为 27 或 5；
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ，舍去；
由 ，解得 ，舍去，所以第一次变换前的数为 6；综上所述， ，5，6.
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15.解：原式 ，
当 时，原式 .
16.解：（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示，点 即为所求.
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17.解： ， ，
， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
则 .
18.解：（1）把点 代入一次函数 中，得 ，
解得 ，则 ，
把点 代入反比例函数 中，得 ，则 ；
（2）令 ，解得 或 ，把 代入 中，解得 ，
点坐标为 ，设点 ，
则 ， ，
由于 ，则当 时， 取到最大值为 ，
面积的最大值为 .
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19.解：（1）总企业数为 100 家，则有 ，解得 ；
（2）总家数为 100，中位数应为第 50 位和第 51 位数据的平均值，
， ，则第 50 位和第 51 位数据均在天然气组，
这 100 家企业产值的中位数落在天然气能源企业中；
（3）新能源企业包括天然气（30 家）、太阳能（20 家）、风能（20 家），代表值分别为 13，18，23，
新能源企业总家数为 ，
新能源企业平均产值为 （百万元），
低于 19 百万元，
因此未达到“结构优化良好”标准.
20.解：（1）证明：如图，连接 OC，
∵直线 DC 为 的切线， ，
与切线 DC 垂直， ， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
在 和 中， ， ，
；
（2） ， ，
为 OB 的中点， ， ，
， ，
， ， ，
设 ，则 ， ，
，解得 ，即 .
六、（本题满分 12 分）
21.解：①55；②缝隙；③15；④5；⑤ .
（ⅰ）如图所示，即为所求；
（ⅱ）如图所示，即为所求.
七、（本题满分 12 分）
22.解：（1） 且 ，
在 中， ， ，
为等腰直角三角形， ，
，
，即 ，
在 和 中， ， ，
， ，
，
，综上， 且 ；
（2）（ⅰ） ， 是直角三角形，
为 BE 的中点， 当 时，
此时 GF 是 的中位线，则 ，
， ，
，
；
（ⅱ）如图，连接 AG， ， ，
， ， ，
为等腰直角三角形， ，
， 为 BF 中点， ，
为 BE 中点， ，且 ， ，
， ，
， ，
， ，
与 全等， 或者 ，
由于 ， 只有当 才有 与 全等，
在 和 中， ， ，
， ， ，
为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
， ，
， ，
.
八、（本题满分 14 分）
23.解：（1） ，顶点坐标为 ；
（2）（ⅰ）当 时， ，
对称轴为直线 ，对于某一个实数 ，若 的最小值为 1，
则 ， ，
，
，解得 ，
则 ， 关于对称轴的对称点为 ，
则 的最大值为 ；
（ⅱ）若对于任意的 ， ，
总存在点 、 使得 轴，
即存在 ， 使得 ，如图 1， 关于对称轴对称的点为 ，
则只需 即可，解得 ，
如图 2， 关于对称轴对称的点为 ，
则只需 即可，解得 ，所以 .

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