资源简介

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2026年重庆市初中中考第一次模拟考试试卷
数 学
本试卷共三大题，共25小题，考试用时120分钟，满分150分.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：抛物线的顶点坐标为（）,对称轴为
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市中小学生睡眠时间的调查
B．对一批灯泡使用寿命的调查
C．对某校初二（2）班学生视力情况的调查
D．对全国中小学生周末上网时长的调查
4．如图，在中，，则的度数是（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
5．五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
6．下列各点中，不在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
8．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
10．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法：
①若A为三项式，则m的最小值为5；
②若，则满足条件的A共有5个；
③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．不透明的袋子中装了 2 个红球， 1 个黑球， 1 个白球， 这些球除颜色外无其它差别， 从袋子中随机一起摸出 2 个球， 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为__________．
12．如图，，直线分别交于点E、F，的平分线与交于点G，，则________
13．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ________．
14．若，，则________．
15．如图，点、、是上三点，是的直径．过点作交于点，连接．将沿翻折得到，点在的外部，延长交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________．
16．我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”．
（1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______；
（2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______．
三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①______．
∴，
∴，
∴②______．
在和中：
∴，
∴③______，，
∴④______．
∴四边形是平行四边形．
三、解答题：本大题共7小题，每小题10分，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
19．进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97．
九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85．
八、九年级被抽取学生的成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 83 83
中位数 87 m
众数 n 86
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？
化简求值：，其中 ．
21．在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件．
(1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量；
(2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量．
22．如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
23．国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，）
(1)求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
(2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数）
24．直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值．
25．如图，在中，，交于点．
(1)如图1，延长至点，使得，连接、．若，且，求的长度；
(2)如图2，过点作的角平分线交于点，过作交于点，点是上一点，点是上一点，满足，请你猜想、和之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作交于点，点在线段上，点在线段上，且满足．连接、．若，，当取得最小值时，请直接写出的值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页2026年重庆市初中中考第一次模拟考试试卷
数 学
本试卷共三大题，共25小题，考试用时120分钟，满分150分.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：抛物线的顶点坐标为（）,对称轴为
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市中小学生睡眠时间的调查
B．对一批灯泡使用寿命的调查
C．对某校初二（2）班学生视力情况的调查
D．对全国中小学生周末上网时长的调查
4．如图，在中，，则的度数是（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
5．五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
6．下列各点中，不在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
8．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
10．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法：
①若A为三项式，则m的最小值为5；
②若，则满足条件的A共有5个；
③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．不透明的袋子中装了 2 个红球， 1 个黑球， 1 个白球， 这些球除颜色外无其它差别， 从袋子中随机一起摸出 2 个球， 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为__________．
12．如图，，直线分别交于点E、F，的平分线与交于点G，，则________
13．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ________．
14．若，，则________．
15．如图，点、、是上三点，是的直径．过点作交于点，连接．将沿翻折得到，点在的外部，延长交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________．
16．我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”．
（1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______；
（2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______．
三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①______．
∴，
∴，
∴②______．
在和中：
∴，
∴③______，，
∴④______．
∴四边形是平行四边形．
三、解答题：本大题共7小题，每小题10分，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
19．进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97．
九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85．
八、九年级被抽取学生的成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 83 83
中位数 87 m
众数 n 86
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？
化简求值：，其中 ．
21．在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件．
(1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量；
(2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量．
22．如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
23．国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，）
(1)求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
(2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数）
24．直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值．
25．如图，在中，，交于点．
(1)如图1，延长至点，使得，连接、．若，且，求的长度；
(2)如图2，过点作的角平分线交于点，过作交于点，点是上一点，点是上一点，满足，请你猜想、和之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作交于点，点在线段上，点在线段上，且满足．连接、．若，，当取得最小值时，请直接写出的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年重庆市初中中考第一次模拟考试试卷
数学·参考答案及评分细则
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C D B A D B B D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．．
12．．
13．；
14．．
15．
16．180 342
三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
17．
【详解】解：
解不等式①得，（2分）
解不等式②得，（4分）
∴不等式组的解集为，（6分）
则不等式的所有整数解为0，1，2，3．（8分）
18．
【详解】（1）解：如图，即为所求作角，（2分）
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，．
∴，
∴，
∴．（4分）
在和中：，
∴，（6分）
∴，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：①，②，③，④．（8分）
三、解答题：本大题共7小题，每小题10分，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
19．
【详解】（1）解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多，
∴众数，
由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名，
又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85，
∴中位数，
∵九年级组成绩学生数有名，
∴九年级组成绩的人数占比为，
∴，
∴，
故答案为：，，；（6分）
（2）解：八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好；（8分）
（3）解：，
答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名．（10分）
20．
【详解】解：
；（6分）
当 时，
原式．（10分）
21．
【详解】（1）解：设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，
由题意可列方程，
解得，
∴（件），
答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件；（5分）
（2）解：设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，
由题意得，解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件．（10分）
22．
【详解】（1）解：如图，过点B作于H，
∵，，，
∴，
由题意可知，，
当点P在上时，，此时，
当点P在上时，，此时，
∴；
当时，，
当时，，
∴综上所述：；；（5分）
（2）解：图象如图所示，即为所求：
函数的性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小；（8分）
（3）解：根据图象可得：当或时，．（10分）
23．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，
则，
由题意得，，
，，
，
在中，，米，
（米），（米），
在中，，
米，
米；（4分）
（2）解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，
如图，此时小明，小红分别在，处，连接，
则米，米，
小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，
米，
由（1）可知，米，
米，
在中，，
，
即，
解得，（负值舍去），
米，
过点作，垂足为，
由（1）可知，（米），
在中，，
（米），（米），
在中，，
米，
（米）．（10分）
24．
【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，，
，，
直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点，
，
解得，，
抛物线的表达式为．（2分）
（2）解： 为直线上方抛物线上一点，
作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，
不妨设：，
则，即有两个相等的实数根，
，
解得，
：，
，解得，，
即当时，面积取得最大值；
由（1）可知，，，
，
为等腰直角三角形，
，
将直线：向下平移2个单位长度得到直线，
：，
设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
对于直线：，当时，，即，
，
，
，
直线和直线的距离为，
为直线上任意一点，过点作于点，
；
将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示，
则，，
四边形为平行四边形，
，
，
当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，
为定值，
此时取得最小值；
作轴于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
，
，
即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，
，，，，
点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，
，
，
点为点关于轴的对称点，，
当、、共线时，
此时，
当面积取得最大值时，最小值为．（6分）
（3）解：抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线，
，
时，，
与轴右交点记为点，
，
直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，
，，
点在原抛物线上的对应点为，
，即，
、、、四点构成的四边形有一组对边平行，
有可能或者或，
当时，
不妨设直线为，代入，，
，
，
不妨设直线为，代入，，
，
，
，
，
，
或，
，
；
同理可得，当时，，符合题意；
当时，如图：
则，
∴，
∴，
综上，可得或4．（10分）
25．
【详解】（1）解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴；（4分）
（2）解：，证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；（6分）
（3）解：如图，作于点，以为边作交于点，使得，在上截取线段，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，最小，即取得最小值，
∵平分，
又∵，，
∴，，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．（10分）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页2026年重庆市初中中考第一次模拟考试试卷
数学·解析版
本试卷共三大题，共25小题，考试用时120分钟，满分150分.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：抛物线的顶点坐标为（）,对称轴为
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义即可得到答案．
【详解】解：由题可得：，
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对重庆市中小学生睡眠时间的调查
B．对一批灯泡使用寿命的调查
C．对某校初二（2）班学生视力情况的调查
D．对全国中小学生周末上网时长的调查
【答案】C
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
【详解】解：A. 对重庆市中小学生睡眠时间的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
B. 对一批灯泡使用寿命的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
C. 对某校初二（2）班学生视力情况的调查，适合采用全面调查，符合题意；
D. 对全国中小学生周末上网时长的调查，适合采用抽样调查，不符合题意；
故选：C．
4．如图，在中，，则的度数是（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】直接利用“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”解题即可．
【详解】解： 在中，，
故选D
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理的含义”是解本题的关键．
5．五一期间，重庆无人机为游客呈现了一幕幕精彩的表演，在其中一幕表演中，小明发现 无人机的数量具有规律，第①个图案中有4架无人机，第②个图案中有9架无人机，第③个图案中有14架无人机，观察图形，按此规律，第⑥个图案中的无人机数量是（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【分析】本题考查了图形变化的规律，代数式求值，根据图形归纳出第个图案无人机的数量是解题的关键．
根据前4个图案无人机的数量，推算出第n个图案无人机的数量为架，再将代入，即可求解．
【详解】解：第①个图案无人机的数量为（架），
第②个图案无人机的数量为（架），
第③个图案无人机的数量为（架），
第④个图案无人机的数量为（架）
……
第个图案无人机的数量为架，
当时，（架）．
故选B．
6．下列各点中，不在双曲线上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知判断点是否在反比例函数图象上，只需将点的坐标代入函数解析式，满足方程则在图象上，否则不在．
将各点坐标代入双曲线方程验证即可．
【详解】解：对于A： ∵, ，∴点不在双曲线上，符合题意；
对于B：∵, ，∴点在双曲线上，不符合题意；
对于C：∵, ，∴点在双曲线上，不符合题意；
对于D：∵, ，∴点在双曲线上，不符合题意；
故选：A．
7．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
本题可根据科学记数法的性质，将各选项中的数进行比较大小．
【详解】选项A：，其中．
选项B：，其中．
选项C：，其中．
选项D：，其中．
因为，
所以和小于和。
由于这两个数的相同，都为，此时比较的值，，
所以．
综上，四个数中最小的是，
故选：D．
8．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设平均每次降价的百分率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
故选：B．
9．如图，在正方形中，点是边上一点，交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等的判定和性质是解题的关键．
先过点作，交延长线于点，通过正方形的性质和条件判定，得，再与平行四边形的性质结合推出，设，，那么，证明为等腰直角三角形，再运用勾股定理求解出、的值，最后进行求解即可．
【详解】解：过点作，交延长线于点，
∵正方形，
∴，．
∵平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，即．
∵，，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
设，，
∴，，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∵，，，，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∴．
故选：B．
10．已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法：
①若A为三项式，则m的最小值为5；
②若，则满足条件的A共有5个；
③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查整式的定义、系数绝对值和的性质以及二次函数与x轴交点的条件．
对于说法①，考虑三项式时n的最小值及系数绝对值的最小值；对于说法②，枚举时所有可能的整式A；对于说法③，在，的条件下，枚举所有二次函数并与判别式条件结合．
【详解】解：说法①，
整式为三项式，
当三项式的系数绝对值为1，且最小时，最小，
即，且，，，
，说法①正确；
说法②，
，，，n为自然数，
分情况讨论：（1）当时，，，
，符合条件的有1个；
（2）当时，，；
（i）时，，，
或，符合条件的有2个；
（ii）时，，，
，符合条件的有1个；
（3）当时，，，
，，，，，，
，符合条件的有1个；
（4）当时，，，与说法②矛盾，没有符合条件的情况；
综上分析，符合条件的A共有个，说法②正确；
说法③，
当，时，，即，，
二次函数与x轴有交点，即，
分情况讨论：（1）当时，，
（i），时，，，，
当时，，符合条件的有1个；
（ii），时，，，，
当，时，，符合条件的有2个；
（iii），时，，，，符合条件的有2个；
当时，符合条件的共个；
（2）当时，，
（i），时，，，，
当时，，符合条件的有1个；
（ii），时，，，，符合条件的有2个；
当时，符合条件的共个；
（3）当时，，，函数为与x轴交于原点，符合条件的有1个；
综上分析，符合条件的A共有个，说法③正确；
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．不透明的袋子中装了 2 个红球， 1 个黑球， 1 个白球， 这些球除颜色外无其它差别， 从袋子中随机一起摸出 2 个球， 摸出 1 个红球 1 个黑球的概率为__________．
【答案】
【分析】利用列举法求概率即可．
【详解】解：
从袋子中随机一起摸出 2 个球可能出现的情况一共12种等可能结果，其中，摸出 1个红球1个黑球的情况有4种
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键．
12．如图，，直线分别交于点E、F，的平分线与交于点G，，则________
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识．利用平行线的性质以及角平分线的定义即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．若的整数部分是，小数部分是，则的值为 ________．
【答案】/
【分析】本题考查了无理数的估算．先估算出的范围，根据可得，的值，最后代入求值即可；
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
14．若，，则________．
【答案】3
【分析】先确定，，再分和两种情况求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
即，
当时，则，
解得，不满足的要求，舍去；
当时，则，
解得，
，
，
，，
，，
，，
．
15．如图，点、、是上三点，是的直径．过点作交于点，连接．将沿翻折得到，点在的外部，延长交的延长线于点，若，则的长为__________，的值为__________．
【答案】
【分析】连接，根据，设，则，根据勾股定理得出，根据，得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，最后根据线段间关系求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可得：，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
．
16．我们规定：若一个正整数A能写成，其中与都是两位数，且与的个位数字相同，十位数字之和为9，则称A为“方和数”，并把A分解成的过程，称为“方和分解”．例如：因为与82的个位数字相同（均为2），十位数字1与8的和为9，所以226是“方和数”，226分解成的过程就是“方和分解”．
（1）按照这个规定，最小的“方和数”是_______；
（2）把一个“方和数”A进行“方和分解”，即，将放在的右边组成一个新的四位偶数B，若B除以17余数为3，则满足条件的最小正整数A为_______．
【答案】 180 342
【分析】本题考查整式加减的应用，新定义运算，理解“方和数”的定义是解题的关键．
（1）设，则，只需a，b都取最小值时，的值最小；
（2）先计算出，根据B除以17余数为3，可得能被17整除，进而可得是17的倍数，b为一位数偶数，尝试a取最小值1，依次计算即可．
【详解】解：（1）设，则，其中，，
求最小的“方和数”，即的最小值，
取，，
，，
，即最小的“方和数”是180，
故答案为：180；
（2）将放在的右边组成一个新的四位偶数B，
，
B除以17余数为3，
能被17整除，
是整数，
是整数，即是17的倍数，
求满足条件的最小正整数A，
尝试a取最小值1，
B是四位偶数，
可能为0，2，4，6，8，
当，时，，不是17的倍数，不合题意；
当，时，，不是17的倍数，不合题意；
当，时，，不是17的倍数，不合题意；
当，时，，是17的倍数，符合题意；
，，
满足条件的最小正整数A为：，
故答案为：342．
三、解答题：本大题共2小题，每小题8分，共16分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
17．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【答案】，不等式的所有整数解为0，1，2，3
【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式的解集，再求出它们公共部分的解集，最后写出它的所有整数解，即可作答．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
则不等式的所有整数解为0，1，2，3．
18．综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点E、F，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空：
(1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，①______．
∴，
∴，
∴②______．
在和中：
∴，
∴③______，，
∴④______．
∴四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)①，②，③，④
【分析】本题考查平行四边形的判定及尺规作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，
（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）证明，即可证得四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图，即为所求作角，
（2）证明：∵四边形是平行四边形
∴，．
∴，
∴，
∴．
在和中：，
∴，
∴，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：①，②，③，④．
三、解答题：本大题共7小题，每小题10分，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程。
19．进行垃圾分类，既能有效减少垃圾焚烧和填埋带来的环境污染问题，还能“变废为宝”，实现资源利用最大化，重庆市某中学为了认真落实校园垃圾分类工作，举办了垃圾分类知识竞赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于分（成绩得分用x表示，共分成四组：．，．，．，．），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩为：63，66，67，70，77，78，79，82，85，86，88，88，88，88，89，89，92，93，95，97．
九年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据：81，86，82，85，86，86， 85．
八、九年级被抽取学生的成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 83 83
中位数 87 m
众数 n 86
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ， ， ；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八年级有800名学生，九年级有900名学生参加了此次垃圾分类知识竞赛，请估计该校八、九年级参加此次垃圾分类安全知识竞赛成绩优秀（）的学生人数是多少？
【答案】(1)，，
(2)八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由见解析
(3)名
【分析】本题考查了扇形统计图，平均数、众数、中位数，样本估计总体，看懂题意是解题的关键．
（）根据众数、中位数的定义可求出的值，根据组人数和扇形统计图可求出的值；
（）根据平均数、众数、中位数判断即可；
（）分别求出八年级和九年级竞赛成绩优秀的学生人数，再相加即可.
【详解】（1）解：由八年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多，
∴众数，
由扇形统计图可知，九年级组成绩学生数为名，
又∵九年级组中的数据为：81，86，82，85，86，86，85，
∴中位数，
∵九年级组成绩学生数有名，
∴九年级组成绩的人数占比为，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好，理由如下：八、九年级学生竞赛成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于九年级的，所以八年级学生的垃圾分类知识竞赛成绩较好；
（3）解：，
答：估计该校八、九年级参加此次垃圾分类知识竞赛成绩优秀的学生人数是名．
20．化简求值：，其中 ．
【答案】，
【分析】先化简多项式乘法部分与分式混合运算，并将两部分合并为最简分式，然后再利用负指数幂、绝对值和零次幂的运算法则，求出x，代入求值即可．
【详解】解：
；
当 时，
原式．
21．在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件．
(1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量；
(2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量．
【答案】(1)1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件
(2)1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程成为解题的关键．
（1）设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列一元一次方程求解即可；
（2）设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，然后根据题意列分式方程求解并检验即可解答．
【详解】（1）解：设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件，
由题意可列方程，
解得，
∴（件），
答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件；
（2）解：设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件，
由题意得，解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件．
22．如图，在中，，，．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿运动，到达点C时停止；同时，点Q以相同的速度从点C出发，沿射线方向运动，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，记的面积为，与的面积之比为．
(1)请直接写出，分别关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时t的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)；
(2)图见解析，当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小
(3)或
【分析】（1）过点B作于H，利用勾股定理求得，用t表示出；当点P在上时，，此时；当点P在上时，，此时；然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）利用描点法作出函数的图象，从函数的增减性角度可以写出一条性质即可；
（3）当时，即函数图象在函数图象上方时，根据图像得出取值范围即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作于H，
∵，，，
∴，
由题意可知，，
当点P在上时，，此时，
当点P在上时，，此时，
∴；
当时，，
当时，，
∴综上所述：；；
（2）解：图象如图所示，即为所求：
函数的性质：当时，随t的增大而增大；当时，随t的增大而减小；
（3）解：根据图象可得：当或时，．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，涉及求函数解析式，一次函数与反比例函数的性质，勾股定理等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
23．国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C馆在A馆的正北方向，游客中心D在A馆的北偏东方向，B馆在A馆的北偏西方向相距400米处，C馆在B馆的东北方向，且C馆在游客中心D的南偏西方向．（参考数据：，，，）
(1)求B馆和C馆之间的距离；（结果保留根号）
(2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B馆出发沿路线行走，小红从A馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，当小明到A馆的距离恰好是小红到A馆的距离的2倍时，求小红与游客中心D之间的距离．（结果保留整数）
【答案】(1)馆和馆之间的距离是米
(2)小红与游客中心D之间的距离是米
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则，结合方向角的定义，可知，，然后在中可求得、，进而在中可求得，即可解答；
（2）设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，此时小明，小红分别在，处，连接，则，，，得到，然后在中，利用勾股定理建立方程，解得，过点作，垂足为，结合，在中可求得，在中可求得，最后由，即可解答．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，
则，
由题意得，，
，，
，
在中，，米，
（米），（米），
在中，，
米，
米；
（2）解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，
如图，此时小明，小红分别在，处，连接，
则米，米，
小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的倍，
米，
由（1）可知，米，
米，
在中，，
，
即，
解得，（负值舍去），
米，
过点作，垂足为，
由（1）可知，（米），
在中，，
（米），（米），
在中，，
米，
（米）．
【点睛】本题以动物园平面图为实际背景，核心是通过作垂线将不规则图形转化为含、、的直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解线段长度，小问2还融入了行程与方程思想，充分体现了“化斜为直”的几何转化思路与数形结合、方程建模的解题方法，是解三角形在实际场景中的典型应用。
24．直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为点关于轴的对称点，为直线上方抛物线上一点，将直线向下平移2个单位长度得到直线，为直线上任意一点，过点作于点；当面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线．与轴右交点记为点，直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点．点在原抛物线上的对应点为，已知、、、四点构成的四边形有一组对边平行，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或4
【分析】（1）先利用直线的表达式求得点、的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，不妨设，通过与抛物线联立，判别式为0，可求得，接着利用勾股定理算出和之间的距离，将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，四边形为平行四边形，可证当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，此时取得最小值；接着通过平移规律求得，最后利用两点距离公式求得，最后求得答案；
（3）先写出新抛物线表达式，表示出，，，，接着分成或者或讨论，分别表示出，，，的表达式，通过斜率相等即可得出答案．
【详解】（1）解：对于直线：，当时，；当时，，
，，
直线：与抛物线分别交于轴上的点和轴上的点，
，
解得，，
抛物线的表达式为．
（2）解： 为直线上方抛物线上一点，
作直线，并与与抛物线相切时，如图所示，当切点为点时，此时点与的距离最大，即面积取得最大值，
不妨设：，
则，即有两个相等的实数根，
，
解得，
：，
，解得，，
即当时，面积取得最大值；
由（1）可知，，，
，
为等腰直角三角形，
，
将直线：向下平移2个单位长度得到直线，
：，
设直线与轴交于点，过点作于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
对于直线：，当时，，即，
，
，
，
直线和直线的距离为，
为直线上任意一点，过点作于点，
；
将点沿平行方向移动的长度，得到点，连接，，如上图所示，
则，，
四边形为平行四边形，
，
，
当、、共线时，取得最小值，即取得最小值，
为定值，
此时取得最小值；
作轴于点，如上图所示，
则为等腰直角三角形，
，
，
即点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，
，，，，
点向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点，
，
，
点为点关于轴的对称点，，
当、、共线时，
此时，
当面积取得最大值时，最小值为．
（3）解：抛物线右移1个单位长度，上移5个单位长度可得新抛物线，
，
时，，
与轴右交点记为点，
，
直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点，
，，
点在原抛物线上的对应点为，
，即，
、、、四点构成的四边形有一组对边平行，
有可能或者或，
当时，
不妨设直线为，代入，，
，
，
不妨设直线为，代入，，
，
，
，
，
，
或，
，
；
同理可得，当时，，符合题意；
当时，如图：
则，
∴，
∴，
综上，可得或4．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，二次函数与线段最短问题，两点距离公式，两点之间线段最短，二次函数的平移问题，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．
25．如图，在中，，交于点．
(1)如图1，延长至点，使得，连接、．若，且，求的长度；
(2)如图2，过点作的角平分线交于点，过作交于点，点是上一点，点是上一点，满足，请你猜想、和之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作交于点，点在线段上，点在线段上，且满足．连接、．若，，当取得最小值时，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点， 容易证明和，通过比的性质进行转化可得，因此．容易证明，则，，．利用平行可判定，从而得到，进一步得到．在直角中，利用勾股定理构造方程并解出的值即可；
（2）延长至点，使得，连接，利用角平分线的性质可证明，则，．进而证明，则，．利用角度转化可得，从而证明，由全等的性质得出结论；
（3）作于点，以为边作交于点，使得，在上截取线段，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点，容易证明，则，因此当、、三点共线时，最小，即取得最小值．运用三角形的面积公式和相似三角形的性质以及勾股定理依次计算出，，，，，进而计算出和的面积．结合全等三角形的性质可得，的面积即为与的面积之和，相除得到结果．
【详解】（1）解：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，延长至点，使得，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，作于点，以为边作交于点，使得，在上截取线段，连接、，过点作的垂线，交的延长线于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，最小，即取得最小值，
∵平分，
又∵，，
∴，，
在直角中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

展开更多......

收起↑