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山西省太原市2026年高三年级模拟考试(一)数学试题
(考试时间:下午15:00—17:00)
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.
2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上.
3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 则A∩B=
A. [1,2] B. {1,2}
C. [-2,2] D. {0,2}
A. -2+i B. -2-i
C. 3i D. -i
3.已知a=(1,2),b=(3,m),若a⊥(b-a),则实数m=
A. -4 B. -2
C. 1 D. 6
4.已知sinα=2cosα,则
A. -3 B. -1
C. D.
5.在 的展开式中，含x的项的系数为
A. -40 B. 40
C. -80 D. 80
6.已知圆锥的底面半径为2，高为 点M是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点M出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点M，则该质点运动的最短路径长为
A. π B. 2π
D. 6
7.已知函数y=f(x)的定义域为R，若函数y=f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞,0)时,f(x)+ xf ′(x)＞0(f′(x)是函数f(x)的导函数)成立.设 b=(ln2)f(ln2),c=(tan1)·f(tan1),则下列结论正确的是
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
8.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆C：（a＞b＞0）的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，其方程为 它具有以下性质：以椭圆C上任意两点的线段为直径的圆内含或内切于该蒙日圆.已知点A，B是椭圆 上任意两点,动点M在直线3x+4y-10=0上.若∠AMB＜90°恒成立,则椭圆C离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某校高一年级A班学生体检，通过简单随机抽样从该班抽取10名男学生，测得其体重(单位: kg)如下:58,64,63,57,61,55,62,61,59,60,则下列结论正确的是
A. 这组数据的中位数为60
B. 这组数据的平均数为60
C. 这组数据的第75百分位数为62
D. 这组数据的方差为7
10.已知数列 的前n项积为 且 设 ，数列 的前n项和为 ，则下列说法正确的是
B. {Pn}是递增数列
C. D. 是等差数列
11.一个棱长为2的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径分别为 的铁球，记其表面积分别为 ，则下列结论正确的是
A. 当 时，S 的最大值为(
B. 当r 取最大值时，S 的最大值为(
的最大值为
D. 的最大值为(
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数 在点(1,f(1))处的切线方程为 .
13.已知抛物线 经过点 ，其焦点为F，点Q是直线PF与抛物线C的另一个交点，则
14.设n次多项式 且 若其满足 则称 为切比雪夫多项式.例如，由 可得切比雪夫多项式 由 可得切比雪夫多项式 已知函数 在区间[-1,1]上有3个不同的零点，分别记为 则
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为S，且
(1)求C;
(2)过点A作 ，使得四边形ABCD满足 求AD.
16.(本小题15分)
如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形， ,E是AP的中点，F是CD的中点.
(1)证明:
(2)若 求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
兵乓球发球有速度、旋转和落点三个关键要素.一次发球，这三个要素都达标，称为“优质球”；恰有其中两个要素达标，称为“有效球”；其它情形称为“一般球”.假设小明发球时，这三个要素均相互独立，每个要素达标的概率均为 ，且每次发球的结果也相互独立.在某次比赛中，当小明发出“优质球”、“有效球”、“一般球”时，此次发球他赢球的概率分别为 当对方发球时，他赢球的概率为 ，兵乓球比赛规定，一次发球，赢球方得1分，输球方得0分.
(1)小明发一次球，求他得分X的分布列和数学期望；
(2)当前比分为10：10，双方轮换发球，每轮每人发1个球，小明首先发球.当得分相差2分时，得分高的一方获胜.求此局比赛小明以14：12获胜的概率.
18.(本小题17分)
如图，已知双曲线 C：（a＞0，b＞0） 经过点(3，4)，其离心率为 点 分别为C的左、右焦点，直线 分别是C的渐近线，点P是C上的动点，点Q与点P关于原点O对称.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线 求证：四边形PMQN的面积为定值，并求出此定值；
(3)设 是四边形PMQN内部(不含边界)的点，记 其中k=1,2,求证：
19.(本小题17分)
已知函数
(1)若f(2x+1)-f(2x-1)＞2,求证：
(2)设数列 的通项公式 是其前n项和，求证：
(3)设等差数列 的公差 是其前n项和，且 求
太原市2026年高三年级模拟考试(一)
数学试题参考答案及评分建议
一.选择题: B D C A B C A A
二.选择题: 9. BCD 10. ACD 11. ABD
三.填空题: 12. 2x-y-2=0
四.解答题：
15.解: 2分
由正弦定理可得 6分∵0°＜C＜180°, ∴C=30°. 7分
(2)由(1)得C=30°, ∵AD∥BC , ∴∠CAD=∠ACB=30°,在△ACD中，由余弦定理得(
16.解: (1)设G是PB的中点,连接EG,CG,
∵四边形ABCD是菱形, ∴AB∥CD, AB=CD=AD=2,
∵E是AP的中点，
∵F是CD的中点， 4分
∴四边形CFEG是平行四边形, ∴EF∥CG, 5分
∵EF 平面PBC , CG 平面PBC , ∴EF∥平面PBC. 6分
(2)设O是AD的中点,连接BO,PO,BD,
∵AD=PA=PD=2, ∴△PAD 是等边三角形,
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,
9分
以O为坐标原点，OA，OB，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系,则A(1,0,0), B(0, ,0),C(-2, ,0), P(0,0, ,
设 是平面 PAB 的一个法向量，
取 则 11分
设 是平面PBC 的一个法向量，
则取 则 13分
∴平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为 15分
17.解：(1)设“小明发一次球，他发出“优质球”、“有效球”、“一般球””分别为事件A ,A ,A ,则
3分
由题意得X 的所有取值为0，1， 5分
8分
(2)由题意得可知双方还需打6个球，且最后两球都是小明得分.设 “双方打6个球，小明第i个球得分”，i=1,2,3,4,5,6,则所求事件为 10分
由(1)及题意可得
∴所求事件的概率为
15分
18.解: (1)由题意得 得 双曲线C的方程为 4分
(2)连接OP,OM,OQ,ON ,由对称性可知四边形PMQN 的面积等于△OPM面积的4倍,设P(x ,y ),则( 由题意得直线l 的方程为 直线l 的方程为 直线 PM 的方程为
直线QM 的方程为
由 6分
点 M 到直线(OP: 的距离7 分
∴△OPM面积
面积
∴四边形PMQN 的面积为 11分
(3)设直线F T 交双曲线C的左支于点K ，连接F K , i=1,2,…,50,
, 13分
设直线F T 交双曲线C的右支于点H ，连接F H , i=1,2,…,50,
同理可得 15分
＜100. 17分
19.解: (1) 由题意得f(2x+1)-f(2x-1)=2+ sin(2x+1)-sin(2x-1)=2+2cos2xsinl,
∵f(2x+1)-f(2x-1)＞2, ∴2cos2xsin1＞0, ∵sinl＞0, ∴cos2x＞0, 3分
5分
6分
))]
∵-l＜ cos(n+l)＜1, - l＜ sinn＜l, ∴-l＜ cos(n+l) sinn＜1,
(3)由题意得 11分
12分
同理可得 13分
14分
令
则
∴g(x)在R上单调递增, ∵g(2026π)=0, ∴g(x)在R上有唯一零点x=2026π,
17分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.

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