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函数的图象与性质
1．已知函数f(x)＝
则f[f(0)]＝(　　)
A．－1　　 B．3　　
C．9　　 D．10
答案：D
2．已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
答案：C
3．若函数f(x)＝log2(2x＋1)－ax是偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．－
C．1 D．
答案：D
4．函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R上的奇函数，若f(1)＝2，则f(2023)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
解析：A　因为y＝f(x－2)为奇函数，所以y＝f(x)关于(－2，0)对称，即f(－x)＋f(x－4)＝0，又y＝f(x)关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)，有f(x)＝f(x－4) f(x＋4)＝f(x)，所以y＝f(x)的周期为4，故f(2023)＝f(－1＋2024)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
5．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝sin (tan x)
B．f(x)＝tan (sin x)
C．f(x)＝cos (tan x)
D．f(x)＝tan (cos x)
解析：D　观察图象可知函数为偶函数，对于A，f(－x)＝sin (tan (－x))＝sin (－tan x)＝－sin (tan x)＝－f(x)，为奇函数，排除；对于B，f(－x)＝tan (sin (－x))＝tan (－sin x)＝－tan (sin x)＝－f(x)，为奇函数，排除；同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为(＋kπ，)，k∈Z不是R，舍去，故D正确．
6．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，且对任意x1，x2，均有f(x1x2)＝f(x1)f(x2)成立，则下列函数中符合条件的是(　　)
A．y＝ln |x| B．y＝x3
C．y＝2|x| D．y＝|x|
解析：D　对于A，f(x1x2)＝ln |x1x2|＝ln |x1|＋ln |x2|＝f(x1)＋f(x2)，故A错误；
对于B，f(－1)＝－1＝－f(1)，故y＝x3不是偶函数，故B错误；
对于C，当x1，x2∈(0，＋∞)时，f(x1)f(x2)＝2|x1|2|x2|＝2|x1＋x2|＝f(x1＋x2)，故C错误；
对于D，f(x1x2)＝|x1x2|＝|x1||x2|＝f(x1)f(x2)，
又y＝f(x)＝|x|定义域为全体实数，它关于原点对称，且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，
即函数f(x)是定义域为R的偶函数，
当x>0时，f(x)＝x单调递增，满足题意．
7．已知函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是(　　)
A．f(x)＋1是奇函数
B．f(x－1)是奇函数
C．f(x)－1是奇函数
D．f(x＋1)是奇函数
解析：B　因为f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝－1，可得f(－1)＝f(－1)＋f(－1)，则f(－1)＝0；
令y＝－2－x，则f(－1)＝f(x)＋f(－2－x)＝0，
故f(x)的图象关于点(－1，0)对称，
则f(x－1)的图象关于点(0，0)对称，即f(x－1)是奇函数，故B正确；
对于C，令x＝y＝0，可得f(1)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝
当f(1)≠2时，f(0)－1≠0，此时f(x)－1不可能是奇函数，
由于无法确定f(1)的值，故f(x)－1不一定是奇函数，故C错误；
对于A、D，取f(x)＝x＋1，满足题意，但f(x)＋1，f(x＋1)都不是奇函数，故A、D错误；故选B.
8．(多选)设函数f(x)＝min{|x－3|，3|x|－1，|x＋3|}，则下列说法正确的是(　　)
A．f(f(3))＝1
B．函数f(x)为偶函数
C．函数f(x)的最小值为0
D．当x∈[－3，3]时，f(x)－1≤a，则a的取值范围为[2，＋∞)
解析：BC　在同一坐标系作出y＝3|x|－1，y＝|x－3|和y＝|x＋3|的图象如图所示，
联立可得即得图中B(1，2)，由对称性可得A(－1，2)，
则f(x)＝其图象是图中实线部分．
则f(f(3))＝f(0)＝0，故A错误；
由图象可知函数f(x)为偶函数，函数f(x)的最小值为0，无最大值，B，C正确；
当x∈[－3，3]时，fmax(x)＝2，由于f(x)－1≤a，所以a≥2－1＝1，D错误，故选B、C.
9．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)<1，则(　　)
A．f(0)＝1
B．f(1)＋f(－1)＝1
C．函数f(x)为减函数
D．函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
解析：ACD　对A：令x＝y＝0，则有f(0)＝f(0)＋f(0)－1，故f(0)＝1，故A正确；
对B：令x＝1，y＝－1，则有f(0)＝f(1)＋f(－1)－1，故f(1)＋f(－1)＝2，故B错误；
对C：令y>0，则有f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1，其中x＋y>x，f(y)－1<0，
令x1＝x＋y，x2＝x，即有对 x1、x2∈R，当x1>x2时，f(x1)－f(x2)<0恒成立，
即函数f(x)为减函数，故C正确；
对D：令y＝－x，则有f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1，又f(0)＝1，
故f(x)＋f(－x)＝2，故函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，故D正确．
10．(多选)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函数，且g(0)＝，则下列说法正确的有(　　)
A．g(x)关于x＝－1对称
B．f(x)关于(1，0)对称
C．g(x)是周期函数
D．
解析：ACD　因为f(x－1)为奇函数，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f′(x－1)＝f′(－x－1)，即g(x－1)＝g(－x－1)，
所以g(x)的图象关于直线x＝－1对称．故A正确；
因为f(x－1)为奇函数，则其图象关于(0，0)对称，
向左平移一个单位后得到f(x)的图象，
则f(x)的图象关于(－1，0)对称，故B错误；
因为g(2x＋1)为奇函数，则g(2x＋1)＝－g(－2x＋1)，
则有g(x＋1)＝－g(－x＋1)，
所以g(x)＝－g(－x＋2)，　①
又g(x－1)＝g(－x－1)，则g(x)＝g(－x－2)，　②
由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2)，则g(x－2)＝－g(x＋2)，
则g(x)＝－g(x＋4)，g(x＋4)＝－g(x＋8)，则g(x)＝g(x＋8)，
所以8是函数g(x)的一个周期，g(x)是周期函数，故C正确；
因为g(0)＝，g(x)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x＋4)，
所以g(2)＝－g(－2＋2)＝－g(0)＝－，g(4)＝－g(0)＝－，g(6)＝－g(2)＝，
所以＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12)×＝4，
故D正确，故选A、C、D.
11．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：根据题意得
解得≤a≤2，
所以实数a的取值范围是.
答案：
12．记不超过x的最大整数为[x].若函数f(x)＝|2x－[2x＋t]|既有最大值也有最小值，则实数t的值可以是________(写出满足条件的一个t的值即可)．
解析：取2x＋t＝m＋n，m∈Z，n∈[0，1)．
则f(x)＝|2x－[2x＋t]|＝|(m＋n－t)－m|＝|n－t|.
题意等价于g(n)＝|n－t|在区间[0，1)上既有最大值，又有最小值．
当t≤0时，g(n)＝n－t在[0，1)上为增函数，只有最小值g(0)，无最大值；
当0当≤t<1时，g(n)在(0，t)上递减，在(t，1)上递增，此时g(0)≥g(1)，最大值为g(0)，最小值为g(t)；
当t≥1时，g(n)＝t－n在[0，1)上为减函数，有最大值g(0)，无最小值．
综上，t的取值范围是.
答案：(答案不唯一，取内得任一值即可)
13．函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－1)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(1－x)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤，则m的最大值是________．
解析：因为f(x)＝2f(x－1)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(1－x)．
所以当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(2－x)＝－22＋∈，
当x∈(－1，0]时，x＋1∈(0，1]，则
f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1)＝－2＋∈，
当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，则
f(x)＝2f(x－1)＝2[2＋]＝－42＋1∈[0，1]，
所以当f(x)＝时，－42＋1＝，解得x＝或x＝，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤，必有m≤，所以m的最大值是.
答案：函数的图象与性质
1．已知函数f(x)＝
则f[f(0)]＝(　　)
A．－1　　 B．3　　
C．9　　 D．10
2．已知函数y＝f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝＋(x－2)0的定义域是(　　)
A．(1，5] B．(1，2)∪(2，5)
C．(1，2)∪(2，3] D．(1，3]
3．若函数f(x)＝log2(2x＋1)－ax是偶函数，则a＝(　　)
A．－1 B．－
C．1 D．
4．函数y＝f(x)和y＝f(x－2)均为R上的奇函数，若f(1)＝2，则f(2023)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．2
5．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝sin (tan x)
B．f(x)＝tan (sin x)
C．f(x)＝cos (tan x)
D．f(x)＝tan (cos x)
6．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，且对任意x1，x2，均有f(x1x2)＝f(x1)f(x2)成立，则下列函数中符合条件的是(　　)
A．y＝ln |x| B．y＝x3
C．y＝2|x| D．y＝|x|
7．已知函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是(　　)
A．f(x)＋1是奇函数
B．f(x－1)是奇函数
C．f(x)－1是奇函数
D．f(x＋1)是奇函数
8．(多选)设函数f(x)＝min{|x－3|，3|x|－1，|x＋3|}，则下列说法正确的是(　　)
A．f(f(3))＝1
B．函数f(x)为偶函数
C．函数f(x)的最小值为0
D．当x∈[－3，3]时，f(x)－1≤a，则a的取值范围为[2，＋∞)
9．(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)<1，则(　　)
A．f(0)＝1
B．f(1)＋f(－1)＝1
C．函数f(x)为减函数
D．函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
10．(多选)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函数，且g(0)＝，则下列说法正确的有(　　)
A．g(x)关于x＝－1对称
B．f(x)关于(1，0)对称
C．g(x)是周期函数
D．
11．若函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是________．
12．记不超过x的最大整数为[x].若函数f(x)＝|2x－[2x＋t]|既有最大值也有最小值，则实数t的值可以是________(写出满足条件的一个t的值即可)．
13．函数f(x)的定义域为R，满足f(x)＝2f(x－1)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(1－x)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≤，则m的最大值是________．

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