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第2课时　二次根式的性质
1．经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义．
2．会运用二次根式的性质进行二次根式的化简．
知识点一　二次根式的性质：()2＝a(a≥0)
练习1　(教材P4例2变式)计算：
(1)； (2)()2．
A．3 B．2x－5
C．－3 D．5－2x
基础巩固
1．下列实数运算正确的是( )．
A．＝－7 B．－＝2
C．(－)2＝2 D．＝±3
2．若＋a＝0，则a的取值范围是( )．
A．a≥0 B．a≤0
C．a＝0 D．a≠0
3．(2025·惠州月考)如果二次根式是整数，那么正整数n的最小值是( )．
A．1 B．4
C．7 D．28
4．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a＋c＋b|－的化简结果是( )．
A．b－2c B．b－2a
C．－2a－b D．2c－b
5．(2025·中山月考)化简：＝________．
6．(2025·惠州月考)如果＝－x，那么x的取值范围是________．
7．已知a，b，c为三角形的三边长，则＋＋＝________．
8．(2025·惠州月考)将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：
　 2 　 　　 2 　 　 2
4 3 2 2
2 4 6
……
若3的位置记为(2，3)，2的位置记为(3，2)，则这组数中最大数的位置记为________．
9．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆线长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫作一个周期．它的计算公式是：T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，g＝9．8 m/s2，π是圆周率．(π取3．14，摆线长精确到0．01 m，周期精确到0．01 s，参考数据：≈2．24，3．142≈9．8)
(1)若一个摆钟的摆线长为0．49 m，它摆动一个周期的时间是多少秒？
(2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1 s，求该摆钟的摆线长．
10．我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质：()2＝a(a≥0)；＝|a|＝(a为任意实数)．
利用上述两条性质解决下列问题．
(1)化简：，
当________时，＝________；
当________时，＝________．
(2)解方程：＝3．
(3)解方程：()2＋＝4．
(4)解方程：－2＝－1．19．1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
1．体会研究二次根式是实际的需要．
2．了解二次根式的概念．
3．利用(a≥0)的意义解决问题．
知识点一　二次根式的定义
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式．
练习1　下列式子：，，，，，其中二次根式有(　C　)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知识点二　二次根式有意义的条件
练习2　(教材P2例1变式)若式子有意义，则实数x的取值范围是x>1．
知识点三　二次根式的非负性
练习3　若 ＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 027＝(　A　)．
A．－1 B．1
C．32 027 D．－32 027
基础巩固
1．下列各式一定是二次根式的是(　D　)．
A． B．
C． D．
2．已知y＝ ＋＋3，则的值为(　C　)．
A． B．－
C． D．－
3．(2024·汕头期末)若式子＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　B　)．
A．x≥3
B．x＞4
C．x≥3且x≠4
D．x≥4
4．(2025·江门二模)若二次根式有意义，则x的取值范围是________.
【答案】x≥
5．(2025·惠州二模)若＋有意义，则(－n)2的平方根是________.
【答案】±
能力达标
6．当x为何值时，下列各式有意义？
(1)；　(2)；　(3)．
【答案】(1)x≤　(2)x<　(3)x≤3且x≠2
7．若|x－3y＋1|与互为相反数．
(1)求x，y的值；
(2)求x＋y的平方根．
【答案】(1)x＝8，y＝3．
(2)x＋y的平方根为±．
挑战创新
8．【课本再现】
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即＝0．所以被开方数a为非负数．
【探究新知】
(1)若()2＝a，则a的取值范围是________．
【知识应用】
(2)若|a＋b＋1|＋＝0，求(a＋b)2 026的值．
【拓展应用】
(3)若|2 025－a|＋＝a，求a－2 0252的值．
【解】(1)a≥0
(2)由|a＋b＋1|＋＝0，
得解得
所以(a＋b)2 026＝(－2＋1)2 026＝
(－1)2 026＝1．
(3)因为|2 025－a|＋＝a，
所以a－2 026≥0，
则a≥2 026．
所以2 025－a＜0．
则原方程可化为a－2 025＋＝a，
所以＝2 025．
则a＝2 0252＋2 026，
所以a－2 0252＝2 026．19．1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
1．体会研究二次根式是实际的需要．
2．了解二次根式的概念．
3．利用(a≥0)的意义解决问题．
知识点一　二次根式的定义
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式．
练习1　下列式子：，，，，，其中二次根式有( )．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
知识点二　二次根式有意义的条件
练习2　(教材P2例1变式)若式子有意义，则实数x的取值范围是x>1．
知识点三　二次根式的非负性
练习3　若 ＋(y＋2)2＝0，则(x＋y)2 027＝( )．
A．－1 B．1
C．32 027 D．－32 027
基础巩固
1．下列各式一定是二次根式的是( )．
A． B．
C． D．
2．已知y＝ ＋＋3，则的值为( )．
A． B．－
C． D．－
3．(2024·汕头期末)若式子＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )．
A．x≥3
B．x＞4
C．x≥3且x≠4
D．x≥4
4．(2025·江门二模)若二次根式有意义，则x的取值范围是________.
5．(2025·惠州二模)若＋有意义，则(－n)2的平方根是________.
6．当x为何值时，下列各式有意义？
(1)；　(2)；　(3)．
7．若|x－3y＋1|与互为相反数．
(1)求x，y的值；
(2)求x＋y的平方根．
8．【课本再现】
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即＝0．所以被开方数a为非负数．
【探究新知】
(1)若()2＝a，则a的取值范围是________．
【知识应用】
(2)若|a＋b＋1|＋＝0，求(a＋b)2 026的值．
【拓展应用】
(3)若|2 025－a|＋＝a，求a－2 0252的值．第2课时　二次根式的性质
1．经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义．
2．会运用二次根式的性质进行二次根式的化简．
知识点一　二次根式的性质：()2＝a(a≥0)
练习1　(教材P4例2变式)计算：
(1)； (2)()2．
【答案】(1)　(2)a2＋1
知识点二　二次根式的性质：＝a(a≥0)
练习2　若1≤x≤4，则化简|1－x|－的结果为(　B　)．
A．3 B．2x－5
C．－3 D．5－2x
基础巩固
1．下列实数运算正确的是(　C　)．
A．＝－7 B．－＝2
C．(－)2＝2 D．＝±3
2．若＋a＝0，则a的取值范围是(　B　)．
A．a≥0 B．a≤0
C．a＝0 D．a≠0
3．(2025·惠州月考)如果二次根式是整数，那么正整数n的最小值是(　C　)．
A．1 B．4
C．7 D．28
4．已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a＋c＋b|－的化简结果是(　C　)．
A．b－2c B．b－2a
C．－2a－b D．2c－b
5．(2025·中山月考)化简：＝________．
【答案】π－3
能力达标
6．(2025·惠州月考)如果＝－x，那么x的取值范围是________．
【答案】x≤0
7．已知a，b，c为三角形的三边长，则＋＋＝________．
【答案】a＋b＋c
8．(2025·惠州月考)将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：
　 2 　 　　 2 　 　 2
4 3 2 2
2 4 6
……
若3的位置记为(2，3)，2的位置记为(3，2)，则这组数中最大数的位置记为________．
【答案】(17，6)
9．某学习兴趣小组通过观察摆钟发现：摆球摆动的快慢与摆线长有关系．他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫作一个周期．它的计算公式是：T＝2π，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，g＝9．8 m/s2，π是圆周率．(π取3．14，摆线长精确到0．01 m，周期精确到0．01 s，参考数据：≈2．24，3．142≈9．8)
(1)若一个摆钟的摆线长为0．49 m，它摆动一个周期的时间是多少秒？
(2)一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1 s，求该摆钟的摆线长．
【答案】(1)1．41 s　(2)0．25 m
挑战创新
10．我们学习二次根式时，掌握了它的两条性质：()2＝a(a≥0)；＝|a|＝(a为任意实数)．
利用上述两条性质解决下列问题．
(1)化简：，
当________时，＝________；
当________时，＝________．
(2)解方程：＝3．
(3)解方程：()2＋＝4．
(4)解方程：－2＝－1．
【答案】(1)x≥1　x－1　x＜1　1－x
(2)x＝4或x＝－2
(3)x＝
(4)x＝－8或x＝－

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